2022年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷含解析

這是一份2022年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷含解析，共18頁。試卷主要包含了如圖所示的幾何體的俯視圖是，下列幾何體中三視圖完全相同的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項：
1． 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1．學(xué)完分式運算后，老師出了一道題“計算：”.
小明的做法：原式；
小亮的做法：原式；
小芳的做法：原式．
其中正確的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．小芳 D．沒有正確的
2．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐. 問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車輛，根據(jù)題意，可列出的方程是 ( )．
A． B．
C． D．
3．根據(jù)北京市統(tǒng)計局發(fā)布的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，北京市近五年國民生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)如圖1所示，2017年國民生產(chǎn)總值中第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)所占比例如圖2所示，根據(jù)以上信息，下列判斷錯誤的是（ ）

A．2013年至2017年北京市國民生產(chǎn)總值逐年增加
B．2017年第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為5 320億元
C．2017年比2016年的國民生產(chǎn)總值增加了10%
D．若從2018年開始，每一年的國民生產(chǎn)總值比前一年均增長10%，到2019年的國民生產(chǎn)總值將達(dá)到33 880億元
4．下列圖形是幾家通訊公司的標(biāo)志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖所示的幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
6．下列安全標(biāo)志圖中，是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列幾何體中三視圖完全相同的是（　?。?br /> A． B． C． D．
8．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．反比例函數(shù)y=的圖象與直線y=﹣x+2有兩個交點，且兩交點橫坐標(biāo)的積為負(fù)數(shù)，則t的取值范圍是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
10．一元二次方程x2-2x=0的解是（ ）
A．x1=0，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=0，x2=-2 D．x1=1，x2=-2
二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11．如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4），頂點C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過菱形OABC中心E點，則k的值為_____．

12．現(xiàn)有八個大小相同的矩形，可拼成如圖1、2所示的圖形，在拼圖2時，中間留下了一個邊長為2的小正方形，則每個小矩形的面積是_____．

13．如圖，Rt△ABC 中，∠C=90° ， AB=10，，則AC的長為_______ .

14．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一個根為0，則m=_____．
15．如圖，已知，點為邊中點，點在線段上運動，點在線段上運動，連接，則周長的最小值為______．

16．如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第4幅圖中有_____個，第n幅圖中共有_____個．

17．已知：如圖，△ABC的面積為12，點D、E分別是邊AB、AC的中點，則四邊形BCED的面積為_____．

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18．（10分）如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長．

19．（5分）剪紙是中國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，它畫面精美，風(fēng)格獨特，深受大家喜愛，現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“金魚”，另外一張卡片的正面圖案為“蝴蝶”，卡片除正面剪紙圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻從中隨機(jī)抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機(jī)抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求抽出的兩張卡片上的圖案都是“金魚”的概率．（圖案為“金魚”的兩張卡片分別記為A1、A2，圖案為“蝴蝶”的卡片記為B）

20．（8分）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF．

21．（10分）如圖1，□OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC＝3，A(2，1)，反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象經(jīng)過點B．
（1）求點B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）如圖2，將線段OA延長交y＝ (x＞0)的圖象于點D，過B，D的直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，①求直線BD的解析式；②求線段ED的長度．

22．（10分）如圖，在中，，，點D是BC上任意一點，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段AE，連結(jié)EC．
依題意補全圖形；
求的度數(shù)；
若，，將射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)交EC的延長線于點F，請寫出求AF長的思路．

23．（12分）已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．若該方程有一根為2，求a的值及方程的另一根；當(dāng)a為何值時，方程的根僅有唯一的值？求出此時a的值及方程的根．
24．（14分）如圖，∠MON的邊OM上有兩點A、B在∠MON的內(nèi)部求作一點P，使得點P到∠MON的兩邊的距離相等，且△PAB的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）




參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1、C
【解析】
試題解析：
=
=
=
=
=1．
所以正確的應(yīng)是小芳．
故選C．
2、B
【解析】
根據(jù)題意，表示出兩種方式的總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)人數(shù)不變列方程即可.
【詳解】
根據(jù)題意可得：每車坐3人，兩車空出來，可得人數(shù)為3（x-2）人；每車坐2人，多出9人無車坐，可得人數(shù)為（2x+9）人，所以所列方程為：3（x-2）=2x+9.
故選B.
【點睛】
此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到問題中的等量關(guān)系：總?cè)藬?shù)不變，列出相應(yīng)的方程即可.
3、C
【解析】
由條形圖與扇形圖中的數(shù)據(jù)及增長率的定義逐一判斷即可得.
【詳解】
A、由條形圖知2013年至2017年北京市國民生產(chǎn)總值逐年增加，此選項正確；
B、2017年第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為28000×19%＝5 320億元，此選項正確；
C、2017年比2016年的國民生產(chǎn)總值增加了，此選項錯誤；
D、若從2018年開始，每一年的國民生產(chǎn)總值比前一年均增長10%，到2019年的國民生產(chǎn)總值將達(dá)到2800×（1+10%）2＝33 880億元，此選項正確；
故選C.
【點睛】
本題主要考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖得出具體數(shù)據(jù).
4、C
【解析】
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】
A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤；
B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤；
C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤．
故選C．
【點睛】
掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．
軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；
中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
5、D
【解析】
找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【詳解】
從上往下看，該幾何體的俯視圖與選項D所示視圖一致．
故選D．
【點睛】
本題考查了簡單組合體三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
6、B
【解析】
試題分析：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選B．
考點：中心對稱圖形．
7、A
【解析】
找到從物體正面、左面和上面看得到的圖形全等的幾何體即可．
【詳解】
解：A、球的三視圖完全相同，都是圓，正確；
B、圓柱的俯視圖與主視圖和左視圖不同，錯誤；
C、圓錐的俯視圖與主視圖和左視圖不同，錯誤；
D、四棱錐的俯視圖與主視圖和左視圖不同，錯誤；
故選A．
【點睛】
考查三視圖的有關(guān)知識，注意三視圖都相同的常見的幾何體有球和正方體．
8、A
【解析】
試題分析：已知AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，由垂徑定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故選A.
考點：垂徑定理；勾股定理.
9、B
【解析】
將一次函數(shù)解析式代入到反比例函數(shù)解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因兩函數(shù)圖象有兩個交點，且兩交點橫坐標(biāo)的積為負(fù)數(shù)，根據(jù)根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系可求解．
【詳解】
由題意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵兩函數(shù)圖象有兩個交點，且兩交點橫坐標(biāo)的積為負(fù)數(shù)，
∴
解不等式組，得t＞．
故選：B．
點睛：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，關(guān)鍵是利用兩個函數(shù)的解析式構(gòu)成方程，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解.
10、A
【解析】
試題分析：原方程變形為：x（x-1）=0
x1=0，x1=1．
故選A．
考點：解一元二次方程-因式分解法．

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11、8
【解析】
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合點的坐標(biāo)利用勾股定理解答.
【詳解】
解：菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為（-3，-4），OA=OC=則點B的橫坐標(biāo)為-5-3=-8，點B的坐標(biāo)為（-8，-4），點C的坐標(biāo)為（-5,0）則點E的坐標(biāo)為（-4，-2），將點E的坐標(biāo)帶入y=（x＜0）中，得k=8.
給答案為：8.
【點睛】
此題重點考察學(xué)生對反比例函數(shù)性質(zhì)的理解，掌握坐標(biāo)軸點的求法和菱形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12、1．
【解析】
設(shè)小矩形的長為x，寬為y，則由圖1可得5y=3x；由圖2可知2y-x=2.
【詳解】
解：設(shè)小矩形的長為x，寬為y，則可列出方程組，
，解得，
則小矩形的面積為6×10=1.
【點睛】
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用.
13、8
【解析】
在Rt△ABC中，cosB=，AB=10，可求得BC，再利用勾股定理即可求AC的長.
【詳解】
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10
∴cosB=，得BC=6
由勾股定理得BC=
故答案為8.
【點睛】
此題主要考查銳角三角函數(shù)在直角三形中的應(yīng)用及勾股定理．
14、1
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義列出關(guān)于m的方程，通過解關(guān)于m的方程求得m的值即可．
【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程mx1+5x+m1﹣1m=0有一個根為0，
∴m1﹣1m=0且m≠0，
解得，m=1，
故答案是：1．
【點睛】本題考查了一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的解的定義．解答該題時需注意二次項系數(shù)a≠0這一條件．
15、
【解析】
作梯形ABCD關(guān)于AB的軸對稱圖形，將BC'繞點C'逆時針旋轉(zhuǎn)120°，則有GE'=FE'，P與Q是關(guān)于AB的對稱點，當(dāng)點F'、G、P三點在一條直線上時，△FEP的周長最小即為F'G+GE'+E'P，此時點P與點M重合，F(xiàn)'M為所求長度；過點F'作F'H⊥BC'，M是BC中點，則Q是BC'中點，由已知條件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M．
【詳解】
作梯形ABCD關(guān)于AB的軸對稱圖形，
作F關(guān)于AB的對稱點G，P關(guān)于AB的對稱點Q，
∴PF=GQ，
將BC'繞點C'逆時針旋轉(zhuǎn)120°，Q點關(guān)于C'G的對應(yīng)點為F'，
∴GF'=GQ，
設(shè)F'M交AB于點E'，
∵F關(guān)于AB的對稱點為G，
∴GE'=FE'，
∴當(dāng)點F'、G、P三點在一條直線上時，△FEP的周長最小即為F'G+GE'+E'P，此時點P與點M重合，

∴F'M為所求長度；
過點F'作F'H⊥BC'，
∵M(jìn)是BC中點，
∴Q是BC'中點，
∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，
∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，
∴F'H=，HC'=1，
∴MH=7，
在Rt△MF'H中，F(xiàn)'M；
∴△FEP的周長最小值為．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了動點問題的最短距離，涉及的知識點有：勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，能夠通過軸對稱和旋轉(zhuǎn)，將三角形的三條邊轉(zhuǎn)化為線段的長是解題的關(guān)鍵．
16、7 2n﹣1
【解析】
根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個，第2幅圖中有2×2-1=3個，第3幅圖中有2×3-1=5個，…，可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個，繼而即可得出答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個．
第2幅圖中有2×2-1=3個．
第3幅圖中有2×3-1=5個．
第4幅圖中有2×4-1=7個．
…．
可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個．
故第n幅圖中共有（2n-1）個．
故答案為7；2n-1．
點睛：考查規(guī)律型中的圖形變化問題，難度適中，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．
17、1
【解析】
【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x，則S△ADE=12﹣x，由題意知DE∥BC且DE=BC，從而得，據(jù)此建立關(guān)于x的方程，解之可得．
【詳解】設(shè)四邊形BCED的面積為x，則S△ADE=12﹣x，
∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
則=，即，
解得：x=1，
即四邊形BCED的面積為1，
故答案為1．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握中位線定理及相似三角形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì)．

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18、（1）見解析；（2）2
【解析】
試題分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，結(jié)合已知條件可得∠OBP=90°得證；
（2）連接OP，根據(jù)切線長定理得直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
（1）連接OB．
∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．
∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．
∴OB⊥PB．
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線．
（2）連接OP，

∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=1．
∴PA=OP2-OA2=2
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2．
考點：此題考查了切線的判定、切線長定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)
點評：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
19、
【解析】
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解
【詳解】列表如下：

A1
A2
B
A1
（A1，A1）
（A2，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）
（A2，A2）
（B，A2）
B
（A1，B）
（A2，B）
（B，B）
由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中抽出的兩張卡片上的圖案都是“金魚”的4種結(jié)果，
所以抽出的兩張卡片上的圖案都是“金魚”的概率為．
【點睛】本題考查了列表法和樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
20、證明見解析．
【解析】
試題分析：先利用平行四邊形性質(zhì)證明DE=CF，再證明EB=ED，即可解決問題．
試題解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．
考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)．
21、（1）B(2，4)，反比例函數(shù)的關(guān)系式為y＝；（2）①直線BD的解析式為y＝－x＋6；②ED＝2
【解析】
試題分析：（1）過點A作AP⊥x軸于點P，由平行四邊形的性質(zhì)可得BP=4， 可得B(2，4)，把點B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可；
（2）①先求出直線OA的解析式，和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組得到點D的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求得直線BD的解析式； ②先求得點E的坐標(biāo)，過點D分別作x軸的垂線，垂足為G（4，0），由溝谷定理即可求得ED長度.
試題解析：（1）過點A作AP⊥x軸于點P，

則AP＝1，OP＝2，
又∵AB＝OC＝3，
∴B(2，4).，
∵反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象經(jīng)過的B，
∴4＝，
∴k＝8.
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y＝；
（2）①由點A（2，1）可得直線OA的解析式為y＝x．
解方程組，得，．
∵點D在第一象限，
∴D(4，2)．
由B(2，4)，點D(4，2)可得直線BD的解析式為y＝－x＋6；
②把y＝0代入y＝－x＋6，解得x＝6，
∴E(6，0)，
過點D分別作x軸的垂線，垂足分別為G，則G（4，0），
由勾股定理可得：ED＝.
點睛：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、平行四邊形等幾何知識，綜合性較強，要求學(xué)生有較強的分析問題和解決問題的能力.
22、（1）見解析；（2）90°；（3）解題思路見解析.
【解析】
（1）將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連結(jié)EC．
（2）先判定△ABD≌△ACE，即可得到，再根據(jù)，即可得出；
（3）連接DE，由于△ADE為等腰直角三角形，所以可求；由， ，可求的度數(shù)和的度數(shù)，從而可知DF的長；過點A作于點H，在Rt△ADH中，由，AD=1可求AH、DH的長；由DF、DH的長可求HF的長；在Rt△AHF中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的長．
【詳解】
解：如圖，

線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段AE．
，，
．
，
．
，
在和中
，
≌．
，
中，，，
．
；
Ⅰ連接DE，由于為等腰直角三角形，所以可求；
Ⅱ由，，可求的度數(shù)和的度數(shù)，從而可知DF的長；
Ⅲ過點A作于點H，在中，由，可求AH、DH的長；
Ⅳ由DF、DH的長可求HF的長；
Ⅴ在中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的長．
故答案為（1）見解析；（2）90°；（3）解題思路見解析.
【點睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是要注意對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
23、（3）a=，方程的另一根為；（2）答案見解析.
【解析】
（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，進(jìn)一步解方程即可；
（2）分兩種情況探討：①當(dāng)a=3時，為一元一次方程；②當(dāng)a≠3時，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可．
【詳解】
（3）將x＝2代入方程，得，解得：a＝．
將a＝代入原方程得，解得：x3＝，x2＝2．
∴a＝，方程的另一根為；
（2）①當(dāng)a＝3時，方程為2x＝3，解得：x＝3.
②當(dāng)a≠3時，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3．
當(dāng)a＝2時， 原方程為：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3；
當(dāng)a＝3時， 原方程為：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3．
綜上所述，當(dāng)a＝3，3，2時，方程僅有一個根，分別為3，3，－3.
考點：3.一元二次方程根的判別式；2.解一元二次方程；3.分類思想的應(yīng)用.
24、詳見解析
【解析】
作∠MON的角平分線OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，連接BA′交OT于點P，點P即為所求．
【詳解】
解：如圖，點P即為所求．

【點睛】
本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，利用了角平分線的性質(zhì)，難點在于利用軸對稱求最短路線的問題．