高考大題專項(xiàng)練三　高考中的數(shù)列一、非選擇題1.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若Sm=63,求m.解:(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒(méi)有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6..2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=3,Sn+1=3Sn+3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)(方法一)∵Sn+1=3Sn+3,∴Sn+1+=3.∴Sn+3n-1=×3n-1=.∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1==3n,a1也適合.∴an=3n.(方法二)由Sn+1=3Sn+3(n∈N*),可知當(dāng)n≥2時(shí),Sn=3Sn-1+3,兩式相減,得an+1=3an(n≥2).又a1=3,代入Sn+1=3Sn+3,得a2=9,故an=3n.(2)∵bn=,∴Tn=,①∴Tn=,②由①-②,得Tn=+…+,解得Tn=.3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-1;數(shù)列{bn}滿足bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N*),b1=1.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由Sn=2an-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.又Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2),兩式相減,得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1.故an=2an-1,n≥2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.故an=1·2n-1=2n-1.由bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N*),得=1.又b1=1,∴數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.∴=1+(n-1)·1=n.∴bn=.(2)由(1)得=n·2n-1.∴Tn=1·20+2·21+…+n·2n-1,∴2Tn=1·21+2·22+…+n·2n.兩式相減,得-Tn=1+21+…+2n-1-n·2n=-n·2n=-1+2n-n·2n.∴Tn=(n-1)·2n+1.4.設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*);{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.解:(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因?yàn)?/span>q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn==2n-1.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n.所以,Sn=.(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得,+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值為4.5.(2020浙江,20)已知數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=·cn,n∈N*.(1)若{bn}為等比數(shù)列,公比q>0,且b1+b2=6b3,求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,公差d>0,證明:c1+c2+…+cn<1+,n∈N*.答案:(1)解由b1+b2=6b3,得1+q=6q2,解得q=.由cn+1=4cn,得cn=4n-1.由an+1-an=4n-1,得an=a1+1+4+…+4n-2=.(2)證明由cn+1=cn,得cn=,所以c1+c2+c3+…+cn=,由b1=1,d>0,得bn+1>0,因此c1+c2+c3+…+cn<1+,n∈N*.6.已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.(1)求q的值;(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng),得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因?yàn)?/span>q>1,所以q=2.(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Sn,由cn=解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·.故bn-bn-1=(4n-5)·,n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3.設(shè)Tn=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,Tn=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,所以Tn=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,因此Tn=14-(4n+3)·,n≥2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·.7.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足an=(n≥2).(1)求證:{}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)因?yàn)?/span>an=,所以Sn-Sn-1=,即=1,所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為=1,公差為1的等差數(shù)列,得=n,所以an==n+(n-1)=2n-1(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a1=1也適合,所以an=2n-1.(2)因?yàn)?/span>,所以Tn=+…+.所以Tn<.要使不等式4Tn<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.已知數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且1-a2是a1與1+a3的等比中項(xiàng),數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Tn滿足Tn=nλ·bn+1(λ為常數(shù),且λ≠1),其中b1=8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及λ的值;(2)比較+…+Sn的大小.解:(1)由題意,得(1-a2)2=a1(a3+1),即=a1,解得a1=.故an=.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,又解得(舍去),故λ=.(2)由(1)知Sn=1-,則Sn=.①由(1)知Tn=nbn+1,當(dāng)n=1時(shí),T1=b1=b2,即b2=2b1=16,故公差d=b2-b1=8,則bn=8n,又Tn=nλ·bn+1,故Tn=4n2+4n,即.因此,+…+==.②由①②可知+…+Sn.

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