考點(diǎn)規(guī)范練29　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)鞏固1.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2+a8=6,則S9等于(　　)A. B.27 C.54 D.108答案:B解析:S9==27.2.已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=(　　)A. B. C.10 D.12答案:B解析:∵公差d=1,S8=4S4,∴,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=.∴a10=a1+9d=+9=.3.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　)A.-12 B.-10 C.10 D.12答案:B解析:因?yàn)?S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設(shè)公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.4.已知等差數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為30,前8項(xiàng)和為100,則它的前12項(xiàng)和為(　　)A.110 B.200 C.210 D.260答案:C解析:設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn.∵在等差數(shù)列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100成等差數(shù)列,∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.5.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大的n是(　　)A.18 B.19 C.20 D.21答案:C解析:a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí),n=20.6.在等差數(shù)列{an}中,若是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù),則該常數(shù)的可能值的集合為(　　)A.{1} B.C. D.答案:B解析:特殊值驗(yàn)證法.若=1,則數(shù)列{an}是一個(gè)常數(shù)列,滿足題意;若,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則an=a2n=(an+nd),化簡,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,化簡,得a1=d,也滿足題意;若=0,則an=0,不符合題意.故選B.7.中國古代詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈分八子作盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言”.題意是:把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤纏,按照年齡從大到小的順序依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個(gè)兒子分到的綿是　　　　　斤.(“斤”是非國際通用單位) 答案:184解析:用a1,a2,…,a8表示8個(gè)兒子按照年齡從大到小得到的綿斤數(shù),由題意,得數(shù)列a1,a2,…,a8是公差為17的等差數(shù)列,且這8項(xiàng)的和為996,即8a1+×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.8.(2020山東,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為　　　　　. 答案:3n2-2n解析:數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列得到的新數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n×1+×6=3n2-2n.9.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.(1)求證:成等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.答案:(1)證明當(dāng)n≥2時(shí),由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以=2.又=2,故是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.(2)解由(1)可得=2n,Sn=.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1==-.當(dāng)n=1時(shí),a1=不適合上式.故an=10.在等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=.(2)由(1)知,bn=.當(dāng)n=1,2,3時(shí),1≤<2,bn=1;當(dāng)n=4,5時(shí),2≤<3,bn=2;當(dāng)n=6,7,8時(shí),3≤<4,bn=3;當(dāng)n=9,10時(shí),4≤<5,bn=4.所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.11.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.解:(1)設(shè){an}的公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a1>0知d<0,故Sn≥an等價(jià)于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.能力提升12.若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí),n的值為(　　)A.6 B.7 C.8 D.9答案:B解析:∵a1=19,an+1=an-3,∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列.∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大,則有k∈N*.∴≤k≤.∵k∈N*,∴k=7.∴滿足條件的n的值為7.13.(2020浙江,7)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d≠0,且≤1.記b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是(　　)A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6C.=a2a8 D.=b2b8答案:D解析:A.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2a4=a2+a6,故A成立;B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,若2b4=b2+b6,則2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12.因?yàn)?+8=3+12=4+11,所以2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2(a7+a8)成立,故B成立;C.=a2a8?(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16-S14=a15+a16,當(dāng)=b2b8時(shí),(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),(2a1+13d)2=(2a1+5d)(2a1+29d),整理為2a1=3d,這與已知≤1矛盾,故D不可能成立.綜上可知,等式不可能成立的是D.故選D.14.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1an+2(n∈N*),設(shè)Sn為{bn}的前n項(xiàng)和.若a12=a5>0,則當(dāng)Sn取得最大值時(shí),n的值等于　　　　　. 答案:16解析:設(shè){an}的公差為d,由a12=a5>0,得a1=-d,a12<a5,即d<0,所以an=d,從而可知當(dāng)1≤n≤16時(shí),an>0;當(dāng)n≥17時(shí),an<0.從而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….因?yàn)?/span>a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,所以Sn中S16最大.故答案為16.15.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2<0,且1,a2,81成等比數(shù)列,a3+a7=-6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求的前n項(xiàng)和Tn取得最小值時(shí)n的值.解:(1)∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3.∵1,a2,81成等比數(shù)列,∴=1×81.又a2<0,∴a2=-9.∴等差數(shù)列{an}的公差d==2.∴an=a2+(n-2)×2=2n-13.(2)∵Sn==n2-12n.∴=n-12.由n-12≤0,解得n≤12.因此,當(dāng)n=11或n=12時(shí),的前n項(xiàng)和Tn取得最小值.16.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通項(xiàng)公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=,求非零常數(shù)c.解:(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實(shí)根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,∴∴通項(xiàng)公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,∴Sn=na1+d=2n2-n=2.∴當(dāng)n=1時(shí),Sn最小,最小值為S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,∴bn=,∴b1=,b2=,b3=.∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,∴2b2=b1+b3,即×2=,∴2c2+c=0,∴c=-(c=0舍去),故c=-.高考預(yù)測17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求同時(shí)滿足下列條件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能夠被5整除.解:(1)∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,∴解得∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n同時(shí)滿足:①20≤n≤116;②n能夠被5整除,∴滿足條件的n組成等差數(shù)列{bn},且b1=20,d=5,bn=115,∴項(xiàng)數(shù)為+1=20.∴{bn}的所有項(xiàng)的和為S20=20×20+×20×19×5=1350.又an=2n,即an=2bn,∴滿足條件的所有an的和為2S20=2×1350=2700.

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