2020-2021學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)集合，，則　　A． B．， C．，， D．，，2．（5分）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是　　A． B． C． D．3．（5分）若，則的值為　　A． B． C． D．4．（5分）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．5．（5分）如圖是函數(shù)，，的部分圖象，給出下列四種說法：①函數(shù)的周期為；②函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為；③函數(shù)的遞減區(qū)間為；④當(dāng)時，函數(shù)的值域為．其中，正確的說法是　　A．①② B．①③ C．②③ D．③④6．（5分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為　　A． B． C． D．7．（5分）三棱錐的頂點(diǎn)均在一個半徑為4的球面上，為等邊三角形且其邊長為6，則三棱錐體積的最大值為　　A． B． C． D．8．（5分）已知，，，則　　A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（5分）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是　　A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)10．（5分）對于非零向量，下列命題中錯誤的是　　A．若，則 B．若，則 C． D．11．（5分）如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，以下命題正確的是　　A．有水的部分始終呈棱柱形 B．水面所在四邊形的面積為定值 C．棱始終與水面所在平面平行 D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，是定值12．（5分）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過雙曲線上的一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，若，則　　A．雙曲線的離心率為 B．四邊形的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)） C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線與直線的斜率之積為定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）的展開式中，的系數(shù)為 　　．（用數(shù)字作答）14．（5分）甲、乙、丙等5位同學(xué)隨機(jī)站成一排合影留念，甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)，則不同的站法共有 　　種．（用數(shù)字作答）15．（5分），，為三個不重合的平面，，，為三條不同的直線，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．其中正確命題的序號是 　　．16．（5分）設(shè)函數(shù)，，其中，．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則　　．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，，兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），為了測量，兩點(diǎn)間的距離，在，兩點(diǎn)的對岸選定兩點(diǎn)，，測得，并且在點(diǎn)，兩點(diǎn)分別測得，，，，試求，兩點(diǎn)間的距離（精確到．附：，，．18．（12分）甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．19．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，前3項和為7，且，，成等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的首項為1，其前項和為，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．20．（12分）如圖，在四棱錐中，已知底面是等腰梯形，，，側(cè)面是等邊三角形，，點(diǎn)在平面上的射影恰是線段的中點(diǎn)．求：（1）二面角的大??；（2）異面直線與所成角的余弦值．21．（12分）拋物線的方程為，過拋物線上一點(diǎn)，作斜率為，的兩條直線分別交拋物線于，，，兩點(diǎn)，，三點(diǎn)互不相同），且滿足．（1）若線段的中點(diǎn)為，證明線段的中點(diǎn)在軸上；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求為鈍角時點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，，證明：．
2020-2021學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)集合，，則　　A． B．， C．，， D．，，【解答】解：集合，或，．故選：．2．（5分）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是　　A． B． C． D．【解答】解：，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．故選：．3．（5分）若，則的值為　　A． B． C． D．【解答】解：，，又，，．故選：．4．（5分）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．【解答】解：，，．故選：．5．（5分）如圖是函數(shù)，，的部分圖象，給出下列四種說法：①函數(shù)的周期為；②函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為；③函數(shù)的遞減區(qū)間為；④當(dāng)時，函數(shù)的值域為．其中，正確的說法是　　A．①② B．①③ C．②③ D．③④【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象：，，故，所以，當(dāng)時，，故，故，當(dāng)時，，時，，根據(jù)函數(shù)的圖象，，故，對于①，函數(shù)的周期為，故①正確；對于②，當(dāng)時，，故②錯誤；對于③，令，整理得：，故函數(shù)的遞減區(qū)間為，故③正確；④當(dāng)時，故，函數(shù)的值域為，故④錯誤．故選：．6．（5分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為　　A． B． C． D．【解答】解：以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即，即，從而，則橢圓的離心率，故選：．7．（5分）三棱錐的頂點(diǎn)均在一個半徑為4的球面上，為等邊三角形且其邊長為6，則三棱錐體積的最大值為　　A． B． C． D．【解答】解：三棱錐是半徑為4的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形，所以，球心為，三角形 的外心為，顯然是的延長線與球的交點(diǎn)，如圖所示：計算，，所以三棱錐高的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為．故選：．8．（5分）已知，，，則　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，求導(dǎo)可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，（a）（4），同理可得（b）（5），（c）（6），當(dāng)時，，且在單調(diào)遞減，，，，又（4）（5）（6），（a）（b）（c），又在單調(diào)遞減，．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（5分）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是　　A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)可得：月接待游客量逐月有增有減，故錯誤；年接待游客量逐年增加，故正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故正確；各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故正確；故選：．10．（5分）對于非零向量，下列命題中錯誤的是　　A．若，則 B．若，則 C． D．【解答】解：選項，，由是非零向量，所以，，故，所以，即，故錯誤；選項，，，，不能得到，故錯誤；選項，表示與共線的向量，表示與共線的向量，故錯誤；選項，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算律可知，正確；故選：．11．（5分）如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，以下命題正確的是　　A．有水的部分始終呈棱柱形 B．水面所在四邊形的面積為定值 C．棱始終與水面所在平面平行 D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，是定值【解答】解：由棱柱的特征：有兩個平面時相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，故選項正確；因為睡眠所在四邊形的面積，從圖2，圖3可以發(fā)現(xiàn)，有條邊長不變，而另外一條長隨著傾斜度變化而變化，所以所在四邊形的面積是變化的，故選項錯誤；因為棱始終與是平行的，與平面始終平行，故選項正確；因為水的體積是不變的，高始終是也不變，則底面也不變，即是定值，故選項正確．故選：．12．（5分）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過雙曲線上的一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，若，則　　A．雙曲線的離心率為 B．四邊形的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)） C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線與直線的斜率之積為定值【解答】解：雙曲線的兩條漸近線分別為和，設(shè)，，則所以，又點(diǎn)在雙曲線上，則，所以，因為，所以，即，又，所以，故正確；因為，所以，所以，所以四邊形是矩形，故四邊形的面積為，故正確；因為，所以雙曲線的漸近線方程為，故錯誤；，故正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）的展開式中，的系數(shù)為 　60　．（用數(shù)字作答）【解答】解：的通項公式為：．令，得．可得項的系數(shù)為，故答案為：60．14．（5分）甲、乙、丙等5位同學(xué)隨機(jī)站成一排合影留念，甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)，則不同的站法共有 　24　種．（用數(shù)字作答）【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將除甲乙丙之外的2人全排列，有種情況，②將甲乙看成一個整體，和丙一起安排在空位中，有種情況，則有種不同的站法；故答案為：24，15．（5分），，為三個不重合的平面，，，為三條不同的直線，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．其中正確命題的序號是 　①④　．【解答】解：①若，，由平行公理可得，故①正確；②若，，則或與相交或與異面，故②錯誤；③若，，則或與相交，故③錯誤；④若，，由平面與平面平行的傳遞性可得，故④正確．故答案為：①④．16．（5分）設(shè)函數(shù)，，其中，．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則　4　．【解答】解：，，因為是極值點(diǎn)，所以，即，又即，因為，所以，即，因為，所以，把代入化簡得，因為，所以，即．故答案為：4．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，，兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），為了測量，兩點(diǎn)間的距離，在，兩點(diǎn)的對岸選定兩點(diǎn)，，測得，并且在點(diǎn)，兩點(diǎn)分別測得，，，，試求，兩點(diǎn)間的距離（精確到．附：，，．【解答】解：在中，，，，所以，是直角三角形，求得．在中，，，所以．由正弦定理，得，所以．在中，，由余弦定理，得，所以，，兩點(diǎn)間的距離為．18．（12分）甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意知的可能取值是0，1，2，3，，，，的概率分布如下表：0123，（或；（Ⅱ）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件，則，，為互斥事件．甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為19．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，前3項和為7，且，，成等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的首項為1，其前項和為，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為前3項和為7，且，，成等差數(shù)列，所以，（其中舍去），所以數(shù)列的通項公式為；因為，所以，兩式相減，得，化簡得，于是，所以；（2）由（1）知，，則，所以，故，所以．20．（12分）如圖，在四棱錐中，已知底面是等腰梯形，，，側(cè)面是等邊三角形，，點(diǎn)在平面上的射影恰是線段的中點(diǎn)．求：（1）二面角的大??；（2）異面直線與所成角的余弦值．【解答】解：設(shè)，則，（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因為是等腰梯形，且為的中點(diǎn)，所以于．因為是等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以于．所以是二面角的平面角．點(diǎn)在平面上的射影為，，．于是中，，所以．即二面角的大小是．（2）過作的平行線交于，則等于異面直線與所成的角．由是平行四邊形，得．在中，．在中，．在中，由余弦定理得，異面直線與所成角的余弦值為．21．（12分）拋物線的方程為，過拋物線上一點(diǎn)，作斜率為，的兩條直線分別交拋物線于，，，兩點(diǎn)，，三點(diǎn)互不相同），且滿足．（1）若線段的中點(diǎn)為，證明線段的中點(diǎn)在軸上；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求為鈍角時點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為，點(diǎn)，和點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解，消去，整理得，于是，即，同理可得，，因為，所以，因為線段的中點(diǎn)為，所以，因為，所以線段的中點(diǎn)在軸上；（2）由（1）知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，，代入，求得，同理可得，，因此直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，，于是，，所以，因為為鈍角且、、三點(diǎn)互不相同，所以，即，解得或，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所述，為鈍角時點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，，證明：．【解答】解：（1）．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時，有最大值．當(dāng)時，，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時，，函數(shù)有1個零點(diǎn)：當(dāng)時，，，（a），（a）．當(dāng)時，（a）；當(dāng)時，（a）．所以，（a）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．所以，即（a）．所以在和各有一個零點(diǎn)，即有兩個零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)．（2）證明：由（1）知，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)時，，且．要證，只需證．因為在單調(diào)遞減，所以只需證．因為，所以只需證，其中．令，，則，所以，因為，所以在單調(diào)遞增，從而，所以在單調(diào)遞減，所以，即，于是，所以．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 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