2023屆江西省贛撫吉十一校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知全集，集合或，，則（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出A的補(bǔ)集，然后再利用并集的運(yùn)算規(guī)則求解.【詳解】解：由題意得：.故選：D.2．已知命題：的虛部為；命題：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.則下列命題為真命題的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法和乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的概念和幾何意義可判斷命題 的真假，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案.【詳解】，其虛部為，命題正確.，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限，命題錯(cuò)誤.故命題為真命題.故選:C.3．某高中為了解高三學(xué)生對(duì)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的學(xué)習(xí)情況，把高三年級(jí)的1000名學(xué)生編號(hào)：1到1000，再用系統(tǒng)抽樣的方法隨機(jī)抽取50位同學(xué)了解他們的學(xué)習(xí)狀況，若編號(hào)為253的同學(xué)被抽到，則下列幾個(gè)編號(hào)中，可能被抽到的是 （       ）A．83 B．343 C．103 D．213【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得組距為，設(shè)第1組中抽取的號(hào)碼為，根據(jù)，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，把高三年級(jí)的1000名學(xué)生編號(hào)：1到1000，用系統(tǒng)抽樣的方法隨機(jī)抽取50位同學(xué)，可得組距為，因?yàn)榫幪?hào)為253的同學(xué)被抽到，則編號(hào)為253的號(hào)碼位于第13組，設(shè)第1組中抽取的號(hào)碼為，可得，解得，令，解得，不符合題意；令，解得，不符合題意；令，解得，不符合題意；令，解得，符合題意.故選：D.4．已知的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（       ）A． B． C． D．－1【答案】A【分析】根據(jù)余弦值的定義可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式求解即可【詳解】由題得，所以.故選：A5．已知拋物線：，若上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（       ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】由拋物線的定義結(jié)合兩點(diǎn)間的距離即可求出答案.【詳解】由題得的準(zhǔn)線方程為，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以，所以該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為.故選:C.6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（       ）A．56 B．63 C．67 D．72【答案】B【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)等式，可求得，再結(jié)合求值即可；【詳解】設(shè)的公差為，則，所以，所以.故選：B7．已知向量，滿足，，，則（       ）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】設(shè)出向量，的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出坐標(biāo)方程，即可解出坐標(biāo)，即可進(jìn)一步列出含參數(shù)的坐標(biāo)方程，從而解出參數(shù)【詳解】設(shè)，，所以，且，解得，，即，.所以，則，解得，故.故選：B8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則最后輸出的一組結(jié)果為（       ）A．0，25，75 B．4，18，78 C．12，4，84 D．16，0，84【答案】C【分析】模擬執(zhí)行程序即可判斷.【詳解】解：第一次輸出0，25，75，之后；第二次輸出4，18，78，之后；第三次輸出8，11，81，之后；第四次輸出12，4，84，之后，，結(jié)束程序.故選：C.9．已知圓錐的底面半徑為，當(dāng)圓錐的側(cè)面積為時(shí)，該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，即可得母線與底面所成角的余弦值為，進(jìn)而可得正切值.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由題意可得圓錐的側(cè)面積，解得，所以母線與底面所成角的余弦值，由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，，因此母線與底面所成角的正切值.故選:A10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】從“數(shù)列遞增”和“數(shù)列遞增”兩方面作為條件分別證明結(jié)論是否成立即可.【詳解】因?yàn)?/span>，且數(shù)列遞增，所以，因此，所以數(shù)列遞增，所以“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的充分條件；若數(shù)列遞增，則，所以，又，所以對(duì)成立，即，則，但是的符號(hào)不確定，所以數(shù)列不一定遞增，所以“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的不必要條件；因此“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的充分不必要條件.故選：A11．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（       ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)垂直性質(zhì)可得，再求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的方程為，再設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，列式求解即可【詳解】由題知，，令，又，解得，因?yàn)?/span>，所以切線的方程為.，設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，所以，故，即，，解得或.故選：D12．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)，，為第一象限的焦點(diǎn)，根據(jù)題意得到，從而得到，利用余弦定理得到，再根據(jù)即可得到.【詳解】設(shè)，，為第一象限的焦點(diǎn)，則.在中，，所以，化簡(jiǎn)得：，即，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，所以，所以，解得.故選：D二、填空題13．圓與圓的公共弦所在直線方程______．【答案】【分析】將圓的方程作差即可求得公共弦所在直線方程.【詳解】圓，即，圓，即，作差得：，即公共弦所在直線方程為，故答案為：.14．已知函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；②；③在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的一個(gè)解析式為_________.【答案】（答案不唯一）【分析】由題，可以從常見(jiàn)的奇函數(shù)（如正比例函數(shù)）作為入手，即可設(shè)出，再進(jìn)一步通過(guò)滿足其它條件，確定參數(shù)的范圍，即可寫(xiě)出其中一個(gè)符合的解析式【詳解】因?yàn)?/span>的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，所以可設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因此或等均可.故答案為： （答案不唯一）15．魯洛克斯三角形是指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，如圖①.魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長(zhǎng)）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩直線都接觸.由于這個(gè)性質(zhì)，機(jī)械加工中把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出圓角正方形（視為正方形）的孔來(lái).圖②是魯洛克斯三角形鉆頭（陰影部分）與它鉆出的圓角正方形孔洞的橫截面，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)飛向圓角正方形孔洞，則其恰好被鉆頭遮擋住，沒(méi)有穿過(guò)孔洞的概率為_________.【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出魯洛克斯三角形面積，再利用幾何概型求解.【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，魯洛克斯三角形由三個(gè)弓形與正三角形組成，其面積為，故所求概率.故答案為：三、雙空題16．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則該約束條件表示的平面區(qū)域面積為_________，的最大值為_________.【答案】     6     6【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，用面積公式求出陰影部分面積；再用的幾何意義，表示點(diǎn)與平面區(qū)域中的點(diǎn)連線斜率的相反數(shù)，只需將點(diǎn)代入即可得的最大值.【詳解】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：則該約束條件所表示的平面區(qū)域面積，目標(biāo)函數(shù)，表示點(diǎn)與平面區(qū)域中的點(diǎn)連線斜率的相反數(shù)，故，即，的最大值為6.故答案為：6，6.四、解答題17．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求；(2)若，面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系可化為，再利用倍角公式及誘導(dǎo)公式可求得；（2）利用正弦定理化角為邊可得，即，再根據(jù)三角形的面積可得，再利用余弦定理可求得，從而可得出答案.【詳解】(1)解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，因?yàn)?/span>，所以，故；(2)解：因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，解得， 所以，則a+b+c=3，故△ABC的周長(zhǎng)為3．18．如圖所示，圓柱中，是母線，為圓柱底面圓的圓周上一點(diǎn)（異于點(diǎn)，且，，三點(diǎn)不共線），為線段的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，，求三棱錐的體積的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1） 由題意可證得平面，再由面面垂直的判定定理即可得出答案.（2）由等體積法表示出三棱錐的體積為，再由三角函數(shù)的值域即可得出棱錐的體積的最大值.【詳解】(1)證明：由題知，             又平面，且平面，所以，       又，平面，所以平面，       又平面，所以平面平面.(2)解：由題得三棱錐的體積，             當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積取得最大值2.19．某公司為了解宣傳投入對(duì)產(chǎn)品銷售量的影響，對(duì)某款主打產(chǎn)品的宣傳投入費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與銷售量（單位：萬(wàn)件）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：宣傳投入費(fèi)用（萬(wàn)元）1020253040銷售量（萬(wàn)件）23.340.956.071.789.1 (1)已知變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；(2)若宣傳投入費(fèi)用定為50萬(wàn)元，試預(yù)測(cè)該產(chǎn)品銷售量能否超過(guò)100萬(wàn)件.參考公式：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)(2)預(yù)測(cè)該產(chǎn)品銷售量能超過(guò)100萬(wàn)件.【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解線性回歸方程，（2）將代入第一問(wèn)的回歸方程中即可預(yù)測(cè).【詳解】(1)由題意得，，，代入得，，所以.(2)當(dāng)時(shí)，代入，得，所以預(yù)測(cè)該產(chǎn)品銷售量能超過(guò)100萬(wàn)件.20．已知函數(shù)，其中.(1)若的極小值為－16，求；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得極小值點(diǎn)，再代入求解即可.(2)畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像分類討論即可求得結(jié)論.【詳解】(1)由題得，其中，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以，解得.(2)由（1）知當(dāng)時(shí)，的極小值為，的極大值為， 當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，如圖①曲線 ；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，如圖②曲線；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，如圖③曲線；當(dāng)時(shí)，，易知有一個(gè)零點(diǎn).       綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).21．已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別，，上頂點(diǎn)為，的面積為3，的短軸長(zhǎng)為2.(1)求的方程；(2)斜率不為0的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），為的中點(diǎn)，且，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)與基本量的關(guān)系求解即可；（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合可得，再代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解即可【詳解】(1)由題意得，解得，，故的方程為.(2)證明：由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，       所以，即，，，因?yàn)?/span>，所以，所以，       即，則，整理得，       所以，即整理得，解得或，       當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，符合題意，即直線恒過(guò)定點(diǎn).22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程以及直線的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)，分別在曲線和直線上，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）通過(guò)消參求得曲線C的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，求得直線l的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)，的最小值.【詳解】(1)由消去參數(shù)，得為曲線的普通方程，令，，得為直線的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)，             由題可知的最小值即點(diǎn)到直線的距離的最小值，而點(diǎn)到直線的距離，其中，當(dāng)時(shí)，，             所以的最小值為.23．已知正實(shí)數(shù)，滿足.證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)基本不等式求解即可；（2）根據(jù)結(jié)合基本不等式求解即可【詳解】(1)由，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故. 

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