高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)試題（滿(mǎn)分：150分，測(cè)試時(shí)間：120分鐘）第I卷（選擇題，共70分）一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)1．已知滿(mǎn)足，那么下列選項(xiàng)一定正確的是（ ）A． B． C． D．2．總體由編號(hào)為01，02，…，39，40的40個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（  ）50 44 66 44 21  66 06 58 05 62  61 65 54 35 02  42 35 48 96 32  14 52 41 52 4822 66 22 15 86  26 63 75 41 99  58 42 36 72 24  58 37 52 18 51  03 37 18 39 11A．23 B．21 C．35 D．323．已知的三邊滿(mǎn)足條件，則                              （    ）A．30° B．45° C．60° D．120°4．設(shè)等差數(shù)列的公差，，若是與的等比中項(xiàng)，則             （   ）A．2 B．3 C．5 D．85．在空間中，設(shè)，為兩條不同直線(xiàn)，，為兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是    （    ）   A．若且，則B．若，，，則C．若且，則D．若不垂直于，且，則必不垂直于6．過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程是                                        （    ）A． B． C． D．7．若設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（    ）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為                    (    )A． B． C． D．9．關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范國(guó)是  （    ）A．[2，4） B．[3，4] C．（3，4] D．（3，4）10．魯班鎖（也稱(chēng)孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類(lèi)玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見(jiàn)的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀(guān)圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為（    ）A． B． C． D．11．已知圓，直線(xiàn)，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是                                             （    ）A．     B．       C．       D． 12．兩球在棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)部，且互相外切，若球與過(guò)點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，球與過(guò)點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，則球和的表面積之和的最小值為（   ）A.       B.         C.         D. 二、多選題（本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的，得0分。）13．如圖，梯形中，，。將沿對(duì)角線(xiàn)折起。設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面。給出下面四個(gè)命題正確的：(   )A． B．三棱錐的體積為C．平面 D．平面平面14．在數(shù)列中，若，（，，為常數(shù)），則稱(chēng)為“等方差數(shù)列”．下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（   ）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列第II卷（非選擇題，共80分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分)15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ________．16．如圖，圓柱中，兩半徑，等于1，且，異面直線(xiàn)與所成角的正切值為，則該圓柱的體積為______．17．如圖，一棟建筑物高米，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔．在它們之間的地面點(diǎn)（三點(diǎn)共線(xiàn)）測(cè)得對(duì)樓頂、塔頂的仰角分別是15°和60°，在樓頂處測(cè)得對(duì)塔頂的仰角為30°，則通信塔的高為______米。18. 阿波羅尼斯（約公元前年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓。若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值                 四、解答題（本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。） 19．的周長(zhǎng)為，且．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）若的面積為，求角的度數(shù)。20．由于疫情影響，今年我們學(xué)校開(kāi)展線(xiàn)上教學(xué)，高一年級(jí)某班班主任為了了解學(xué)生上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間，對(duì)本班40名學(xué)生某天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)（取整數(shù)）整理后，繪制出如圖所示頻率分布直方圖，已知從左到右各個(gè)小組的頻率分別是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，則根據(jù)直方圖所提供的信息：（1）這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘之間的學(xué)生有多少人？（2）估計(jì)這40位同學(xué)的線(xiàn)上平均學(xué)習(xí)時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）以及中位數(shù)分別是多少？（精確到）（3）如果只用這40名學(xué)生這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生該天的上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？為什么？21. 如圖，臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)千米的速度向東北方向（北偏東）移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.城市在地的正東千米處。請(qǐng)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，解決以下問(wèn)題：(1)求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線(xiàn)方程；(2)求城市處于危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間是多少小時(shí)？ 22．已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)＝，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)。 23．如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn)。（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值。
期末考試參考答案：1-5：DBCCC；6-10：DDACA；11-12：DA；13. CD；14. BCD15．；16.;17.60;18.19．（1）因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為，所以①，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理可得②， 兩式相減，解得．　（2）由的面積由余弦定理，得，所以20. （1）因?yàn)轭l數(shù)樣本容量頻率，一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘之間的學(xué)生所占頻率為0.35,所以一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘之間的學(xué)生人數(shù)為（人）（2）40位同學(xué)的線(xiàn)上學(xué)習(xí)時(shí)間估計(jì)值為：分鐘中位數(shù)估計(jì)值是100.2（3）因?yàn)樵摌颖镜倪x取只在高一某班，不具有代表性，所以這樣推斷不合理.21. 21．（1）（答案不唯一）；（2）小時(shí)（1）以為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則臺(tái)風(fēng)中心的坐標(biāo)是，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在直線(xiàn)斜率為：臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線(xiàn)方程為： （2）以為圓心，千米為半徑作圓圓和直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)則臺(tái)風(fēng)中心移到時(shí)，城市開(kāi)始受臺(tái)風(fēng)影響(危險(xiǎn)區(qū))，直到時(shí)，解除影響點(diǎn)到直線(xiàn)的距離： 又（小時(shí)）    城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間是小時(shí)22．試題解析：（1）由點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上得Sn=3n2－2n．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=（3n2－2n）－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5；當(dāng)n＝1時(shí)，a1=S1=3×12－2×1=1，滿(mǎn)足上式，所以an=6n－5（n∈N*）．（2）由（1）得bn===，Tn=b1＋b2＋b3＋…＋bn=[1－＋－＋－＋…＋－]=（1－）．因此，使得（n∈N*）成立的m必須且僅須滿(mǎn)足，即m≥10，故滿(mǎn)足要求的最小整數(shù)m＝10．23 (1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，故直線(xiàn)EF的方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，此時(shí)，設(shè)直線(xiàn)EF與平面所成角為，則.  

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