第21講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)圖象定義域值域R周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心對稱軸方程無2．三角函數(shù)的周期性(1)函數(shù)的最小正周期．應特別注意函數(shù)的周期為，函數(shù)()的最小正周期．(2)函數(shù)的最小正周期．應特別注意函數(shù)的周期為．函數(shù)()的最小正周期均為．(3)函數(shù)的最小正周期．應特別注意函數(shù)|的周期為，函數(shù)() 的最小正周期均為．3．三角函數(shù)的奇偶性(1)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；(2)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；(3)函數(shù)是奇函數(shù)?()．4．三角函數(shù)的對稱性(1)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；(2)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；(3)函數(shù)的圖象的對稱中心由)解得．題型一：定義域、值域、最值1．（2021·嘉峪關市第一中學高一期末）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（    ）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【詳解】，的最小正周期為，最大值為.故選：C.2．（2021·全國高一課時練習）若，且，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，因為，所以，解得，故選：C3．（2021·興仁市鳳凰中學高一期末）函數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以當時，取得最大值，故選：C.4．（2021·四川南充·（文））函數(shù)的最大值為（    ）A．1 B． C． D．3【答案】C【詳解】解：（其中），所以當時，取最大值，故選：C5．（2021·張家口市宣化第一中學高一月考）當時，函數(shù)的最大值，最小值分別為（    ）A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1【答案】D【詳解】，又，∴，即.故選：D.6．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)，，則的范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)圖象可知在區(qū)間上，函數(shù)先增后減，當時，，當時，.故選：C．7．（2021·全國高一課時練習）在上的最大值與最小值的和為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】當時，，則當，即時，；當，即時，，所以最大值和最小值的和為1.故選：B.8．（2021·河南商丘·高一月考）若函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的值為（  ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意， ，設銳角滿足，則.當時，函數(shù)的最大值為因此.當時，函數(shù)的最大值為解得.綜上，實數(shù)的值為.故選：B.9．（2021·天水市第一中學高三月考（文））函數(shù)是（    ）A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為9 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【詳解】解：由題意得又當時，的最值為.故選：D10．（2021·江蘇亭湖·鹽城中學高一月考）函數(shù)的值域為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，因為，所以．即值域為，故選：C．11．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)的值域為，則以下不符合條件的為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為值域為，當時，，由對稱性可知當時，，由圖象可知：，所以不符合條件，故選：D.12．（2021·石泉縣石泉中學高二開學考試（文））已知函數(shù)在處取得最小值，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵函數(shù)在處取得最小值，∴，∴，又解得：故選：D13．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)，的值域為（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因為，所以因為在上單調(diào)遞增，所以即故選：A14．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)y＝tan的定域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，，，，函數(shù)的定義域是，故選：.15．（2021·陜西省洛南中學）函數(shù)的定義域是（　　　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因為正切函數(shù)y＝tanx的定義域為{x|x≠kπ}，所以由2x≠kπ，得{x|x}．故選：C． 題型二：單調(diào)性1．（2021·贛州市贛縣第三中學高二開學考試（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，令.所以.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C2．（2021·六安市裕安區(qū)新安中學高一期中）在區(qū)間上，下列說法正確的是（    ）A．是增函數(shù)，且是減函數(shù)B．是減函數(shù)，且是增函數(shù)C．是增函數(shù)，且是增函數(shù)D．是減函數(shù)，且是減函數(shù)【答案】A【詳解】由正余弦函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間上，是增函數(shù)，且是減函數(shù)，故選：.3．（2021·全國高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由得≤≤（）得≤≤，（）≤≤，（）所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選：D4．（2021·上海）函數(shù)是增函數(shù)，則可以是A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，所以增區(qū)間為，當時，增區(qū)間為.故選：B5．（2021·北京市第六十六中學高一期中）函數(shù)是（    ）A．奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D由題意，函數(shù)的定義域，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間為遞減函數(shù).故選：D.6．（2021·上海高一課時練習）使得不等式成立的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C由不等式，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，即實數(shù)x的取值范圍是.故選：C.7．（2021·湖北高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.8．（2021·全國）在)內(nèi)，使成立的的取值范圍為（       ）A． B．C． D．∪【答案】D【詳解】由tanx>1，可得.再根據(jù)x∈(0，2π)，求得x∈∪，故選：D.9．（2021·深州長江中學）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，即，故選：C. 題型三：奇偶性1．（2021·陜西漢中·高三月考（文））下列函數(shù)中是偶函數(shù)的為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A：，故為奇函數(shù)；B：，故為奇函數(shù)；C：，故為偶函數(shù)；D：，故為奇函數(shù).故選：C2．（2021·陜西富平·高一期末）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A.函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯誤；B. 函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯誤；C. 函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故正確；D. 函數(shù)的定義域為，函數(shù)既不滿足，也不滿足，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故錯誤.故選：C3．（2021·云南昆明二十三中）函數(shù)是（    ）A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)【答案】A【詳解】由題意得，所以，故為奇函數(shù)，周期，故選：A4．（2021·北京市第六十六中學高一期中）函數(shù)是（    ）A．奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【詳解】由題意，函數(shù)的定義域，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間為遞減函數(shù).故選：D.5．（2021·全國高一單元測試）函數(shù)是（    ）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)【答案】A【詳解】，，所以函數(shù)最小正周期為，是偶函數(shù)，因此本題選A．6．（2021·嘉峪關市第一中學（文））下列函數(shù)中，周期為，且在區(qū)間單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A：的周期為，單調(diào)遞減，不合要求；B：的周期為，、單調(diào)遞增，不合要求；C：的周期為，單調(diào)遞增，符合要求；D：的周期為，不單調(diào)，不合要求；故選：C.7．（2021·全國高一課時練習）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于選項A：由于的周期為，故選項A不正確；對于選項B：由于以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)，故選項B不正確；對于選項C：故由于的周期為，故選項C不正確；對于選項D：由于在區(qū)間上為增函數(shù)，故選項D不正確.故選：B8．（2021·廣東江門·高一期末）下列四個函數(shù)中，在定義域內(nèi)是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A. ，則是偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，不滿足條件.B. 是偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，不滿足條件.C. ，則是偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，不滿足條件.D. 是偶函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，滿足條件.故選：D.9．（2021·上海高一課時練習）同時滿足條件：①在上是增函數(shù)；②以為最小正周期；③是奇函數(shù)的函數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對于A，因為函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，且是上的偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，是以為最小正周期的奇函數(shù)，故C正確；對于D，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，且最小正周期為，故D錯誤.故選：C. 題型四：對稱性 1．（2021·江西九江一中高一期中）函數(shù)圖象的對稱軸方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】的對稱軸為，令，解得.故選：A.2．（2021·北京市昌平區(qū)實驗學校）函數(shù)圖象的一條對稱軸是（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A：將代入可得，故不是函數(shù)的對稱軸，故選項A不正確；對于B：將代入可得，故不是函數(shù)的對稱軸，故選項B不正確；對于C：將代入可得，故是函數(shù)的對稱軸，故選項C正確；對于D：將代入可得，故不是函數(shù)的對稱軸，故選項D不正確；故選：C.3．（2021·上海市嘉定區(qū)第一中學）給出下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實數(shù)，使得；③若是第一象限角且，則；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形其中正確的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】解：對于①，因為（），，所以此函數(shù)是奇函數(shù)，所以①正確；對于②，因為，所以②錯誤；對于③，若，此時，所以③錯誤；對于④，當時，，所以是函數(shù)的一條對稱軸方程；當時，，所以函數(shù)的圖象不關于點成中心對稱圖形，所以④錯誤，故選：A4．（2021·北京高二期末）函數(shù)的一條對稱軸可以為（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因為，令，解得，即函數(shù)的對稱軸為，當時，；故選：C5．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)的圖象（    ）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【答案】B【詳解】可得是由向上平移1個單位得到，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的圖象關于軸對稱.故選：B.6．（2021·北京豐臺·高一期中）函數(shù)的圖象中，相鄰兩條對稱軸之間的距離是（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)的最小正周期是，因此相鄰兩條對稱軸之間的距離是．故選：C．7．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)的圖象（    ）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱【答案】D【詳解】由題設，由余弦函數(shù)的對稱中心為，令，得，，易知A、B錯誤；由余弦函數(shù)的對稱軸為，令，得，，當時，，易知C錯誤，D正確；故選：D8．（2021·湖北十堰·高一期末）函數(shù)圖象的一條對稱軸可能是直線（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，解得.當時，.故選：A.9．（2021·山東威海·高一期末）如果函數(shù)的圖像關于點對稱，那么的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，則，解得，∴當時，的最小值為.故選：B10．（2021·吉林高三模擬預測（理））函數(shù)圖象的對稱中心是（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】令，解得，則圖象的對稱中心為．故選：D.11．（2021·全國）函數(shù)的圖像的對稱中心為（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心是，令，解得，；所以函數(shù)的圖像的對稱中心為故選：D12．（2021·全國高三專題練習（文））函數(shù)的一個對稱中心是（    ）A．(0，0) B．(，0)C．(，0) D．以上選項都不對【答案】C【詳解】解：因為正切函數(shù)y=tanx圖象的對稱中心是(，0)，k∈Z；令3x+=，解得，k∈Z；所以函數(shù)y=tan(3x+)的圖象的對稱中心為(，0)，k∈Z；當k=3時,C正確，故選：C.13．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)的一個對稱中心是（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)中，令，；解得，；所以時，的一個對稱中心是，．故選：A．14．（2021·上海高一課時練習）函數(shù)圖象的對稱中心是（    ）A．                     B． C． D．【答案】D【詳解】因為正切函數(shù)的對稱中心為，由可得，因此，函數(shù)圖象的對稱中心是.故選：D.    

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