2021-2022學(xué)年安徽省合肥四十五中七年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三四總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）的立方根是(    )A.  B.  C.  D. 在下列各數(shù)中是無(wú)理數(shù)的有(    )
、、、、、相鄰兩個(gè)之間依次增加一個(gè)．A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)根據(jù)下面兩圖所示，對(duì)、、三種物體的重量判斷不正確的是(    )A.  B.  C.  D. 計(jì)算的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 一個(gè)數(shù)的倍加上不小于它的倍減去，那么的范圍是(    )A.  B.  C.  D. 估計(jì)的值在(    )A. 到之間 B. 到之間 C. 到之間 D. 至之間若，，，，則(    )A.  B.  C.  D. 已知，則的值為(    )A.  B. 或 C. 或或 D. 或某校學(xué)生志愿服務(wù)小組在“學(xué)雷鋒”活動(dòng)中購(gòu)買(mǎi)了一批牛奶到敬老院慰問(wèn)老人．如果分給每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分給每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少盒．則這個(gè)敬老院的老人最少有(    )A. 人 B. 人 C. 人 D. 人如圖所示，以長(zhǎng)方形的各邊為直徑向外作半圓得到一個(gè)新的圖形其周長(zhǎng)為，同時(shí)此圖形中四個(gè)半圓面積之和為，則長(zhǎng)方形的面積為(    )A.
B.
C.
D.  二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）計(jì)算：______．某種計(jì)算機(jī)完成一次基本運(yùn)算的時(shí)間約為，把，用科學(xué)記數(shù)表示為______．已知，，則______．已知是關(guān)于的方程、的解，則關(guān)于的不等式的解集是______． 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共8.0分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)． 四、解答題（本大題共8小題，共82.0分）計(jì)算或化簡(jiǎn)
；
．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中、．已知，求代數(shù)式的值．某金屬冶煉廠將個(gè)大小相同的立方體鋼鐵在爐火中熔化，鑄成一個(gè)長(zhǎng)方體鋼鐵，此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，和，求原來(lái)每個(gè)立方體鋼鐵的棱長(zhǎng)．閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：三角形數(shù)
古希臘著名數(shù)學(xué)家的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把、、、、，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，第個(gè)“三角形數(shù)”可表示為：發(fā)現(xiàn)：每相鄰兩個(gè)“三角形數(shù)”的和有一定的規(guī)律．如：；；；；
第個(gè)“三角形數(shù)”與第個(gè)“三角形數(shù)”的和為______．
第個(gè)“三角形數(shù)”與第個(gè)“三角形數(shù)”的和的規(guī)律可用下面等式表示：__________________，請(qǐng)補(bǔ)全等式并說(shuō)明它的正確性．對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，定義一種新運(yùn)算：，等式右邊是通常的加減運(yùn)算，例如：．
的平方根為______；
若關(guān)于的不等式組解集中恰有個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．非常時(shí)期，出門(mén)切記戴口罩，當(dāng)下口罩市場(chǎng)出現(xiàn)熱銷(xiāo)，某超市老板用元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的口罩在超市銷(xiāo)售，銷(xiāo)售完后共獲利元，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：品名價(jià)格甲型口罩乙型口罩進(jìn)價(jià)元袋售價(jià)元袋該超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)口罩各多少袋？
該超市第二次以原價(jià)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)口罩，購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩袋數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)乙種型號(hào)口罩袋數(shù)是第一次的倍，甲種口罩按原售價(jià)出售，而效果更好的乙種口罩打折讓利銷(xiāo)售，若兩種型號(hào)的口罩全部售完，要使第二次銷(xiāo)售活動(dòng)獲利不少于元，每袋乙種型號(hào)的口罩最多打幾折？【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如：從邊長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形如圖，然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形如圖．
圖中陰影部分面積為______，圖中陰影部分面積為______，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)乘法公式______；
【知識(shí)應(yīng)用】應(yīng)用中的公式，完成下面任務(wù)：
若是不為的有理數(shù)，已知，，比較、大?。?/span>
【知識(shí)遷移】事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體挖去一個(gè)小正方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式______．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的立方等于，
的立方根等于．
故選：．
如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么是的立方根，根據(jù)此定義求解即可．
此題主要考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，解題時(shí)應(yīng)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方．由開(kāi)立方和立方是互逆運(yùn)算，用立方的方法求這個(gè)數(shù)的立方根．注意一個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相同．
 2.【答案】 【解析】解：無(wú)理數(shù)有、、、相鄰兩個(gè)之間依次增加一個(gè)，共個(gè)，
故選：．
根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)逐個(gè)判斷即可．
本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，立方根和算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，能熟記無(wú)理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，無(wú)理數(shù)包括三方面的數(shù)：開(kāi)方開(kāi)不盡的根式，含有的，一些有規(guī)律的數(shù)，如等．
 3.【答案】 【解析】解：由第一圖可知：，；由第二圖可知：，，
故．
、、選項(xiàng)都正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
找出不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂圖意，進(jìn)而列出正確的不等式．
 4.【答案】 【解析】解：．
故選：．
根據(jù)積的乘方計(jì)算即可．
本題考查積的乘方，把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
 5.【答案】 【解析】解；由題意得，，
解得：．
故選：．
列出不等式，解不等式求出的范圍．
本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式求解．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
，
即，
即的值在到之間，
故選：．
先估算出的大小，然后再確定出的大?。?/span>
本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，把無(wú)理數(shù)夾逼在個(gè)相鄰的正整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：，，，，
．
故選：．
直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
這種情況不符合題意；
故選：．
根據(jù)任何非零數(shù)的零指數(shù)冪都等于，的任何次冪都等于，的偶次冪等于分別進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查了零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，掌握任何非零數(shù)的零指數(shù)冪都等于，的任何次冪都等于，的偶次冪等于是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)這個(gè)敬老院的老人有人，依題意得：
，
解得：，
為整數(shù)，
可取值，，，
最少為，
故選：．
首先設(shè)這個(gè)敬老院的老人有人，則有牛奶盒，根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句“如果分給每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少盒”可得不等式組，解出不等式組后再找出符合條件的整數(shù)．
此題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，列出不等式組．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)，，
由題意得：，．
，．
．
．
．
．
故選：．
先表示陰影部分面積，再求長(zhǎng)方形面積．
本題考查完全平方公式的幾何背景，正確表示周長(zhǎng)和面積是求解本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，利用非零的零次冪等于是解題關(guān)鍵．
根據(jù)開(kāi)平方，非零的零次冪等于，可得答案．
【解答】
解：

．
故答案為：．
   12.【答案】 【解析】解：把，用科學(xué)記數(shù)表示為．
故答案為：．
絕對(duì)值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．
本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故答案為：．
先根據(jù)求出，再運(yùn)用完全平方公式求出即可．
本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：是關(guān)于的方程的解，
，
即，
，
，
，
，
，
故答案為：．
將代入方程，求出，求出，把代入不等式，再求出不等式的解集即可．
本題考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出和是解此題的關(guān)鍵．
 15.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為，
解集在數(shù)軸上表示為：
． 【解析】先求出各不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．
本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：


；

． 【解析】根據(jù)乘方的意義，立方根的意義，絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果；
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．
本題考查了同底數(shù)冪的除法，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的除法法則，乘方的意義，立方根的意義，絕對(duì)值的意義同底數(shù)冪的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：


，
當(dāng)、時(shí)，原式


． 【解析】先根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，平方差公式和冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入求出答案即可．
本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
 18.【答案】解：原式
，
，
，
原式

． 【解析】直接利用乘法公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而將已知變形代入得出答案．
此題主要考查了整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：根據(jù)題意得：，
則原來(lái)正方體鋼鐵的棱長(zhǎng)為． 【解析】根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．
此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】     【解析】解：由題意得：第個(gè)“三角形數(shù)”是，第個(gè)“三角形數(shù)”是，
第個(gè)“三角形數(shù)”與第個(gè)“三角形數(shù)”的和為，
故答案為：；
第個(gè)“三角形數(shù)”與第個(gè)“三角形數(shù)”的和的規(guī)律為：，
證明：



，
故答案為：，，．
根據(jù)題意得出第個(gè)“三角形數(shù)”和第個(gè)“三角形數(shù)”，計(jì)算即可；
根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律，根據(jù)完全平方公式證明結(jié)論．
本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】 【解析】解：根據(jù)題中的新定義得：，
則的平方根是；
故答案為：；
根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，
解得：，
該不等式的解集有個(gè)整數(shù)解，
該整數(shù)解為，，，
，
解得：．
原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，求出平方根即可；
已知不等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，根據(jù)解集中恰有個(gè)整數(shù)解，確定出的范圍即可．
此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，平方根，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式的解法及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)該超市購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩袋，乙種型號(hào)口罩袋，
依題意得：，
解得：．
答：該超市購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩袋，乙種型號(hào)口罩袋．
設(shè)第二次銷(xiāo)售時(shí)，每袋乙種型號(hào)的口罩打折銷(xiāo)售，
依題意得：，
解得：．
答：每袋乙種型號(hào)的口罩最多打八折． 【解析】設(shè)該超市購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)口罩袋，乙種型號(hào)口罩袋，根據(jù)“某超市老板用元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的口罩在超市銷(xiāo)售，銷(xiāo)售完后共獲利元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)第二次銷(xiāo)售時(shí)，每袋乙種型號(hào)的口罩打折銷(xiāo)售，利用總利潤(rùn)每袋的銷(xiāo)售利潤(rùn)銷(xiāo)售數(shù)量，結(jié)合要使第二次銷(xiāo)售活動(dòng)獲利不少于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 23.【答案】       【解析】解：圖中陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即，
圖是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，
因此有，
故答案為：，，；


，
是不為的有理數(shù)，
，
即，
；
圖左圖的體積為，
圖右圖是長(zhǎng)為，寬為，高為的長(zhǎng)方體，因此體積為，
因此有，
故答案為：．
分別用代數(shù)式表示圖、圖中陰影部分的面積即可；
利用平方差公式，計(jì)算的差即可；
分別用代數(shù)式表示圖中左圖、右圖的體積即可．
本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，利用代數(shù)式表示圖形的面積和體積是正確解答的關(guān)鍵．
 

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