2021屆湖北省荊門市龍泉中學(xué)高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題含解析

這是一份2021屆湖北省荊門市龍泉中學(xué)高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題含解析，共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2021屆湖北省荊門市龍泉中學(xué)高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.若(為虛數(shù)單位)，則的值為(       )A． B． C．0 D．【答案】B【分析】將復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)代入所求式子計算而得.【詳解】.故選：B2．2021年春季．新冠肺炎疫情在印度失控．下圖是印度某地區(qū)在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）與時間t（天）的散點圖．則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由選項的圖象特征即可得到答案.【詳解】由的圖象應(yīng)顯示為直線，故A錯誤；的圖象應(yīng)該向下彎折，故B錯誤；的圖象可以如圖所示，故C正確；的圖象應(yīng)向右彎折，故D錯誤.故選：C.3．五國際勞動節(jié)放假三天，甲、乙兩名同學(xué)計劃去敬老院做志愿者，若甲同學(xué)在三天中隨機選一天，乙同學(xué)在前兩天中隨機選一天，且兩名同學(xué)的選擇互不影響，則他們在同一天去的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用乘法原理計算出他們在同一天去和總的方法，再利用古典概型概率計算公式可得答案.【詳解】甲同學(xué)在三天中隨機選一天共有3種方法，乙同學(xué)在前兩天中隨機選一天共有2種方法，所以一共有種方法，他們在同一天去共有2種，所以他們在同一天去的概率為.故選：B.4．已知隨機變量，且，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可求得，代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因為隨機變量，且，則，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.5．如圖，平面平面，直線，過三點確定的平面為，則平面的交線必過（       ）A．點 B．點 C．點，但不過點 D．點和點【答案】D【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論推導(dǎo)即可【詳解】由題意知，，，∴，又，∴，即在平面與平面的交線上，又，，∴點C在平面與平面的交線上，即平面的交線必過點和點故選：D.6．將函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標(biāo)擴大為原來的倍得的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，由三角函數(shù)的伸縮變換得到；利用可求得的范圍，將其放入的單調(diào)遞減區(qū)間，可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】，，當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞減，，解得：，當(dāng)時，滿足題意，即.故選：C.【點睛】方法點睛：根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的基本方法是：利用的范圍求得的范圍，將整體放入對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間中，構(gòu)造不等關(guān)系求得參數(shù)范圍.7．已知的外接圓半徑為1，圓心為O，且，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，兩邊平方可得，即，明確向量間的夾角，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可得，兩邊平方可得，即，所以，，構(gòu)成直角三角形，因為的外接圓半徑為1，則，夾角，所以，故選：C8．定義在R上的函數(shù)和滿足，且，則下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由導(dǎo)數(shù)得出，代入解析式解得，從而得出，由得出在上單調(diào)遞減，利用得出答案.【詳解】，則，解得，由得出，故，則.因為，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故，，即，故.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)不等式正誤的判斷，解題時要結(jié)合題中不等式構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性來進行判斷，難點在于構(gòu)造新函數(shù)，考查分析問題與解決問題的能力，屬于難題.二、多選題9．是表示空氣質(zhì)量的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)指數(shù)值不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”．如圖是某地3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，圖中點A表示3月1日的指數(shù)值為201．則下列敘述正確的是（       ）A．這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良” B．這12天中空氣質(zhì)量最好的是3月9日C．這12天的指數(shù)值的中位數(shù)是90.5 D．從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好【答案】ABD【分析】由指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，對圖中數(shù)值進行分析即可.【詳解】對于A選項，3月6日到3月11日，這6天的指數(shù)值不大于100，故A選項正確；對于B選項，3月9日的指數(shù)值為67，為12天來的最小值，故B選項正確；對于C選項，這12天的指數(shù)值的中位數(shù)是(95+104)÷2=99.5，故C選項錯誤；對于D選項，從3月4日到9日，指數(shù)值逐漸變小，說明空氣質(zhì)量越來越好故D選項正確.故選：ABD.10．在中，，則（       ）A． B．的面積為1C．外接圓直徑是 D．內(nèi)切圓半徑是【答案】ACD【分析】先由倍角公式求出，余弦定理求出即可判斷A選項；求出，由面積公式即可判斷B選項；直接正弦定理求出外接圓直接判斷C選項；由即可判斷D選項.【詳解】，，故，A正確；，故，B錯誤；由正弦定理知，外接圓直徑為，C正確；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，則，D正確.故選：ACD.11．?dāng)?shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個名詞源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得；再作正方形的內(nèi)接正方形，且使得；與之類似，依次進行，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示．設(shè)第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…），則（       ）A．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項和【答案】BD【分析】根據(jù)題意有，即可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，進一步求出可判斷.【詳解】由圖可知，所以，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故A錯誤；則，由題可得，所以，故B正確；因為，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故C錯誤；，故D正確.故選：BD.12．已知橢圓的左、右焦點分別為是圓上且不在x軸上的一點，且的面積為．設(shè)C的離心率為e，，則（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題意畫出圖形，由橢圓定義及三角形兩邊之和大于第三邊判斷A；設(shè)出的參數(shù)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運算判斷B；求出三角形的面積范圍，結(jié)合已知列式求得橢圓離心率的范圍判斷C；由數(shù)量積及三角形面積公式求得判斷D．【詳解】如圖，連接，，設(shè)交橢圓于，則，，故A正確；設(shè)，，，，，，故B錯誤；設(shè)，則，又的面積為，，即，，又，，故C正確；由，，兩式作商可得：，故D正確．故選：ACD三、填空題13．若．且．則的展開式中的常數(shù)項為___________．【答案】【分析】先求得的通項公式，令x的次數(shù)為0求解.【詳解】因為的通項公式為，因為，令，解得，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.14．《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作．在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù)．設(shè)這個正整數(shù)為a，當(dāng)時，符合條件的所有a有_______個．【答案】53【分析】先由，對進行分類討論后得到，解不等式即可求出的個數(shù).【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，不合題意，同理當(dāng)時，均不存在，當(dāng)時，，符合題意，其中.故，即為公差為15的等差數(shù)列，令，，解得，故符合條件的所有a有53個.故答案為：53.15．如圖所示，一個圓錐的側(cè)面展開圖為以為圓心，半徑長為2的半圓，點、在上，且的長度為，的長度為，則在該圓錐中，點到平面的距離為_________.【答案】【分析】由題意畫出圖形，求出圓錐的高，再由等體積法求出點到平面的距離.【詳解】由側(cè)面轉(zhuǎn)開圖可得到圓錐，如圖所示，由題可知，，，則，，，設(shè)點到平面的距離為h，由，得，解得：故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間中點、線、面間的距離計算，解題的關(guān)鍵是通過圓錐的側(cè)面展開圖畫出圓錐，考查學(xué)生的空間想象能力與運算求解能力，屬于一般題.16．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為___________．【答案】【分析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．【詳解】由題可知共線，共線，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以．故答案為：．四、解答題17．已知，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，____．①；②當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．在①②這兩個條件中選擇一個補充至上述橫線上，求解下述問題：若問題中的三角形存在，能否求出邊c的值？若能，請求出邊c的值；若不能，請說明理由；若問題中的三角形不存在，請說明理由．【答案】答案不唯一，具體見解析．【分析】由已知結(jié)合余弦定理可得的值，當(dāng)補充①至條件中時：分類討論，利用余弦定理可求，進而可求的值，可求的值；當(dāng)補充②至條件中時：分類討論，利用余弦定理可求，結(jié)合分，可得，化簡函數(shù)解析式可得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】因為，結(jié)合余弦定理可得，整理可得，即，解得或，當(dāng)補充①至條件中時：當(dāng)時，由余弦定理可得，則，再由，可得，則；當(dāng)時，由余弦定理可得，則，再由，可得，則，綜上可知三角形存在，且可求得或．當(dāng)補充②至條件中時：當(dāng)時，由余弦定理可得，因為，可得；當(dāng)時，由余弦定理可得，因為，可得；因為，要使取得最大值，只需，解得，所以時，滿足條件，綜上所述，這樣的三角形存在，但這樣的三角形彼此相似，有無數(shù)多個，故無法確定邊長c的值．【點睛】對于解三角形問題的常見解題策略：對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，同時注意三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.18．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)先化簡已知，整理可得等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式.(2)先求出，再利用裂項相消求出數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1）因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，得，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1），得，則.【點睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列通項的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)裂項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成二項差的形式，相加消去中間項，只剩有限項再求和．19．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，點M在線段PD上，且DM＝2MP，平面．(1)求證：平面MAC平面PAD；(2)若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接BD交AC于點E，連接ME，由所給條件推理出CA⊥AD，進而得CA⊥平面PAD，證得結(jié)論．(2)首先以A為原點，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解二面角即可．【詳解】(1)(1) 連接BD交AC于點E，連接ME，如圖所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，則BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90o，∠CAD=90o，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD．(2)（2）如圖所示：以A為原點，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面PAB和平面MAC的一個法向量分別為，平面PAB和平面MAC所成銳二面角為，∴，  ， ∴.20．已知拋物線C∶y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線與C交于A，B兩點，三角形AOB(點O為坐標(biāo)原點)的面積為2.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過原點的直線與拋物線交于P，Q兩點，設(shè)直線OP，OQ的傾斜角分別為α和β，證明：當(dāng)時，直線恒過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合拋物線的性質(zhì)，得到焦點坐標(biāo)，，因此可得點，的橫坐標(biāo)與焦點相同，由的面積即得的值，從而確定拋物線方程．（2）結(jié)合題意設(shè)出直線方程并聯(lián)立拋物線方程組，消元、列出韋達(dá)定理，表示出，，再根據(jù)兩角和的正切公式得到，即可得到直線過定點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得焦點，，因此可得，所以，解之可得，故可得拋物線的方程為：．（2）證明：根據(jù)題意，設(shè)，，，，易知直線的斜率存在，假設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，，由韋達(dá)定理可得，，則，，，，又因為，，所以，，所以當(dāng)時，，解得，所以直線的方程即為：，即得直線恒過定點．21．羽毛球比賽中，首局比賽由裁判員采用拋球的方法決定誰先發(fā)球，在每回合爭奪中，贏方得1分且獲得發(fā)球權(quán)．每一局中，獲勝規(guī)則如下：①率先得到21分的一方贏得該局比賽；②如果雙方得分出現(xiàn)，需要領(lǐng)先對方2分才算該局獲勝；③如果雙方得分出現(xiàn)，先取得30分的一方該局獲勝．現(xiàn)甲、乙兩名運動員進行對抗賽，在每回合爭奪中，若甲發(fā)球時，甲得分的概率為；乙發(fā)球時，甲得分的概率為．（Ⅰ）若，記“甲以贏一局”的概率為，試比較與的大?。?/span>（Ⅱ）根據(jù)對以往甲、乙兩名運動員的比賽進行數(shù)據(jù)分析，得到如下列聯(lián)表部分?jǐn)?shù)據(jù)．若不考慮其它因素對比賽的影響，并以表中兩人發(fā)球時甲得分的頻率作為，的值． 甲得分乙得分總計甲發(fā)球 50100乙發(fā)球60 90總計  190①完成列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“比賽得分與接、發(fā)球有關(guān)”？②已知在某局比賽中，雙方戰(zhàn)成，且輪到乙發(fā)球，記雙方再戰(zhàn)回合此局比賽結(jié)束，求的分布列與期望．參考公式：，其中．臨界值表供參考：0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①列聯(lián)表見解析，有；②分布列見解析，【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得前個回合里，甲贏下20個回合，輸?shù)?/span>個回合，且最后一個回合必需獲勝，從而得到，計算出和，做商比較，得到答案；（Ⅱ）①根據(jù)題意，填寫好列聯(lián)表，計算出，做出判斷；②由列聯(lián)表得到和的值，得到可取的值，分別計算其概率，寫出分布列，計算出期望.【詳解】（Ⅰ）∵甲以獲勝，則在這個回合的爭奪中，前個回合里，甲贏下20個回合，輸?shù)?/span>個回合，且最后一個回合必需獲勝 ∴，∴， ∵，∴ （Ⅱ）①由甲發(fā)球的總計和乙得分，得到甲得分的數(shù)值為，由乙發(fā)球的總計和甲得分，得到乙得分的數(shù)值為，從而得到甲得分總計為，乙得分的總計為，所以列聯(lián)表如下：  甲得分乙得分總計甲發(fā)球5050100乙發(fā)球603090總計11080190 ∵，∴有95%的把握認(rèn)為“比賽得分與接、發(fā)球有關(guān)” ②由列聯(lián)表知，，此局比賽結(jié)束，比分可能是，，，∴ 若比分為，則甲獲勝概率為，乙獲勝概率為，∴，若比分為，則甲獲勝的情況可能為：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率，乙獲勝的情況可能為：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率，∴，若比分為，則，∴的分布列為245∴【點睛】本題考查完善列聯(lián)表，相關(guān)性判斷，隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.22．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)得，令，再對和分類討論即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題得，令，則，得到，再利用分析法結(jié)合第（1）問的結(jié)論得證.【詳解】（1）解：的定義域為，.令，方程的判別式，（ⅰ）當(dāng)，即時，恒成立，即對任意，，所以在上單調(diào)遞增.（ⅱ）當(dāng)，即或.①當(dāng)時，恒成立，即對任意，，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，由，解得，.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上，，在上，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由，得，所以，因為，所以，令，則，，所以，，所以.所以要證，只要證，即證.由（1）可知，當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)，所以，當(dāng)時，，即成立，所以成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)和第（1）問 的結(jié)論分析. 證明，實際上是求函數(shù)的值域，所以建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)最為關(guān)鍵.