絕密★啟用前河北省衡水市部分學(xué)校2022屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三四五總分得分      注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分  一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（       ）A． B． C． D．2．已知集合，，則滿足條件的集合C的個數(shù)為（       ）A．2 B．3 C．4 D．53．若，，，則（       ）A． B． C． D．4．進(jìn)入2021年以來，國家提倡大學(xué)生畢業(yè)自主創(chuàng)業(yè)，根據(jù)已知的調(diào)查可知，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功與失敗的概率分別為a，b，且，則某高校四名大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，其中至少有兩名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率為（       ）A． B． C． D．5．已知，則（       ）A． B． C． D．6．已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．7．已知直線l：與圓O：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若∠AOB為銳角，則m的取值范圍為（       ）A． B．C． D．8．1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過程中為了簡化計(jì)算而發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱為數(shù)學(xué)史上的珍聞，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，即對數(shù)函數(shù)（且）的反函數(shù)為（且）．已知函數(shù)，，則對于任意的，有恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（       ）A． B． C． D．評卷人得分  二、多選題9．已知橢圓：的離心率為，短軸長為4，，為的兩個焦點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則（       ）A．的方程為 B．的方程為C．內(nèi)切圓半徑最大值為 D．滿足的點(diǎn)有且僅有四個10．為了迎接期末考試，某高中學(xué)校進(jìn)行5次期末模擬考試，其中小胡的考試次數(shù)x與每次考試的成績y統(tǒng)計(jì)如表所示，x（次數(shù)）12345y（分?jǐn)?shù)）100110110115115 假如根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得考試的次數(shù)x與每次考試的成績y可得回歸直線方程為，則下面結(jié)論正確的為（       ）A．回歸直線方程一定過點(diǎn)B．回歸直線方程中的考試次數(shù)x與考試成績y是正相關(guān)C．上述的表中表示的點(diǎn)都在回歸直線上D．若把當(dāng)作樣本的數(shù)據(jù)，樣本的方差11．若p：，則p成立的一個充分不必要條件是（       ）A． B． C． D．12．已知在平行四邊形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A點(diǎn)變?yōu)?/span>，則（       ）A．B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)時，三棱錐的外接球的半徑為D．當(dāng)時，第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分  三、填空題13．已知雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為，則C的離心率為__________．14．把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得到的圖像所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小正值為__________．15．已知數(shù)列，滿足，且，，則的前9項(xiàng)和__________．評卷人得分  四、雙空題16．已知函數(shù)，，則__________，當(dāng)，時，函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)為__________．評卷人得分  五、解答題17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，且．(1)證明：；(2)若，，求△ABC的面積．18．在多面體ABCDFE中，，，平面⊥平面，側(cè)面為菱形，且，為棱的中點(diǎn)．(1)若為上一點(diǎn)，且滿足平面，確定點(diǎn)的位置；(2)求平面與平面所成角的余弦值．19．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．20．高考制度根據(jù)形式的發(fā)展不斷的進(jìn)行改革，新高考語數(shù)外三門學(xué)科是必考科目，然后再從物理、化學(xué)、歷史、地理、生物政治中選3科，規(guī)定物理與歷史必須二選一，但是兩科不能同時選擇，再從余下的4科中任選2科，把選擇含有物理科目的分為“理科類”，把選擇含有歷史科目的分為“文史類”，現(xiàn)從全市高三學(xué)生中隨機(jī)選擇100名學(xué)生的選科情況進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示． 理科類文史類合計(jì)男性281644女性243256合計(jì)5248100 (1)根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，分析是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇“文史類”還是選擇“理科類”與性別有關(guān)？(2)從選擇的100名高三學(xué)生中，按性別利用分層抽樣抽取25名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的交流，從這25名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生發(fā)言，其中發(fā)言的是男生的人數(shù)為，求出的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：，0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828 21．已知動圓M恒過定點(diǎn)，且動圓M被y軸所截得的弦長為4．(1)求動圓圓心M的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與軌跡相交于不同的A，B兩點(diǎn)．求證：存在定點(diǎn)，使得直線AT與BT關(guān)于直線對稱．22．已知函數(shù)，．(1)若在點(diǎn)處的切線的斜率為，求的最值；(2)若在原點(diǎn)處取得極值，當(dāng)時，的圖像總在的圖像的上方，求k的取值范圍．
參考答案：1．C【解析】【分析】先用復(fù)數(shù)的除法求得，再用求解即可【詳解】由題意，，所以故選：C．2．C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，可知集合C必包含，可能有，列舉或根據(jù)子集理解．【詳解】由知．又，則集合．又，則滿足條件的集合C可以為，，，，共4個，故選：C．3．D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)特點(diǎn)比較大小，再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算分析即可【詳解】由題得，，．又，所以，且，則，所以，故選：D．4．B【解析】【分析】先根據(jù)概率和求得，再用1減去對立事件的概率計(jì)算即可【詳解】由題意，解得，則四名大學(xué)生至少有兩名創(chuàng)業(yè)成功的概率故選：B．5．C【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求得，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系變形求值式為關(guān)于的代數(shù)式，代入計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：C．6．C【解析】【分析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，由模的坐標(biāo)表示得點(diǎn)在圓上，由的幾何意義，只要求得圓心到原點(diǎn)的距離后可得結(jié)論．【詳解】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．∵表示圓P上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，，∴的取值范圍為，故選：C．7．A【解析】【分析】以∠AOB為直角時為臨界，此時圓心O到直線l的距離，根據(jù)題意可得，代入求解．【詳解】因?yàn)橹本€l：經(jīng)過定點(diǎn)，圓O：的半徑為，當(dāng)∠AOB為直角時，此時圓心O到直線l的距離，解得，則當(dāng)∠AOB為銳角時，．又直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則，即，所以或，故選：A．8．D【解析】【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)為增函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)k的取值范圍【詳解】由題意，的反函數(shù)．對于任意的，有，即，可轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．設(shè)，則在上恒成立即在上恒成立又，則，故選：D．9．BCD【解析】【分析】由離心率與短軸長即可求得橢圓方程，從而判斷出選項(xiàng)A、B的正誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)三角形的周長為定值，所以找到面積的最大值，即可求得其內(nèi)切圓半徑的最大值；對于選項(xiàng)D：首先找到的最大角，即當(dāng)點(diǎn)與橢圓的短軸端點(diǎn)重合時的角的情況，再結(jié)合橢圓的對稱性，即可判斷出滿足的點(diǎn)的個數(shù).【詳解】由題意得，解得，則橢圓的方程為，所以選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；當(dāng)點(diǎn)與橢圓的短軸端點(diǎn)重合時，的面積最大，且最大值為．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則的面積，解得，所以選項(xiàng)C正確；若，即.當(dāng)點(diǎn)與橢圓的短軸端點(diǎn)重合時，最大，由余弦定理可得，，即的最大值為，所以滿足條件的點(diǎn)有且僅有四個，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】綜合性考查落實(shí)，試題以橢圓為背景，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．10．ABD【解析】【分析】求出判斷A；由表中數(shù)據(jù)得出與的變化間的關(guān)系可判斷B；由回歸直線的定義判斷C；根據(jù)方差的定義計(jì)算方差后判斷D．【詳解】由已知，，所以回歸直線一定過點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；由表格可得回歸直線方程中的考試次數(shù)x與考試成績y是正相關(guān)，故選項(xiàng)B正確；易知表中所表示的點(diǎn)不一定都在回歸直線上，故選項(xiàng)C錯誤；由題意得，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．11．CD【解析】【分析】解不等式得命題的等價條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷．【詳解】由p：得且，解得或，故選項(xiàng)C，D是命題p的充分不必要條件，故選：CD．12．ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，先得到當(dāng)平面平面BCD時，三棱錐的體積最大，利用等體積法求出點(diǎn)到平面BCD的距離，從而求出最大體積；C選項(xiàng)，對棱相等的三棱錐可補(bǔ)形為長方體，求出長方體的體對角線的一半即為外接球半徑，設(shè)出長方體的長寬高，列出方程組，進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，由余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，由余弦定理得，∴，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)平面平面BCD時，三棱錐的體積最大，設(shè)此時點(diǎn)到平面BCD的距離為h，則，解得：∴三棱錐體積的最大值，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時，把三棱錐補(bǔ)成一個長方體，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，設(shè)長方體的三條棱長分別為x，y，z，外接球的半徑為R，則，∴，解得，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由，且，得，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】對于對棱相等的三棱錐的外接球問題，要將此三棱錐的棱長對應(yīng)某一個長方體的面對角線，此時長方體的外接球即為次三棱錐的外接球.13．【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程得出的值，再根據(jù)可得出答案.【詳解】由題意，設(shè)雙曲線C的方程為（，）．因?yàn)闈u近線方程為，所以，所以雙曲線C的離心率．故答案為：14．【解析】【分析】先化簡的解析式，再由平移得出的解析式，由為偶函數(shù)，所以，，從而可得出答案.【詳解】由函數(shù) 把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù) 即的圖象．因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，，解得，，當(dāng)時，取得最小正值，最小正值為．故答案為：15．或【解析】【分析】先證明列為等差數(shù)列，再設(shè)公差，利用基本量的方法求解首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解即可【詳解】由題意得，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?/span>，即，化簡得，代入，解得或，所以或，則或．故答案為：或16．          2【解析】【分析】（1）代入得到，進(jìn)而代入化簡計(jì)算即可；（2）易得，再將題意轉(zhuǎn)換為與的圖象交點(diǎn)個數(shù)分析即可【詳解】由得，所以．由題知，則．作出與的大致圖象如圖所示．由圖可知，的解即為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記為，，且．當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)是2．【點(diǎn)睛】試題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題17．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦定理，將已知條件的“邊”轉(zhuǎn)化成“角”，再利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，即可證明；（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（1）的結(jié)論，可求得角C的值，再利用余弦定理得到關(guān)于a，b的方程，再結(jié)合已知可求得a，b的值，利用三角形面積公式，即可求得△ABC的面積．(1)因?yàn)?/span>，則有所以由正弦定理得，所以，整理得，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以．(2)因?yàn)?/span>，由（1）得．又，所以C為銳角，則．則，即．又，解得，所以△ABC的面積為．18．(1)為的中點(diǎn)；(2).【解析】【分析】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時，平面，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面 和平面的一個法向量，再利用空間向量的夾角公式即可求解．(1)連接，，取的中點(diǎn)，連接．在中，為中位線，所以．又平面，平面，所以平面，所以為的中點(diǎn)．(2)取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以．又因?yàn)槠矫?/span>⊥平面，平面平面，所以⊥平面．在平面內(nèi)，過作的垂線交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，，，，，則．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，即．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則， ，即，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為．19．(1)，；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得數(shù)列是等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，再利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；先求出，再求出當(dāng)時，數(shù)列滿足的等式，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，即可求證．(1)由，得．又，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，，…，，累加得，∴．數(shù)列滿足，①當(dāng)時，；當(dāng)時，，②由①－②可得，當(dāng)時，也符合上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）可得，則，故成立．20．(1)沒有99.5%的把握認(rèn)為選擇“文史類”還是選擇“理科類”與性別有關(guān)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算出觀測值，并與臨界值表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較即可作出判斷；（2）根據(jù)已知條件確定隨機(jī)變量的所有可能的取值，并求出相應(yīng)的概率即可求出離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．(1)根據(jù)題意可得，．因?yàn)?/span>4.2624＜7.879，所以沒有99.5%的把握認(rèn)為選擇“文史類”還是選擇“理科類”與性別有關(guān)．(2)根據(jù)分層抽樣可知從男生中抽取11人，從女生中抽取14人，故的所有可能的取值為0，1，2，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為012P 所以．21．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合已知條件即可求解；（2）設(shè)出直線l的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合已知條件及韋達(dá)定理即可證明．(1)由題意，設(shè)點(diǎn)，則，整理得，所以動圓圓心M的軌跡的方程為．(2)由題易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，消去x并整理得，恒成立，所以，．因?yàn)橹本€AT與BT關(guān)于直線對稱，且，若直線AT與BT關(guān)于x軸對稱，則，即，所以當(dāng)時，存在定點(diǎn)，使得直線AT與BT關(guān)于直線對稱．22．(1)有最小值，且最小值為，無最大值；(2).【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值即可求解；（2）結(jié)合已知條件求出a的值，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性、最值即可求解．(1)由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，則．令，解得或（舍），所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最小值，且最小值，無最大值．(2)因?yàn)?/span>，，所以，解得，所以，若，則，單調(diào)遞減，若，則，單調(diào)遞增．因?yàn)楫?dāng)時，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的上方，即恒成立，所以，即．設(shè)，，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以恒成立，符合題意；當(dāng)，即時，，，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以不恒成立，故不符合題意．綜上所述，k的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題第（2）問較為復(fù)雜，首先需要想到問題應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題；其次，在探索函數(shù)的單調(diào)性時緊緊抓住求導(dǎo)的方法，如果導(dǎo)函數(shù)的符號不好確定，那么可以對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，平常注意總結(jié)歸納. 

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