福建省三明市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期普通高中期末考試質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷及參考答案

這是一份福建省三明市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期普通高中期末考試質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷及參考答案，共24頁。試卷主要包含了選擇題.，選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2020-2021學(xué)年福建省三明市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.
1．青少年近視問題已經(jīng)成為我國面臨的重要社會問題．現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查某校學(xué)生的視力情況，該校三個(gè)年級的學(xué)生人數(shù)如表：
年級
高一
高二
高三
人數(shù)
550
500
450
已知在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是（　　）

A．AB B．AD C．BC D．AC
3．下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．事件A的概率P（A）必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，則事件A是必然事件
C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)其有明顯的療效的可能性為76%
D．某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此券10張，一定有5張中獎(jiǎng)
4．若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次（3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的情況）不低于第3名，則稱該同學(xué)為班級的尖子生．根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷一定是尖子生的是（　?。?br /> A．甲同學(xué)：平均數(shù)為2，方差小于1
B．乙同學(xué)：平均數(shù)為2，眾數(shù)為1
C．丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2
D．丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于1
5．設(shè)D，E分別為△ABC兩邊BC，CA的中點(diǎn)，則＝（　　）
A． B． C． D．
6．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個(gè)小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個(gè)字，若有放回地從袋子中任意摸出一個(gè)小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個(gè)球都摸到就停止摸球．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估計(jì)，恰好在第三次就停止摸球的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
7．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則的值為（　?。?br />
A．1 B．2 C． D．
8．△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)E滿足，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則cos∠ADE＝（　?。?br />
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.
9．從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)，有如下隨機(jī)事件：
A＝“恰有一個(gè)偶數(shù)”，B＝“恰有一個(gè)奇數(shù)”，
C＝“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，D＝“兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，
E＝“至多有一個(gè)奇數(shù)”．
下列結(jié)論正確的有（　?。?br /> A．A＝B B．B?C
C．D∩E＝? D．C∩D＝?，C∪D＝Ω
10．下列命題正確的是（　?。?br /> A．若，則或
B．已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（0，4）
C．若，則向量，的夾角為鈍角
D．設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則，可作為該平面的一個(gè)基底
11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，A1D1上的動點(diǎn)．給出下面四個(gè)命題，其中正確的是（　?。?br />
A．EF∥AC
B．直線AF與直線CE所成角的最大值是
C．若直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)在直線DD1上
D．若直線AF與直線CE相交，則二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值為
12．在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°，下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．若，則
B．若∠APB＝150°，則
C．△BPC的面積的最大值為
D．△ABP的面積的取值范圍是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣4）+（a+2）i為純虛數(shù)，則a＝　 　．
14．2021年1月1日起，三明市全面鋪開市區(qū)生活垃圾分類工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其他垃圾”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類投放．若某居民將“廚余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機(jī)地投放到四個(gè)分類垃圾桶中的兩個(gè)，則兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為 　 ?。?br /> 15．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖，是一個(gè)棱長為1的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上．則該正方體的棱長為 　 ??；半正多面體的表面積為 　 ?。?br />
16．已知正三棱錐A﹣BCD的底面是邊長為3的正三角形，其外接球O的表面積為16π，且點(diǎn)A到底面BCD的距離小于外接球O的半徑，E為AD的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的余弦值為 　 ?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，所對應(yīng)的向量分別為，．
（1）求所對應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求的值．
18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是邊長為的菱形，A1C1＝B1C＝2，A1B1⊥平面BCC1B1，E，F(xiàn)分別是AC，BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A1B1C；
（2）求直線A1C1與平面A1B1C所成的角．

19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求△ABC的面積．
20．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響．求：
（1）甲至少抽到1道填空題的概率；
（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率．
21．已知A，B兩家公司的員工月均工資情況如圖：

（1）以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，根據(jù)圖1估計(jì)A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請簡要說明理由．
（2）小明擬到A，B兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個(gè)公司？
22．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面PBC⊥平面PBE；
（2）是否存在點(diǎn)F，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，在平面PBE內(nèi)確定一點(diǎn)H，使CH+FH的值最小，并求此時(shí)的值．



參考答案
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.
1．青少年近視問題已經(jīng)成為我國面臨的重要社會問題．現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查某校學(xué)生的視力情況，該校三個(gè)年級的學(xué)生人數(shù)如表：
年級
高一
高二
高三
人數(shù)
550
500
450
已知在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（　?。?br /> A．18 B．20 C．22 D．24
解：設(shè)該樣本中高三年級的人數(shù)為n，
由分層抽樣的性質(zhì)列方程得：
，
解得n＝18．
故選：A．
2．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是（　?。?br />
A．AB B．AD C．BC D．AC
解：由斜二測畫法法則知，直觀圖△A′B′C′對應(yīng)的原圖形△ABC是直角三角形，
其中AC是斜邊，AD是直角邊上的中線，所以最長的線段是AC．
故選：D．
3．下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．事件A的概率P（A）必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，則事件A是必然事件
C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)其有明顯的療效的可能性為76%
D．某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此券10張，一定有5張中獎(jiǎng)
解：由概率的基本性質(zhì)，事件A的概率P（A）的值滿足0≤P（A）≤1，故A錯(cuò)誤；
必然事件概率為1，故B錯(cuò)誤；
某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此券10張，不一定有5張中獎(jiǎng)，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
4．若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次（3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的情況）不低于第3名，則稱該同學(xué)為班級的尖子生．根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷一定是尖子生的是（　?。?br /> A．甲同學(xué)：平均數(shù)為2，方差小于1
B．乙同學(xué)：平均數(shù)為2，眾數(shù)為1
C．丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2
D．丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于1
解：記甲同學(xué)三次考試名次為a，b，c，
則＝2，＜1，
若甲同學(xué)三次考試名次中低于第3名的，不妨設(shè)a≥4，
則（a﹣2）2≥4，與＜1相矛盾，故A正確，
若三次考試名次為1，1，4，滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為1，故B錯(cuò)，
若三次考試名次為2，2，4，滿足中位數(shù)為2，眾數(shù)為2，故C錯(cuò)，
若三次考試名次為2，2，4，滿足眾數(shù)為2，方差大于1，故D錯(cuò)，
故選：A．
5．設(shè)D，E分別為△ABC兩邊BC，CA的中點(diǎn)，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：因?yàn)镈，E分別為△ABC兩邊BC，CA的中點(diǎn)，
所以＝（+）+（﹣）＝（+）+（﹣）＝．
故選：D．

6．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個(gè)小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個(gè)字，若有放回地從袋子中任意摸出一個(gè)小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個(gè)球都摸到就停止摸球．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估計(jì)，恰好在第三次就停止摸球的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
解：經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
共有20組隨機(jī)數(shù)，
恰好在第三次就停止摸球的隨機(jī)數(shù)有：324，144，133，共有3個(gè)，
所以恰好在第三次就停止摸球的概率為．
故選：B．
7．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則的值為（　?。?br />
A．1 B．2 C． D．
解：連接CD，交PE于G，連接FG，如圖，
∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，
∴AD∥FG，
∵點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)．
∴G是△PBC的重心，
∴＝＝．
故選：C．

8．△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)E滿足，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則cos∠ADE＝（　?。?br />
A． B． C． D．
解：根據(jù)題意，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，設(shè)＝λ，
則＝λ（+）＝+，
又由A、D、B三點(diǎn)共線，則+＝1，解可得λ＝3，
故＝+，
＝﹣＝﹣﹣＝（﹣）＝，
又由AB＝5，則AD＝3，DC＝2，
則在△ABC中，cos∠ABC＝＝，
則CD2＝BD2+BC2﹣2BD×BC×cos∠ABC＝，則CD＝，
故在△ADC中，cos∠ADE＝cos∠ADC＝＝；
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.
9．從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)，有如下隨機(jī)事件：
A＝“恰有一個(gè)偶數(shù)”，B＝“恰有一個(gè)奇數(shù)”，
C＝“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，D＝“兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，
E＝“至多有一個(gè)奇數(shù)”．
下列結(jié)論正確的有（　?。?br /> A．A＝B B．B?C
C．D∩E＝? D．C∩D＝?，C∪D＝Ω
解：∵從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)，
∴當(dāng)恰有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，另外一個(gè)必為奇數(shù)，當(dāng)恰有一個(gè)奇數(shù)時(shí)，另外一個(gè)必為偶數(shù)，故A＝B，故A選項(xiàng)正確，
“至少有一個(gè)是奇數(shù)的事件”包含”恰有一個(gè)奇數(shù)的事件”，故B?C，故B選項(xiàng)正確，
“至多有一個(gè)奇數(shù)的事件”包含“一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)的事件”和“兩個(gè)都為偶數(shù)的事件”，故D，E不互斥，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
C＝“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，D＝“兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，C和D即是互斥事件，又是對立事件，故D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
10．下列命題正確的是（　?。?br /> A．若，則或
B．已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（0，4）
C．若，則向量，的夾角為鈍角
D．設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則，可作為該平面的一個(gè)基底
解：對于A：若，若不為，則，故A錯(cuò)誤；
對于B：已知，，所以cos＝，故向量在向量上的投影向量為，所以向量的坐標(biāo)為（0，4），故B正確；
對于C：若，則向量，的夾角為鈍角或相反向量，故C錯(cuò)誤；
對于D：設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則，，所以＝（2，1），，由于不共線，所以可作為該平面的一個(gè)基底，故D正確；
故選：BD．
11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，A1D1上的動點(diǎn)．給出下面四個(gè)命題，其中正確的是（　?。?br />
A．EF∥AC
B．直線AF與直線CE所成角的最大值是
C．若直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)在直線DD1上
D．若直線AF與直線CE相交，則二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值為
解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)E在C1，F(xiàn)在A1時(shí)，EF∥AC，但點(diǎn)E，F(xiàn)是動點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對于B選項(xiàng)，直線AF與直線CE所成角的最大值就是E，F(xiàn)與D1重合時(shí)取得，夾角是，故B選項(xiàng)正確，
對于C選項(xiàng)，∵空間3個(gè)平面兩兩相交有3條交線，要么互相平行，要么相交于一點(diǎn)，
∴直線AF與直線CE相交，則交點(diǎn)在直線DD1上，故C選項(xiàng)正確，
對于D選項(xiàng)，當(dāng)E，F(xiàn)與D1重合時(shí)，二面角E﹣AC﹣D的平面角最小，連接BD交AC于O，連接AD1，CD1，OD1，

∵AD1＝CD1，O為AC的中點(diǎn)，
∴D1O⊥AC，
又∵DO⊥AC，
∴∠D1OD 為二面角E﹣AC﹣D的平面角，
設(shè)正方體的邊長為a，則OD＝，
∴，故D選項(xiàng)正確．
故選：BCD．
12．在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°，下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．若，則
B．若∠APB＝150°，則
C．△BPC的面積的最大值為
D．△ABP的面積的取值范圍是
解：對于A：當(dāng)PB＝時(shí)，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，
在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝AB2+PB2﹣2AB?PB?cos30°
＝3+﹣2×××＝，∴PA＝，故A錯(cuò)誤；
對于B：∠APB＝150°時(shí)，設(shè)∠BCP＝α，α∈（0°，60°），
則∠PAB＝30°﹣α，所以＝tanα，
因?yàn)锽C＝1，所以PB＝BC?sinα＝sinα，
在△PBA中，根據(jù)正弦定理，＝，
可得＝，
化簡得cosα＝4sinα，所以tanα＝，
所以＝，故B正確；
對于C：由B得∠BCP＝α?xí)r，PC＝cosα，BP＝sinα，α∈（0°，60°），
所以S△PBC＝sinαcosα＝sin2α，
當(dāng)2α＝90°，即α＝45°時(shí)，sin2α取到最大值1，
則△PBC的最大值為，故C正確；
對于D：由C得，當(dāng)∠BCP＝α?xí)r，∠PBA＝α，α∈（0°，60°），
所以在直角坐標(biāo)系中，又xP＝sinαcosα，yP＝sin2α，
所以S△PBA＝BA?yP＝×sin2α＝sin2α，
因?yàn)閟inα在（0°，60°）上單調(diào)遞增，故sin2α在（0°，60°）上單調(diào)遞增，
所以sin20°＝0，sin260＝，
所以sin20°＝0，sin260°＝，
所以S△PBA∈（0，），故D錯(cuò)誤，
故選：BC．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣4）+（a+2）i為純虛數(shù)，則a＝　2?。?br /> 解：若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣4）+（a+2）i為純虛數(shù)，
則，求得a＝2，
故答案為：2．
14．2021年1月1日起，三明市全面鋪開市區(qū)生活垃圾分類工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其他垃圾”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類投放．若某居民將“廚余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機(jī)地投放到四個(gè)分類垃圾桶中的兩個(gè)，則兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為 　　．
解：“廚余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機(jī)地投放到四個(gè)分類垃圾桶中，共有種不同的投放方法，
兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確，則共有1種投放方法，
所以兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為．
故答案為：．
15．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖，是一個(gè)棱長為1的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上．則該正方體的棱長為 　　；半正多面體的表面積為 　　．

解：由題意，可將正六邊形補(bǔ)全為正方形，
則△DEF是斜邊為1的等腰直角三角形，直角邊DF＝，
所以正方形的邊長為DC＝1+2×＝；
半多面體包含6個(gè)正六邊形，8個(gè)正三角形，
每個(gè)正六邊形的面積，
每個(gè)等邊三角形的面積，
所以半個(gè)正多面體的表面積為＝．
故答案為：；．

16．已知正三棱錐A﹣BCD的底面是邊長為3的正三角形，其外接球O的表面積為16π，且點(diǎn)A到底面BCD的距離小于外接球O的半徑，E為AD的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的余弦值為 　?。?br /> 解：因?yàn)橥饨忧蚯騉的表面積為16π，
設(shè)其半徑為r，則有4πr2＝16π，解得r＝2，
設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為x，
則有（x﹣2）2+（）2＝22，解得x＝1或x＝3（舍），
取BD的中點(diǎn)Q，則EQ∥AB，
所以異面直線AB與CE所成角為∠QEC或它的補(bǔ)角，
AB＝＝＝2，即AC＝AD＝2，
所以EQ＝1，而CQ＝＝，
cos∠CAD＝＝﹣，
所以CE2＝AC2+AE2﹣2AC?AEcos∠CAD＝4+1﹣2×＝，
所以CE＝＝，
cos∠QEC＝＝＝﹣，
故異面直線AB與CE所成角的余弦值為．
故答案為：．

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，所對應(yīng)的向量分別為，．
（1）求所對應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求的值．
解：（1）∵，，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
（2）∵，，，
∴，
∴．
18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是邊長為的菱形，A1C1＝B1C＝2，A1B1⊥平面BCC1B1，E，F(xiàn)分別是AC，BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A1B1C；
（2）求直線A1C1與平面A1B1C所成的角．

【解答】（1）證明：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
則EG∥AB，F(xiàn)G∥B1C，
∵AB∥A1B1，∴EG∥A1B1，
∵EG?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，
∴EG∥平面A1B1C；
∵FG?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，
∴FG∥平面A1B1C；
又EG∩FG＝G，EG，F(xiàn)G?平面EFG，
∴平面EFG∥平面A1B1C；
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面A1B1C；
（2）解：設(shè)BC1與B1C交于點(diǎn)H，連接A1H，
∵側(cè)面BCC1B1是邊長為的菱形，A1C1＝B1C＝2，
∴B1C⊥HC1，B1H＝1，
∴；
∵A1B1⊥平面BCC1B1，HC1?平面BCC1B1，
∴A1B1⊥HC1，
∵B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1?平面A1B1C，
∴HC1⊥平面A1B1C，
∴∠C1A1H為直線A1C1與平面A1B1C所成的角；
∵A1H?平面A1B1C，∴HC1⊥A1H；
∵又，A1C1＝2，
∴，
∴，即直線A1C1與平面A1B1C所成的角為．


19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求△ABC的面積．
解：（1）∵a＝b（sinC+cosC），
由正弦定理得，sinA＝sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）＝sinB（sinC+cosC），
∴sinBcosC+cosBsinC＝sinBsinC+sinBcosC，
∴cosBsinC＝sinBsinC，
∴cosB＝sinB，
∴tanB＝1，
又B∈（0，π），
∴．
（2）∵，，
∴，可得，
∴由正弦定理，可得，
∴．
20．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響．求：
（1）甲至少抽到1道填空題的概率；
（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率．
解：（1）記3道選擇題的題號為1，2，3，2道填空題的題號為4，5，
則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型，
記事件A＝“甲至少抽到1道填空題”，
則A＝{（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
所以n（A）＝7，
故，
因此甲至少抽到1道填空題的概率為；
（2）設(shè)事件A1，A2分別表示甲答對1道題，2道題，事件B0，B1分別表示乙答對0道題，1道題，
則，
，
，
，
記事件B＝“甲答對的題數(shù)比乙多”，
則B＝A1B0∪A2B0∪A2B1，且A1B0，A2B0，A2B1兩兩互斥，A1與B0，A2與B0，A2與B1分別相互獨(dú)立，
所以P（B）＝P（A1B0）+P（A2B0）+P（A2B1）
＝P（A1）P（B0）+P（A2）P（B0）+P（A2）P（B1）
＝，
故甲答對的題數(shù)比乙多的概率為．
21．已知A，B兩家公司的員工月均工資情況如圖：

（1）以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，根據(jù)圖1估計(jì)A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請簡要說明理由．
（2）小明擬到A，B兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個(gè)公司？
解：（1）A公司員工月均工資的平均數(shù)為：
0.3×0.18+0.5×0.29+0.7×0.3+0.9×0.21+29×0.02＝1.178（萬元），
由A公司員工月均工資的扇形圖知，在0.6萬元以下的比例為0.18+0.29＝0.47，
A公司員工月均工資在0.8萬元以下的比例為0.18+0.29+0.3＝0.77，
A公司員工月均工資的中位數(shù)為（萬元），
∵平均數(shù)受每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越離群的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響越大，
又∵公司少數(shù)員工的月收入很高，在這種情況下平均數(shù)明顯右偏，
∴并不能較好的反映普通員工的收入水平，
∵中位數(shù)不受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響，
∴中位數(shù)可以較好的反映普通員工的收入水平．
（2）B公司員工月均工資的平均數(shù)為：
（0.3×0.375+0.5×0.75+0.7×2.75+0.9×1+1.1×0.125）×0.2＝0.69（萬元），
由B公司員工月均工資的頻率分布直方圖知，在0.6萬元以下的比例為（0.375+0.75）×0.2＝0.225，
B公司員工月均工資在0.8萬元以下的比例為（0.375+0.75+2.75）×0.2＝0.775，
B公司員工月均工資的中位數(shù)為（萬元），
∵B公司員工工資數(shù)據(jù)較為集中，月工資的平均數(shù)和中位數(shù)均能反映該公司普通員工的平均收入水平，
又∵B公司員工月工資（萬元）平均數(shù)為0.69，中位數(shù)為0.7，
均大于反映A公司普通員工的收入水平的中位數(shù)0.62，
∴以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選B公司應(yīng)聘．
22．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面PBC⊥平面PBE；
（2）是否存在點(diǎn)F，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，在平面PBE內(nèi)確定一點(diǎn)H，使CH+FH的值最小，并求此時(shí)的值．

【解答】（1）證明：∵△PAD是正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，
∴PE⊥AD．
∵ABCD是菱形，∴AD＝AB．
又∵∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，
∴BE⊥AD，而BE∩PE＝E，
∴AD⊥平面PBE．
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PBE．
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBE；
（2）解：由，知．
∴，
又VD﹣PFB＝VP﹣BDC﹣VF﹣BCC＝λVF﹣BCD，
因此，的充要條件是，
∴λ＝4．
即存在滿足的點(diǎn)F，使得，此時(shí)λ＝4；
（3）解：延長CB到C'，使得BC＝BC'，
由（1）知CB⊥平面PBE，
則C'是點(diǎn)C關(guān)于面PBE的對稱點(diǎn)，
在平面PBC中，過點(diǎn)C'作C'F⊥PC，垂足為F，交PB于H，則點(diǎn)H是使CH+FH的值最小的點(diǎn)．
設(shè)BC＝2a，則，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，∵BE?平面ABCD，
∴PE⊥BE，得，
∴，
∴，
得．