絕密★啟用前北京市中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練試題（三）試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一二三四總分得分     注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分  一、單選題1．已知函數(shù)，則（       ）A． B． C． D．2．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且．若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（       ）A． B．C． D．3．甲經(jīng)過(guò)兩個(gè)路口，在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個(gè)路口都遇到紅燈的概率為0.3，則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為（       ）A．0.5 B．0.3 C．0.15 D．0.64．已知為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，若，則（       ）A．1 B．2 C．3 D．45．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（       ）A． B． C． D．6．用數(shù)字1，2，3排成一個(gè)四位數(shù)，要求每個(gè)數(shù)字至少用一次，則不同的四位數(shù)有（       ）A．30個(gè) B．36個(gè) C．60個(gè) D．72個(gè)7．袋子里有個(gè)紅球和個(gè)黃球，從袋子里有放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，用表示取到紅球的個(gè)數(shù)，則（       ）A． B． C． D．8．隨機(jī)變量的分布列如下，且，則（       ） A．， B．，C．， D．，9．已知數(shù)列為等比數(shù)列，給出下列結(jié)論：①；②若，，則；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（       ）A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③10．已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①函數(shù)為偶函數(shù)；             ②函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；③函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)；       ④函數(shù)存在極大值和極小值．正確命題的個(gè)數(shù)為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分  二、填空題11．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則常數(shù)的值為___________.12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______．13．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．14．下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的號(hào)碼，假定底部6個(gè)格子足夠長(zhǎng)，投入100粒小球，則落入2號(hào)格的小球大約有______粒．評(píng)卷人得分  三、雙空題15．某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.4，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.5，則這個(gè)人遲到的概率是______；如果這個(gè)人遲到了，他乘船遲到的概率是______．評(píng)卷人得分  四、解答題16．小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會(huì)調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計(jì)一名騎手每天的收入．并說(shuō)明理由．17．新生嬰兒性別比是指在某段時(shí)間內(nèi)新生兒中男嬰人數(shù)與女嬰人數(shù)的比值的100倍.下表是通過(guò)抽樣調(diào)查得到的某地區(qū)2014年到2018年的年新生嬰兒性別比.年份20142015201620172018新生嬰兒性別比110.8108.0106.4105.4104.8 （1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)從該地區(qū)2015年的新生兒中隨機(jī)選取1人為女嬰的概率（精確到0.01）；（2）從2014年到2018年這五年中，隨機(jī)選取兩年，用X表示該地區(qū)的新生嬰兒性別比高于107的年數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷？并說(shuō)明理由.18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
參考答案：1．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用求導(dǎo)公式直接計(jì)算作答.【詳解】因函數(shù)，所以.故選：D2．C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知：當(dāng)且是遞增數(shù)列時(shí)，．【詳解】解：，且是遞增數(shù)列，；又，，即．故選：C．3．D【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：記事件為“在第一個(gè)路口遇到紅燈”，則，記事件為“在第二個(gè)路口遇到紅燈”，則，故.故選：D.4．D【解析】【分析】首先求出通項(xiàng)公式，再代入得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)槭醉?xiàng)，公差，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得故選：D5．A【解析】【分析】利用對(duì)稱性可得結(jié)合條件可求，再由 求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，由對(duì)稱性可知，，又，所以，故.故選：A.6．B【解析】【分析】根據(jù)題意4位數(shù)種有2個(gè)數(shù)字相同，先選相同的數(shù)字，再排列四個(gè)數(shù)字即可.【詳解】解：由題意得：4位數(shù)中有2個(gè)數(shù)字相同，從1，2，3中選一個(gè)數(shù)作為相同的數(shù)字有個(gè)，然后從4個(gè)位置選2個(gè)位置，排剩余的2個(gè)數(shù)，有個(gè)，最后兩個(gè)位置放入相同的數(shù)有個(gè)，故共有個(gè).故選：B.7．B【解析】【分析】分析可知，利用二項(xiàng)分布的方差公式可求得.【詳解】袋子里有個(gè)紅球和個(gè)黃球，從袋子里隨機(jī)抽取一個(gè)球，該球?yàn)榧t球的概率為，所以，，因此，.故選：B.8．C【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)結(jié)合期望可求得、的值，再利用方差公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，解得，所以，.故選：C.9．D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷①； 由可判斷②；由，結(jié)合均值不等式可判斷③；當(dāng)時(shí)，④不成立.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為對(duì)于①. 則，所以，故①正確.對(duì)于②. 由題意，所以不正確，所以②不正確.對(duì)于③. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào). 故③正確對(duì)于④. 當(dāng)時(shí)，，則，故④不正確故選：D10．C【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性可判斷①；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可判斷②；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷③，利用③的求解結(jié)果，可判斷④.【詳解】①：定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；②：當(dāng)時(shí)，令，則，由解得,則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由及知，，即對(duì)恒成立，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故②正確；③：由②可知，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，，，由零點(diǎn)存在定理知，，，使得，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．又，，，由零點(diǎn)存在定理可知，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，又由為偶函數(shù)可知，其在上存在四個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④：由③可知為極小值，為極大值，又由偶函數(shù)可知，為極小值，為極大值，故④正確．故選：C．11．【解析】【分析】先求出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)位置等于得的值即可求出常數(shù)項(xiàng)，令常數(shù)項(xiàng)等于，解方程即可求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為，解得：，故答案為：.12．7【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得公差，再利用求出即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列的公差，由得，解得，所以.故答案為：713．【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)，，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14．16【解析】【分析】設(shè)，分析出，從而求解時(shí)的概率即可.【詳解】解：設(shè)“向右下落”，“向左下落”，且，設(shè)，因?yàn)樾∏蛟谙侣溥^(guò)程中共碰撞5次，所以,于是，所以，故投入100粒小球，則落入2號(hào)格的小球大約有粒.故答案為：16.15．     0.4##     0.3##【解析】【分析】合理設(shè)出事件，利用全概率計(jì)算出這個(gè)人遲到的概率，用貝葉斯概率公式計(jì)算出如果這個(gè)人遲到了，他乘船遲到的概率.【詳解】設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，則，，，，，，，由全概率公式得：；如果這個(gè)人遲到了，由貝葉斯公式得到他乘船遲到的概率為：.故答案為：0.4；0.316．(1)0.4；(2)分布列見解析，1.2；(3)186元，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率即可估計(jì)作答.（2）求出的可能值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率并求出期望作答.（3）利用頻率分布直方圖求出騎手每天送單的平均數(shù)即可計(jì)算作答.(1)由頻率分布直方圖知，該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率為：，所以，隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率為0.4.(2)的可能值為0，1，2，3，依題意，，，，，，，所以的分布列為：01230.2160.4320.2880.064 期望.(3)由頻率分布直方圖知，騎手每天送單的平均數(shù)為：，因騎手每送1單可以提成3元，則騎手每天的收入的期望為（元）.17．（1）；（2）分布列見解析；期望為；（3）答案不唯一，具體見解析.【解析】（1）由樣本數(shù)據(jù)可知2015年隨機(jī)選取1人為女嬰的概率為；（2）2014年到2018年中，性別比高于107的有2年，可知的可能取值為，所以按照超幾何分布求概率；（3）這是一個(gè)開放性的試題，可以從樣本數(shù)據(jù)多少對(duì)實(shí)驗(yàn)真實(shí)性的影響說(shuō)明，或是性別比的大小判斷.【詳解】解：（1）設(shè)“從該地區(qū)2015年的新生兒中隨機(jī)選取1人為女嬰”為事件，則.（2）的可能取值為.，，，所以的分布列為 所以的數(shù)學(xué)期望.（3）答案一：可以否定.從樣本數(shù)據(jù)看這五年的男嬰在新生兒中的比例都高于，由樣本估計(jì)總體，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷.答案二：不能否定.盡管從樣本數(shù)據(jù)看這五年的男嬰在新生兒中的比例都高于，但由于抽樣調(diào)查本身存在一定的隨機(jī)性，且從數(shù)據(jù)上看，男女嬰在新生兒中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷.答案三：無(wú)法判斷.由于樣本容量未知，如果樣本容量較小，那么通過(guò)樣本數(shù)據(jù)不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷，如果樣本容量足夠大，那么根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷.（注：1.其余答案，酌情給分.2.如果學(xué)生直接從生物學(xué)的角度，或者生活常識(shí)等角度說(shuō)明，應(yīng)適當(dāng)扣分，沒有體現(xiàn)用樣本估計(jì)總體.）【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布，數(shù)據(jù)分析，開放式的統(tǒng)計(jì)分析，重點(diǎn)考查讀懂題意，抽象概括能力，屬于中檔題型.18．(1)；(2)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為；(3)【解析】【分析】（1）直接計(jì)算，求導(dǎo)計(jì)算，寫出切線方程即可；（2）直接求導(dǎo)確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，寫出單調(diào)區(qū)間即可；（3）先根據(jù)必要性得到，再證明當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（2）中單調(diào)性證得，即滿足充分性，即可求解.(1)，當(dāng)時(shí)，，，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；(2)易得定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，令，或，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為；(3)“，即”是“當(dāng)時(shí)，恒成立”的必要條件.當(dāng)，時(shí)，，令，由（2）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，即，所以的取值范圍是. 

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