第24練  空間向量及其應(yīng)用 學(xué)校____________          姓名____________          班級____________ 一、單選題1．直三棱柱中，若，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知得，故選：A.2．在正方體中O為面的中心，為面的中心.若E為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)正方體的邊長為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：B3．已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，由正六邊形的性質(zhì)可得，，設(shè)，其中，所以，，所以，所以的取值范圍.故選：A.4．在四面體OABC中，E為OA中點(diǎn)，，若，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】 .故選：D5．在正方體中，E，F，G分別是，的中點(diǎn)，則（       ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【詳解】解：取、、的中點(diǎn)分別記為、、，連接、、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面即為平面，對于A：如圖，，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：如圖，在平面中，，則平面，所以B錯誤；對于C、D：如圖，平面，因?yàn)檫^平面外一點(diǎn)作（）僅能作一條垂線垂直該平面，故C、D錯誤；其中平面可按如下證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故選：A6．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B7．已知直三棱柱各棱長均相等，點(diǎn)D，E分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直三棱柱的棱長為1，則，點(diǎn)D，E分別是棱，的中點(diǎn)，，，，所以．所以異面直線AD與BE所成角的余弦值為．故選：A．8．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（       ）A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B【詳解】，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以2.故選：B9．如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（       ） A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為， 因?yàn)?/span>，所以，又，所以，,，則，所以，取中點(diǎn)E，連接，則，，,,在中，，即，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)橹本€夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．故選：D．10．如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（       ） A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴動點(diǎn)P到直線的距離為，當(dāng)時取等號，即線段上的動點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故選：D.二、多選題11．若，表示兩條不同的直線，，表示兩個不同的平面，則下列說法正確的是（       ）A．若與不平行，且，則平面內(nèi)不存在與平行的直線B．若，，，則C．若，，，則D．存在兩條異面直線，，使得，，且，【答案】ABD【詳解】對于A，若平面內(nèi)存在與平行的直線，則，與已知矛盾，故A正確；對于B，由線面平行的性質(zhì)定理易知B正確；對于C，，可能平行，也可能相交，所以C錯誤；對于D，若，易知D正確.故選：ABD.12．若，，與的夾角為120°，則的值為（       ）A． B．17 C．1 D．【答案】BD【詳解】由題意得解得或故選：BD13．如圖所示，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（       ）A．與垂直 B．與垂直C．與平行 D．與平行【答案】ABC【詳解】如圖所示，易知是中點(diǎn)，又分別是的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算：，顯然不共線，故，又，故，于是A，C正確；又，且，故，故B正確；若，結(jié)合，根據(jù)平行的傳遞性，可知，又，則，顯然是錯誤的，故D錯誤.故選：ABC.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（       ）A．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若平面的法向量，則直線平面C．若，分別為平面，的法向量，則平面平面D．點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【詳解】解：對于A：因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確；對于B：因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)槠矫?/span>的法向量，所以，所以直線與平面不平行，故B錯誤；對于C：因?yàn)?/span>、，所以，因?yàn)?/span>，分別為平面，的法向量，所以平面平面，故C正確；對于D：因?yàn)?/span>，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，故D正確；故選：ACD三、解答題15．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)設(shè)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】(1)證明：取中點(diǎn)，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：因?yàn)橹比庵?/span>中，所以、、兩兩垂直．分別以、、的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．16．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的大小.【解析】(1)證明：∵底面，，故以為原點(diǎn)，分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則?????，所以，，，則，，即，，又，所以平面(2)由(1)知，，，設(shè)平面AEB的一個法向量為，則，，即，令，可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，，即，令，可得，，所以平面與平面銳二面角的大小為 
 

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