2021-2022學(xué)年廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（本題共10小題，共30分）第屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日至月日在中國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，以下是參選的冬奧會(huì)會(huì)徽設(shè)計(jì)的部分圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 若分式的值為，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 將多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是(    )A.
B.
C.
D. 如圖，將直角繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，斜邊和相交于點(diǎn)，則的度數(shù)等于(    )A.
B.
C.
D. 已知，，則多項(xiàng)式的值為(    )A.  B.  C.  D. 某種長(zhǎng)途電話的收費(fèi)方式如下：接通電話的第一分鐘收費(fèi)元，之后的每一分鐘收費(fèi)元．如果某人打該長(zhǎng)途電話被收費(fèi)元錢(qián)，則此人打長(zhǎng)途電話的時(shí)間是(    )A. 分鐘 B. 分鐘
C. 分鐘 D. 分鐘如圖，在數(shù)軸上、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是、，，，連接，以為圓心以為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于，則點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)是(    )
A.  B.  C.  D. 不等式組的解集是，則的取值范圍是(    )A.  B.  C. 或 D. 如圖，在第個(gè)中，，；在邊上任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，得到第個(gè)；在邊上任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使E.得到第個(gè)按此做法繼續(xù)下去，則第個(gè)三角形中以為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是(    )
 B.  C.  D. 二．填空題（本題共5小題，共15分）若點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則______．關(guān)于的不等式，只有兩個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍是______．若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則實(shí)數(shù)______．化簡(jiǎn)：____．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合，在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié)以下五個(gè)結(jié)論：
；；；為等邊三角形；其中正確的有______注：把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫(xiě)上三．解答題（本題共8小題，共62分）解不等式組，并將它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．如圖，在中，，點(diǎn)、、分別在、、邊上，且，．
 求證：是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)位置如圖所示．
作出關(guān)于軸對(duì)稱的，若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______；
作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了．過(guò)程為：．
這種分解因式的方法叫分組分解法．
請(qǐng)利用這種方法分解因式．如圖，中，平分，且平分，于，于．
說(shuō)明的理由；
如果，，求、的長(zhǎng)．
 
某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降．今年月份款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)萬(wàn)元，如果賣出相同數(shù)量的款汽車，去年銷售額為萬(wàn)元，今年銷售額只有萬(wàn)元．
今年月份款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元？
為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的款汽車，已知款汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬(wàn)元，款汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬(wàn)元，公司預(yù)計(jì)用不多于萬(wàn)元且不少于萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款汽車共輛，有幾種進(jìn)貨方案？
如果款汽車每輛售價(jià)為萬(wàn)元，為打開(kāi)款汽車的銷路，公司決定每售出一輛款汽車，返還顧客現(xiàn)金萬(wàn)元，要使中所有的方案獲利相同，值應(yīng)是多少？此時(shí)，哪種方案對(duì)公司更有利？如圖，已知≌，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線交射線于點(diǎn)．
如圖，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，判斷與數(shù)量關(guān)系為______ ；
將圖中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖位置時(shí)，中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
將圖中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中能否為等腰直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角度；若不能，說(shuō)明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，能熟記中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，，
，
故選：．
根據(jù)分式的值為零的條件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本題考查了分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件：分子等于且分母不等于是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：


．
故選：．
直接提取公因式，進(jìn)而分解因式得出答案．
此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，
即不等式的解集為．
故選C．
觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象都在的圖象上方，所以關(guān)于的不等式的解集為．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
 5.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，

將直角繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，
，，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由外角的性質(zhì)可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：



將，代入，得
原式．
故選：．
根據(jù)分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題關(guān)鍵是掌握分組分解因式的方法．
 7.【答案】 【解析】解：是分鐘后的錢(qián)，則為打長(zhǎng)途電話的時(shí)間；
故選：．
根據(jù)是分鐘后的錢(qián)，求出此人打長(zhǎng)途電話的時(shí)間．
本題考查了列代數(shù)式分式，熟練根據(jù)已知條件列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
．
以為圓心，為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，
，
點(diǎn)表示的數(shù)是：
故選：．
首先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)同圓的半徑相等可知，再根據(jù)條件：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是可求出點(diǎn)坐標(biāo)．
此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．
 9.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意可知，
即，
所以，
又因?yàn)?/span>，
即，
所以，
所以，
故選：．
根據(jù)題中所給條件，結(jié)合口訣，可得與之間、和之間都存在一定的不等關(guān)系，解這兩個(gè)不等式即可．
主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同樣也是利用口訣求解，注意：當(dāng)符號(hào)方向不同，數(shù)字相同時(shí)如：，，沒(méi)有交集也是無(wú)解但是要注意當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，在解題過(guò)程中不要漏掉相等這個(gè)關(guān)系．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到無(wú)解．
 10.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
第個(gè)三角形中以為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是．
故選：．
先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出，及的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第個(gè)三角形中以為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)．
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，及的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，這一類題目是需要識(shí)記的基礎(chǔ)題，記憶時(shí)要結(jié)合平面直角坐標(biāo)系．
平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，即：求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
【解答】
解：點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，，
．
故答案為：．  12.【答案】 【解析】解：原不等式解得，
解集中只有兩個(gè)正整數(shù)解，
則這兩個(gè)正整數(shù)解是，，
，
解得．
故答案為：．
解不等式得，由于只有兩個(gè)正整數(shù)解，即，，故可判斷的取值范圍，求出的取值范圍．
本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．正確解不等式，求出正整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．
 13.【答案】或 【解析】解：方程去分母得：，
整理，得，
當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)，，；
當(dāng)整式方程的解為分式方程的增根時(shí)，，
，，
的值為或．
故答案為或．
分式方程無(wú)解的條件是：去分母后所得整式方程無(wú)解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于．
本題考查了分式方程無(wú)解的條件，是需要識(shí)記的內(nèi)容．
 14.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了因式分解提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．原式提取公因式，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】
解：原式



．
故答案為．  15.【答案】 【解析】解：和都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，結(jié)論正確．
≌，
，
又，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
又，
為等邊三角形，結(jié)論正確；
，
，結(jié)論正確．
≌，
，
，
結(jié)論正確．
沒(méi)有條件證出，錯(cuò)誤；
綜上，可得正確的結(jié)論有個(gè)：．
故答案為：．
根據(jù)全等三角形的判定方法，證出≌，即可得出，正確．
先證明≌，即可判斷出，即可得正確；
根據(jù)，可得為等邊三角形，證出，得出，正確．
沒(méi)有條件證出，得出錯(cuò)誤；
，正確；即可得出結(jié)論．
此題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：
由得：，即，
由得：，即，
所以．
在數(shù)軸上表示為：
 【解析】先解不等式組中的每一個(gè)不等式，再根據(jù)大大取較大，小小取較小，大小小大取中間，大大小小無(wú)解，把它們的解集用一條數(shù)軸表示出來(lái)．
本題考查不等式組的解法和解集在數(shù)軸上的表示法，如果是表示大于或小于號(hào)的點(diǎn)要用空心，如果是表示大于等于或小于等于號(hào)的點(diǎn)用實(shí)心．
 17.【答案】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式． 【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入值即可．
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解決本題的關(guān)鍵是分式的混合運(yùn)算．
 18.【答案】證明：，
，
在和中
，
≌，
，
是等腰三角形；

≌，
，，
，



 【解析】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主要應(yīng)用了三角形內(nèi)角和定理和平角是，因此有一定的難度，屬于中檔題．
由，，，利用邊角邊定理證明≌，然后即可求證是等腰三角形．
根據(jù)可求出根據(jù)≌，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．
 19.【答案】 【解析】解：如圖，即為所求，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
故答案為：；
如圖，即為所求．

利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；
利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可．
本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
 20.【答案】解：

． 【解析】把前三項(xiàng)分為一組，最后一項(xiàng)單獨(dú)作為一組，然后進(jìn)行分解即可解答．
本題考查了因式分解分組分解法，公因式，因式分解運(yùn)用公式法，合理進(jìn)行分組是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：連接，，
平分，，，
，，
且平分，
，
在與中，
，
≌，
；
解：平分，

，，

在和中，

≌，
，
設(shè)，則，
，，，，
，
解得：，
，． 【解析】連接，，由平分，于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得，又由且平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，繼而可證得≌，則可得；
首先證得≌，即可得，然后設(shè)，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
 22.【答案】解：設(shè)今年月份款汽車每輛售價(jià)萬(wàn)元．則：
，
解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根且符合題意．
答：今年月份款汽車每輛售價(jià)萬(wàn)元；

設(shè)購(gòu)進(jìn)款汽車輛．則：
．
解得：．
的正整數(shù)解為，，，，，
共有種進(jìn)貨方案；

設(shè)總獲利為萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)款汽車輛，則：
．
當(dāng)時(shí)，中所有方案獲利相同．
此時(shí)，購(gòu)買款汽車輛，款汽車輛時(shí)對(duì)公司更有利． 【解析】求單價(jià)，總價(jià)明顯，應(yīng)根據(jù)數(shù)量來(lái)列等量關(guān)系．等量關(guān)系為：今年的銷售數(shù)量去年的銷售數(shù)量．
關(guān)系式為：款汽車總價(jià)款汽車總價(jià)．
方案獲利相同，說(shuō)明與所設(shè)的未知數(shù)無(wú)關(guān)，讓未知數(shù)的系數(shù)為即可；多進(jìn)款汽車對(duì)公司更有利，因?yàn)?/span>款汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬(wàn)元，款汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬(wàn)元，所以要多進(jìn)款．
本題考查分式方程和一元一次不等式組的綜合應(yīng)用，找到合適的等量關(guān)系及不等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：與數(shù)量關(guān)系為：理由如下：
≌，
，．
，
．
在與中，，
≌，
，
．
在與中，，
≌，
．
結(jié)論仍然成立．理由如下：
與同理，可證明≌，
．
設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，則，
．
，

，

，
．
在與中，，
≌，
．
能成為等腰直角三角形，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為或．
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為時(shí)，如下圖所示：

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為時(shí)，如下圖所示：

所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為或，點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)、、在一條直線上，為等腰直角三角形． 【解析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換．解題要點(diǎn)是由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不變的量，再利用全等三角形證明題設(shè)中的結(jié)論．
首先證明≌，得；然后證明≌，得到；
與同理可證明結(jié)論仍然成立；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為或時(shí)，能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)、、在一條直線上．
 

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