2021-2022學(xué)年山東省濟南市天橋區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共12小題，共48分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 下列式子中，從左邊到右邊的變形是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，在平行四邊形中，，延長到點，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 下列各式是最簡分式的是(    )A.  B.  C.  D. 在平面直角坐標系中，將點向右平移個單位長度得到的點的坐標是(    )A.   B.  C.  D. 平行四邊形的對角線一定具有的性質(zhì)是(    )A. 相等 B. 互相平分 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分不等式在數(shù)軸上表示正確的是(    )A.  B.
C.  D. 若一個正多邊形的每個內(nèi)角都是，則這個正多邊形是(    )A. 正六邊形 B. 正七邊形 C. 正八邊形 D. 正九邊形關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，中，，現(xiàn)在將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，菱形中，，，，則的長是(    )A.
B.
C.
D. 關(guān)于的一元二次方程的解是，，那么方程的解是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ， 二、填空題（本大題共6小題，共24分）分解因式：______．如圖，一塊等邊三角形的空地中，，分別是邊，的中點，量得米，他想把四邊形用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長是______米．
 某市客流量已連續(xù)兩周下降，由每周萬次下降至每周萬次，設(shè)平均下降率為，則根據(jù)題意列方程是______．已知關(guān)于的方程有增根，則的值為______．如圖，平行四邊形中，，分別平分，交于點，點，已知，，則的長為______．如圖，在矩形中，，，點是邊的中點，連接，把沿對折得到，延長與交于點，則的長為______．
   三、解答題（本大題共9小題，共78分）解不等式組．先化簡，再求值：，其中．如圖，在平行四邊形中，于點，于點求證：．
因式分解：；
解方程．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上．

將向右平移個單位長度得到，請畫出；
畫出關(guān)于點的中心對稱圖形；
若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標．某商店購進甲，乙兩種玩具，甲玩具比乙玩具每件進件低元，用元購進甲種玩具和用元購進的乙種玩具數(shù)量相等．
購進的甲，乙兩種玩具的進價各多少元？
計劃購進兩種玩具共件，且總價不超過元，問至少購進多少件甲種玩具．把代數(shù)式通過配方等方法，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負性這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方，配方法在代數(shù)式求值．
例：用配方法因式分解：
原式
例：若，利用配方求的最小值．


當時，的最小值是．
在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式，______．
用配方法因式分解．
若，則的最小值是______．
已知，則的值為______．如圖，在平面直角坐標系中，，是的中點，，點坐標是，所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為，點是上的一個動點．
點的坐標是______，點的坐標是______．
當點在邊上運動過程中，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求的長；
在的條件下，請你判斷以點，，，為頂點的四邊形構(gòu)成菱形，并說明理由．
已知四邊形和四邊形均為正方形，連接，，直線與交于點．

如圖，當點在上時，線段和的數(shù)量關(guān)系是______，的度數(shù)為______．
如圖，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)任意角度．
請你判斷中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
當點在直線左側(cè)時，連接，則存在實數(shù)，滿足等式，猜想，的值，并予以證明；
若，，則正方形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，點，是否重合？若能，請直接寫出此時線段的長，若不能，說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項A、、均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
此題主要考查了中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 2.【答案】 【解析】解：原式符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項符合題意；
B.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；
C.原式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
D.原式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)因式分解的定義，因式分解是把多項式寫成幾個整式積的形式，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
本題主要考查了因式分解的定義，因式分解與整式的乘法是互為逆運算，要注意區(qū)分．
 3.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
故選：．
由平行四邊形的性質(zhì)求出，則可得出答案．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角相等這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：．，此選項不符合題意；
B.，此選項不符合題意；
C.是最簡分式，符合題意；
D.，此選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡分式的概念逐一判斷即可．
本題主要考查最簡分式，解題的關(guān)鍵是掌握一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．
 5.【答案】 【解析】解：將點向右平移個單位長度后得到的點的坐標為，即，
故選：．
根據(jù)平移規(guī)律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減即可得．
此題主要考查了坐標與圖形變化平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．掌握點的坐標的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：平行四邊形的對角線互相平分，
故選：．
根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得答案．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．
 7.【答案】 【解析】解：移項得，，
在數(shù)軸上表示為：

故選：．
先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來，找出符合條件的選項即可．
本題考查的是在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集，解答此類題目的關(guān)鍵是熟知實心圓點與空心圓點的區(qū)別．
 8.【答案】 【解析】解：解法一：設(shè)所求正多邊形邊數(shù)為，
則，
解得，這個正多邊形是正六邊形．
解法二：正多邊形的每個內(nèi)角都等于，
正多邊形的每個外角都等于，
又多邊形的外角和為，
這個正多邊形邊數(shù)．
故選：．
邊形的內(nèi)角和可以表示成，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此題還可以由已知條件，求出這個多邊形的外角，再利用多邊形的外角和定理求解．
本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：且為整數(shù)．
 9.【答案】 【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解，
，
解得：，
故選B．
根據(jù)方程解的情況和根的判別式得到，求出即可．
本題主要考查對根的判別式，解一元一次不等式等知識點的理解和掌握，能熟練地運用根的判別式進行計算是解此題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：如圖，對角線、交于點，
四邊形是菱形，，
，，，
，
，
菱形的面積，
即，
，
故選：．
由菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果．
本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、菱形面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：方程可變形為，
關(guān)于的一元二次方程的解是，，
方程的解為，，即，．
故選：．
將方程變形為，由關(guān)于的一元二次方程的解是，，可得方程的解為，，依此即可求解．
本題考查了一元二次方程的解，關(guān)鍵是將方程變形為．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
直接利用公式法分解因式得出答案．
此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，分別是邊，的中點，
是的中位線，
，
米，
米，
為等邊三角形，
米，
米，米，
需要籬笆的長為：米，
故答案為：．
根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算即可．
本題考查的是三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：第一周客流量下降后為：，
第二周客流量下降后為：，
．
故答案為：．
先表示出第二周客流量下降后的人數(shù)，根據(jù)兩周下降后下降至每周萬次列出方程即可．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)兩周下降后下降至每周萬次列出方程是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
，
方程有增根，
，
，
故答案為：．
先解分式方程可得，再由題意可知，即可求的值．
本題考查分式方程的增根，熟練掌握分式方程的解法，理解增根的含義是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
則，
，
同理可證：，
．
故答案為：．
先證，則，同理可證，進而得出答案．
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，
點是邊的中點，
，
點，點在以為圓心，長為半徑的圓上，
，，
，
設(shè)，則，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案為：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合翻折變換的規(guī)律特點解答即可．
本題主要考查了翻折變換，作出輔助圓得到是解答本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式組的解集為． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：原式

，
當時，原式． 【解析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
原式括號中第二項變形后利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把的值代入計算即可求出值．
 21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
又，，
，
在和中
，
≌，
． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．
 22.【答案】解：原式
；

，
，
則，即，
，
，． 【解析】先提取公因式，再利用公式法求解即可；
利用公式法求解即可．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：如圖，即為所求；

如圖，即為所求；
根據(jù)圖形可知：
旋轉(zhuǎn)中心的坐標為：． 【解析】本題考查了平移、中心對稱、旋轉(zhuǎn)作圖，掌握相關(guān)的點的變換是解題關(guān)鍵．
根據(jù)平移的性質(zhì)即可將向右平移個單位長度得到；
根據(jù)中心對稱的定義即可畫出關(guān)于點的中心對稱圖形；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可將繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到，進而寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標．
 24.【答案】解：設(shè)甲種玩具的進價為元，則乙種玩具的進價為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
．
答：甲種玩具的進價為元，乙種玩具的進價為元．
設(shè)購進甲種玩具件，則購進乙種玩具件，
依題意得：，
解得：．
答：至少購進件甲種玩具． 【解析】設(shè)甲種玩具的進價為元，則乙種玩具的進價為元，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合用元購進甲種玩具和用元購進的乙種玩具數(shù)量相等，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出甲種玩具的進價，再將其代入中即可求出乙種玩具的進價；
設(shè)購進甲種玩具件，則購進乙種玩具件，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 25.【答案】     【解析】解：；
故答案為：；




；

，
當，即時，取最小值，最小值為；
故答案為：；
，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
則．
故答案為：．
利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出所求；
原式常數(shù)項分為，利用完全平方公式化簡，再利用平方差公式分解即可；
配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；
已知等式利用完全平方公式配方后，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出，，的值，代入原式計算即可求出值．
此題考查了整式的混合運算，非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方，完全平方式，以及因式分解分組分解法，熟練掌握各自的運算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．
 26.【答案】   【解析】解：，點坐標是，
點的縱坐標是，
直線的函數(shù)關(guān)系式為，
點的橫坐標為，
，
，是的中點，
，
，
，
，
故答案為：，；
作于點，則四邊形為矩形，
，
，
，
為等腰直角三角形，
，
若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，
，
當點在的左邊，，
當點在的右邊，，
綜上所述：的長為或；
點，，，為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形，理由如下：
當點在的左邊，，
，
，
，
，
此時平行四邊形不能構(gòu)成菱形；
當點在的右邊，，
，
由知，，
，
，
，
平行四邊形是菱形；
綜上所述：點，，，為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形．
先確定點的縱坐標是，再由直線的函數(shù)關(guān)系式為，可求點坐標；求出，由即可求點坐標；
作于點，則四邊形為矩形，先判斷為等腰直角三角形，分兩種情況討論：當點在的左邊，，當點在的右邊，；
當點在的左邊，，，此時平行四邊形不能構(gòu)成菱形；當點在的右邊，，，平行四邊形是菱形．
本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 27.【答案】   【解析】解：四邊形和四邊形是正方形，
，，，
≌，
，，
，
，
，
故答案為：，；

的結(jié)論仍然成立，理由如下：
設(shè)交于，

四邊形和四邊形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
，．
證明：在上取，使得，連接，，

，，
≌，
，，
，
，
即，
為等腰直角三角形，
，
，
存在實數(shù)，滿足等式，
，；
如圖：

，，四邊形和四邊形均為正方形，
，，
直線與交于點點，重合，
點、、在同一直線上，
，
，
，
；
如圖：

，，四邊形和四邊形均為正方形，
，，
直線與交于點點，重合，
點、、在同一直線上，
，
，
，
；
綜上，正方形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，點，能重合，此時線段的長為或．
由“”可證≌，可得，，由余角的性質(zhì)即可得的度數(shù)；
由“”可證≌，可得，，由余角的性質(zhì)即可得的度數(shù)；
在上取，使得，連接，，證明≌，可得，，求出，則為等腰直角三角形，，則，根據(jù)存在實數(shù)，滿足等式，即可得，；
分兩種情況畫出圖形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．
 

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