安徽省名校聯(lián)盟2020－2021學(xué)年第二學(xué)期期末考試卷高二理科數(shù)學(xué)滿分：150分  考試時間：120分鐘注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用O．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3.請按照題序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效；在草稿紙、試題卷上的答題無效．4.保持答題卡卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（    ）A.        B.        C.        D.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（2＋3i）z＝－3＋2i，則z為（    ）A.i        B. －i         C.1＋i        D.1－i3.若，則（    ）A.               B.C.        D.4.某人在網(wǎng)上購買了100只青島產(chǎn)的蝦，開箱打開發(fā)現(xiàn)：蝦有白色、灰色兩種顏色，統(tǒng)計后并制成下面的表： 中小蝦大蝦白色4015灰色2025則可以認(rèn)為大蝦與其顏色有關(guān)的概率參考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．至多為99.9%        B.至少為99.5%        C.至多為0.5%        D.至少為0.1%5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（    ）A.4        B.8        C.16        D.646.直線l過點（2，1），且與雙曲線有且只有一個公共點，則這樣的不同直線的條數(shù)為（    ）A.1        B.2        C.3        D.47.在平行四邊形ABCD中，設(shè)，E為AD的靠近D的三等分點，CE與BD交于F，則（    ）A.        B.        C.        D.8.如圖所示，在矩形OABC內(nèi)，線段AB與圓弧ODC相切于D，已知矩形的長和寬分別為和1，現(xiàn)在向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一質(zhì)點，則該質(zhì)點落在圖中陰影部分的概率為（    ）A.        B.        C.        D.9.小張在創(chuàng)業(yè)之初，于2020年1月5號交了30%的首付（30萬元），貸款買了一臺價格為100萬元的大型設(shè)備，約定：還款期為10年，月息為千分之六，從2020年的2月5號開始以等額本金的形式還貸，即每月還本金萬元及本次還款前一個月未還的本金產(chǎn)生的利息．假設(shè)受市場影響，小張在2021年的5月5號開始不能如期還款，故小張當(dāng)天在網(wǎng)上變賣這臺設(shè)備，結(jié)果只賣出50萬元，用來一次性還銀行貸款以后，則當(dāng)天小張還差銀行（    ）A.10.3675萬元        B.11.2500萬元        C.11.6175萬元        D.18.7755萬元10.動點P，Q分別在函數(shù)的圖象上運動，則的最小值為（    ）         11.定義為不超過x的最大整數(shù)，例如－2，若區(qū)間（為正整數(shù)）在數(shù)軸上任意滑動，則區(qū)間覆蓋數(shù)軸上整數(shù)的個數(shù)為（    ）                 12.的大小關(guān)系為（    ）                二、填空題：共5小題，每小題4分，共20分．13.的值為        ．14.已知實數(shù)x，y滿足不等式組，若，則z的最大值為        ．15.若，則的值為        ．16.在四棱錐P－ABCD中，若PA＝AB＝AD＝，∠BCD＝2∠PAB＝2∠PAD＝2∠BAD＝，則四棱錐P－ABCD外接球表面積為        ．三、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟．17.（10分）在等差數(shù)列中，已知分別為復(fù)數(shù)的實部與虛部．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．18.（12分）在三角形ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C的對邊，．（1）若c＝2，B＝，AD平分角A交BC于D，求AD的長；（2）若b，c為函數(shù)的兩個不同的零點，求BC邊上的高．19.（12分）小張大學(xué)畢業(yè)后決定選擇自主創(chuàng)業(yè)，在進(jìn)行充分的市場調(diào)研下得到如下的兩張表格：項目A利潤占投入的百分比10%5%－5%頻率50%40%10%項目B利潤占投入的百分比10%5%－5%頻率40%xy項目B的表格中的兩個數(shù)據(jù)丟失，現(xiàn)用x，y代替，但調(diào)研時發(fā)現(xiàn)：投資A，B這兩個項目的平均利潤率相同．以下用頻率代替概率，A，B兩個項目的利潤情況互不影響．（1）求x，y的值；（2）小張在進(jìn)行市場調(diào)研的同時，拿到了200萬人民幣的風(fēng)險投資．現(xiàn)在小張與投資方共同決定對A，B這兩個項目分別投資100萬元，請預(yù)測小張總利潤率的概率分布和總利潤的數(shù)學(xué)期望．20.（12分）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，對角線AC與BD交于O點，連接PO．（1）求證：AC⊥PB（2）過B點作一直線l平行于PC，設(shè)Q為直線l上除B外的任意點，設(shè)直線PQ與平面PAC所成角為，求的取值范圍21.（12分）已知函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，，設(shè)為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)（1）當(dāng)a＝1時，求的零點；（2）當(dāng)0＜a＜1時，設(shè)的最小值為，求證：．22.（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，過F作x軸的垂線交雙曲線＝1的兩條漸近線于E，G，得到三角形OEG的面積為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P，M，N的三個點都在橢圓C上，設(shè)MN的中點為Q，且，試判斷△PMN的面積是否為定值，并說明理由．          安徽省名校聯(lián)盟2020－2021學(xué)年第二學(xué)期期末考試高二理科數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】D【解析】由題意可知，，所以選D2.【答案】A【解析】因為，所以3.【答案】A【解析】由正態(tài)分布曲線得，，所以A正確，B錯．，所以C，D錯，所以選A．4.【答案】B【解析】補成如下的2×2列聯(lián)表： 中小蝦大蝦合計白色401555灰色202545合計6040100所以，所以我們認(rèn)為大蝦與其顏色有關(guān)的概率至少為99.5%．5.【答案】B【解析】最后輸出的結(jié)果為6.【答案】B【解析】因為點（2，1）在漸近線上，所以這樣的不同直線l的條數(shù)為2，一條與漸近線平行，另外一條（此時斜率不存在）與雙曲線相切．7.【答案】A【解析】如圖，在AD上取G點，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，連接AK，GH，則AK∥GH∥EC，因為DE∥BC且，所以（相似比），所以，所以．8.【答案】D【解析】設(shè)圓弧所在圓的圓心為E，因為矩形的長和寬分別為和1，所以OC＝，拱高為1，所以∠OEC＝，EO＝2，所以圖中陰影部分的面積又矩形OABC的面積為，所以質(zhì)點落在圖中陰影部分的概率為．9.【答案】C【解析】小張在2021年的5月5號這一天差銀行貸款本金共計萬元，當(dāng)天設(shè)備賣了50萬還了銀行以后還差銀行本金為11.25萬，再加上2021年4月5號到5月5號產(chǎn)生的利息為萬元，所以小張還差銀行11.25＋0.3675＝11.6175萬元．10.【答案】B【解析】，設(shè)動點，當(dāng)在P點處切線與g（x）＝2x－2平行，過點P作直線垂線，垂足為點Q時，取得最小值，即為兩平行直線間的距離，亦即點P到直線2x－y－2＝0的距離是的最小值．令，解得，故P（0，1），所以11.【答案】C【解析】因為n－m為整數(shù)，所以當(dāng)n為整數(shù)時，m也為整數(shù)，所以此時[m，n]覆蓋數(shù)軸上個整數(shù)，當(dāng)n不是整數(shù)時，m也不是整數(shù)，所以此時[m，n]數(shù)軸上覆蓋n－m個整數(shù)，可以驗證：區(qū)間[m，n]覆蓋數(shù)軸上整數(shù)的個數(shù)為，所以選C．12.【答案】C【解析】，所以只需比較的大?。O(shè)，因為x＞2所以，記，所以所以所以在（2，＋∞）上單調(diào)遞減，所以選C．13.【答案】0【解析】sin117°＋sin243°＝cos27°＋（－cos27°）＝014.【答案】【解析】作出不等式組所對應(yīng)的可行域如圖，其中C（2，3），當(dāng)且僅當(dāng)動直線過點C（2，3）時，則z的最大值為．15.【答案】【解析】，所以在中，令得，，即的值為．16.【答案】【解析】因為∠BAD＝，∠BCD＝，所以A＋C＝，即四邊形ABCD四點共圓，四棱錐P－ABCD的外接球與三棱錐P－ABD的外接球為同一個，又PA＝AB＝AD＝，∠PAB＝∠PAD＝∠BAD＝所以三棱錐P－ABD為正四面體，如圖，構(gòu)造棱長1的正方體，正四面體的外接球即為正方體的外接球，易求得外接球半徑，所以外接球表面積．17.【解析】（1）設(shè)公差為d，因為分別為復(fù)數(shù)的實部與虛部，所以………………（2分）所以2d＝8－2，所以d＝3，……………………（3分）所以即通項公式為；……………………（5分）（2）……………………（7分）所以………………（10分）18.【解析】（1）因為，………………（2分）在三角形ABD中，由正弦定理得， ，………………（4分）因為c＝2，B＝，所以；…………（6分）（2）因為b，c為函數(shù)的兩個不同的零點，所以，…………（8分）在三角形ABC中，由余弦定理得，……（10分）設(shè)BC邊上的高為h，因為，所以，所以……………………（12分）19.【解析】（1）投資項目A的平均利潤率為10%x50%＋5%×40%－5%×10%＝0.065，……………（2分）投資項目B的平均利潤率為，……………………（4分）因為投資A，B這兩個項目的平均利潤率相同所以10%×40%＋5%（2x－60%）＝0.065，解得x＝0.55，y＝0.05，…………（6分）（2）預(yù)測小張的總利潤率為X，則X的值為10%，7.5%，5%，2.5%，0，－5%，進(jìn)一步可以預(yù)測小張總利潤率的概率分布為X10%7.5%5%2.5%0%－5%P20%43.5%22%6.5%7.5%0.5%………………………………………………（10分）小張總利潤為．…………………………（12分）20.【解析】（1）延長BA、CD交于一點R，因為AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2a，所以△RBC為正三角形，且AD為三角形RBC的中位線，即A為BR邊的中點，所以CA⊥BA，……………………………………………………………………（1分）因為PA⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PA⊥AC，…………………（2分）因為 ABPA＝A，所以AC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AC⊥PB；…………………………（4分）（2）由（1）得，AP，AB，AC兩兩垂直，故以A為原點，射線AB，AC，AP的方向為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，…………………（5分）顯然平面PAC的法向量為，…………………（6分）P（0，0，1），C（0，，0），B（1，0，0），所以＝（0，，－1），＝（1，0，－1），…………………（7分）因為l∥PC，所以可設(shè)其中，…………………（9分）……………………（10分）因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，．………………（12分）21.【解析】由已知得，，所以，定義域為，為上的增函數(shù)…………………………（2分）（1）當(dāng)a＝1時，，因為為上的增函數(shù)所以在上有唯一的零點1；………………（4分）（2）當(dāng)0＜a＜1時，，……………………（6分）因為為上的增函數(shù)所以在上有唯一的零點，且為函數(shù)f（x）的極小值點，………………（8分）因為，所以……………………（10分）因為，且為上的減函數(shù)，所以0，即．…………………………（12分）22.【解析】（1）因為橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，所以，其中，………………（1分）雙曲線的兩條漸近線的方程為，設(shè)FG＝t，則OF＝2t，因為三角形OEG的面積為1，所以，所以，，所以橢圓C的方程為；……………………（4分）（2）①當(dāng)直線MN的斜率不存在時，因為，所以Q（－1，0），此時MN的方程為x＝－1，或Q（1，0），此時MN的方程為x＝1將x＝－1，代入橢圓方程得所以△PMN的面積為，由橢圓軸對稱性得：當(dāng)MN的方程為x＝1時，△PMN的面積也為；……………………（6分）②當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN方程為y＝kx＋m，設(shè)，因為MN的中點為Q，且，所以△PMN的重心是坐標(biāo)原點O，所以，聯(lián)立y＝kx＋m和，得，當(dāng)時，所以，故，因為點P在橢圓上，所以代入橢圓整理得，滿足，因而m與k滿足的等式關(guān)系為①，…………………………（9分）當(dāng)時，………………………………（10分因為△PMN的重心是坐標(biāo)原點O，所以△PMN的面積為△OMN的面積的3倍，設(shè)直線l與y軸交與點D，則D（0，m）．那么△PMN的面積為，關(guān)系式①代入得，綜合①②得，△PMN的面積為定值．……………………（12分）

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