2021-2022學(xué)年河南省南陽地區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 題號一二三總分得分      一、單選題（本大題共12小題，共60分）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限點的極坐標為(    )A.  B.  C.  D. 關(guān)于下面演繹推理：
大前提：指數(shù)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)．
小前提：是指數(shù)函數(shù)．
結(jié)論：是單調(diào)函數(shù)．
下列表述正確的是(    )A. 大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 B. 小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤
C. 推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 D. 此推理結(jié)論正確若，則(    )A.  B.  C.  D. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的(    )A.
B.
C.
D.
 給出下列類比推理命題，其中類比結(jié)論正確的是(    )A. 由“已知，為實數(shù)，若，則”類比推出“已知，為復(fù)數(shù)，若，則
B. 由“已知，，為實數(shù)，若，則”類比推出“已知，，為平面向量，若，則”
C. 由“在平面內(nèi)，若直線，，滿足，，則”類比推出“在空間內(nèi)，若直線，，滿足，，則”
D. 由“若圓的半徑為，則圓的面積為”類比推出“若球的半徑為，則球的表面積為”已知，，三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有，，的人患了流感．假設(shè)這三個地區(qū)人口數(shù)的比為：：，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，若此人患流感，則此人選自地區(qū)的概率為(    )A.  B.  C.  D. 已知一組數(shù)據(jù)，，，，，，按此規(guī)律可以得到第個數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為(    )A.  B.  C.  D. 同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為，構(gòu)成數(shù)對，則所有數(shù)對中滿足的概率為(    )
A.  B.  C.  D. 已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，則的傾斜角是(    )A.  B.  C.  D. 已知曲線為參數(shù)上任一點，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共4小題，共20分）若，則的虛部為______．曲線上任意一點到直線的距離的最大值為______．鐵路作為交通運輸?shù)闹匾M成部分，是國民經(jīng)濟的大動脈，在我國經(jīng)濟發(fā)展中發(fā)揮著重要的作用，近年來，國家持續(xù)加大對鐵路行業(yè)尤其是高速鐵路的投資力度，鐵路行業(yè)得到了快速發(fā)展．用，，，，分別表示年至年，得到動車組數(shù)量與相應(yīng)年份編號之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表．年份編號數(shù)量千組由表格可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，則估計年動車組的數(shù)量為______千組．小張、小明、小紅三人去選報課外社團活動，每人選報的活動不是籃球就是圍棋，且每人只能選報其中一種．
如果小張選報的是籃球，那么小明選報的是圍棋．
小張或小紅選報的是籃球，但是不會兩人都選報籃球．
小明和小紅不會兩人都選報圍棋．
同時滿足上述三個條件的不同選報方案有______種． 三、解答題（本大題共6小題，共70分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，，，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系曲線的極坐標方程為．
求曲線的普通方程和的直角坐標方程；
已知射線與曲線，分別交于，兩點，求．年北京冬奧組委發(fā)布的北京年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產(chǎn)報告顯示，北京冬奧會簽約了家贊助企業(yè)．為了解這家贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺對這家贊助企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時間不少于小時的企業(yè)有家，剩下的企業(yè)中，每天的銷售額不足萬元的企業(yè)占這剩下的企業(yè)數(shù)量的，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表．每天線上銷售時間每天的銷售額合計不少于萬元不足萬元不少于小時  不足小時   合計   請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān)；
按每天線上銷售時間進行分層抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取家企業(yè)，再從這家企業(yè)中抽取家企業(yè)，求抽取的家企業(yè)中至少有家企業(yè)每天線上銷售時間不少于小時的概率．
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
若直線與曲線交于，兩點，點的直角坐標為，求．某產(chǎn)品的廣告費用支出單位：萬元與銷售額單位：萬元的數(shù)據(jù)如下表．廣告費用支出銷售額在給出的坐標系中畫出散點圖；
建立銷售額關(guān)于廣告費用支出的一元線性回歸模型；
利用所建立的模型，預(yù)測當(dāng)廣告費用支出為萬元時，銷售額為多少．
參考公式：線性回歸方程中的系數(shù)，
在各邊長均不相等的中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足．
用分析法證明；
用反證法證明為銳角．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
若，證明：曲線與軸相切．
證明：對于任意大于的自然數(shù)，不等式恒成立．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：復(fù)數(shù)，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，
故選：．
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標得答案．
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)點的極坐標，
則，，，則，
則點的極坐標為；
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)點極坐標，求出的值，又由，，求出的值，分析可得答案．
本題考查極坐標系下點的坐標，注意極坐標系的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：是冪函數(shù)，而非指數(shù)函數(shù)，是因為小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤．
故選：．
判斷大前提和小前提的正誤后能求出結(jié)果．
本題考查演繹推理，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，
所以，解得，，
所以．
故選：．
設(shè)，根據(jù)已知求出，即可得出答案．
本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：初始值：，，
第一次執(zhí)行循環(huán)體：，，，
第二次執(zhí)行循環(huán)體：，，，
第三次執(zhí)行循環(huán)體：時，，，

所以周期為，
所以當(dāng)時輸出．
故選：．
根據(jù)程序框圖及其執(zhí)行邏輯得到周期為，并求出前個值，利用周期性確定輸出值．
本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：對于，復(fù)數(shù)不能比較大小，故A錯誤；
對于，，，為平面向量，若，則和模相等，夾角相等，所以，故B正確；
對于，在空間內(nèi)，若直線，，滿足，，則與有可能平行，相交，異面，故C錯誤；
對于，球的表面積為，故D錯誤．
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)不能比較大小即可判斷；根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可判斷，根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系即可判斷，根據(jù)球的表面積公式即可判斷．
本題考查類比推理，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：，，三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有，，的人患了流感．假設(shè)這三個地區(qū)人口數(shù)的比為：：，設(shè)此人患流感為事件，則．
設(shè)此人選自地區(qū)為事件，則．
故選：．
根據(jù)條件概率公式計算即可．
本題主要考查條件概率公式，屬于?？碱}型．
 8.【答案】 【解析】解：因為，，，，，的一個通項公式為，
所以第個數(shù)為，
故選：．
由所給的數(shù)據(jù)寫出數(shù)列的一個通項公式，從而可求出其第個數(shù)．
本題考查簡單的歸納推理、數(shù)列的通項公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)，
則，
因為表示以為圓心，以為半徑的圓，
所以可理解為圓上的點到的距離，
故的最大值為．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：數(shù)對所有的可能的結(jié)果有：
，，，，，，，，，共個，
其中滿足的數(shù)對有：，，，共個，
所有數(shù)對中滿足的概率為．
故選：．
列舉出數(shù)對所有可能的結(jié)果，并確定滿足的數(shù)對的個數(shù)，根據(jù)古典概型公式能求出結(jié)果．
本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：因為，
所以直線的斜率為，所以的傾斜角是．
故選：．
將直線參數(shù)化為標準形式即可得出斜率，求出傾斜角．
本題考查的知識要點：直接利用直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：為參數(shù)，
，
的最小值為，
若不等式恒成立，
則，
故實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
利用參數(shù)方程求出的最小值，即可求解．
本題主要考查參數(shù)方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：，所以的虛部為，
故答案為：．
利用復(fù)數(shù)乘法公式得到，求出虛部．
本題考查了復(fù)數(shù)的運算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：曲線，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為；
直線，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為；
利用圓心到直線的距離；
所以最大距離為；
故答案為：．
首先利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把極坐標方程轉(zhuǎn)換為直角坐標方程和，進一步利用點到直線的距離公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識要點：極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，點到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：由已知可得：，
則樣本中心點為，代入線性回歸方程，可得，解得，
線性回歸方程為，
取，可得．
故答案為：．
由已知可求樣本中心，代入回歸方程可得，取求解即可．
本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：若小張選報的是籃球，由可得小明選報的是圍棋，
由知，則小紅選報的是籃球，
此時小張和小紅選報的都是籃球，與矛盾，即小張不能選報籃球，故小張選報的是圍棋，
故符合題意的選報有小張報圍棋，由知小紅選報的一定是籃球，
小明選報籃球或圍棋均可，故同時滿足三個條件的不同選報方案有種；
故答案為：．
根據(jù)三個不同的限制條件，分別討論小張報的是籃球或排球，進行驗證即可．
本題主要考查簡單的計算問題，根據(jù)條件分別利用列舉法進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
 17.【答案】解：為參數(shù)，，，，所以，
即曲線的普通方程為，
由，得，
所以，即曲線的直角坐標方程為，
由，得，
所以，
所以，
當(dāng)時，；
因為，所以，所以，
對于，當(dāng)時，，得，
所以，
所以． 【解析】將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去可得其普通方程，由極坐標方程與直角坐標方程的互化公式可求出的直角坐標方程；
將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程，然后將代入可求出點的極坐標，將代入曲線的極坐標方程可求出點的極坐標，從而可求出．
本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，三角函數(shù)關(guān)系式的變換，極徑的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：每天線上銷售時間不少于小時的企業(yè)有家，剩下的企業(yè)中，每天的銷售額不足萬元的企業(yè)占這剩下的企業(yè)數(shù)量的，
不足小時且每天的銷售額不足萬元的企業(yè)為 家，
故列聯(lián)表如下： 每天線上銷售時間每天的銷售額合計不少于萬元不足萬元不少于小時不足小時合計，
由獨立性檢驗的定義可知，有的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān)聯(lián)．
這家企業(yè)中每天線上銷售時間不少于小時的企業(yè)有家，不足小時的企業(yè)有家，
抽出的家企業(yè)中每天線上銷售時間不少于小時的企業(yè)有家，不足小時的企業(yè)有家，
記這家企業(yè)中每天線上銷售時間不少于小時的家企業(yè)分別為，，不足小時的家企業(yè)分別為，，，
則從這家企業(yè)中抽取家的所有情況有：，，，，，，，，，，共種，
其中至少有家企業(yè)線上銷售時間不少于小時的情況有，，，，，，，共種，
故抽取的家企業(yè)中至少有家企業(yè)每天線上銷售時間不少于小時的概率為． 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗的定義，即可求解．
根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，以及列舉法和古典概型的概率公式，即可求解．
本題主要考查獨立性檢驗公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：因為直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，
所以直線的普通方程為，
由，得，
因為，
所以曲線的直角坐標方程為，即；
解：因為，所以點在直線上，
將直線得方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)得標準式為為參數(shù)，
代入，
得，
則，
所以． 【解析】直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)化即可；
將直線方程化為參數(shù)得標準式，代入曲線方程，再利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用即可得出答案．
本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，直角坐標方程與極坐標方程的互化以及直線的參數(shù)方程中參數(shù)意義的應(yīng)用，屬于中檔題．
 20.【答案】解：如圖所示，

由表格中的數(shù)據(jù)求得，，
，
，
則，，
銷售額關(guān)于廣告費用支出的一元線性回歸為；
由得，當(dāng)時，，
則當(dāng)廣告費用支出為萬元時，銷售額為萬元． 【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)直接描點即可；
根據(jù)公式求出所要求的數(shù)據(jù)，分別求出，即可得出答案；
根據(jù)回歸方程，將代入即可得解．
本題考查線性回歸方程的求法，考查運算求解能力．是基礎(chǔ)題．
 21.【答案】證明：要證，
只需證：，
，，為三邊，
只需證，
即證，
即證，
又當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，，互不相等，
成立，
．
證明：假設(shè)，則，
由余弦定理得：，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，，互不相等，
，
，與矛盾，
假設(shè)不成立，
為銳角． 【解析】將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，對已知等式應(yīng)用基本不等式即可得到結(jié)論．
假設(shè)，可知；利用余弦定理和基本不等式可得，由此可知假設(shè)錯誤，得到結(jié)論．
本題主要考查不等式的證明，掌握分析法，以及余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
 22.【答案】證明：，，解得，
故，，
令，則，，
所以過點的切線方程為，
所以曲線與軸相切；
由知，當(dāng)時，，
令，得，令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，
則不等式對任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以當(dāng)時，恒成立，
令，
則，
當(dāng)時，．
當(dāng)時，
，
綜上可得，
故． 【解析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明軸是曲線的切線即可；
由證明不等式對任意恒成立，令，則，可得，進一步證明．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值、證明不等式，考查了推理能力與計算能力，考查了放縮思想，屬于難題．
 

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