絕密★啟用前江西省萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分    注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分  一、單選題1．如圖，全集，，，則陰影部分表示的集合為（       ）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，若，則復(fù)數(shù)（       ）A． B．C． D．3．已知命題；命題，則下列為真命題的是（       ）A． B．C． D．4．如圖，直三棱柱中，，若，則異面直線所成角的大小是（       ）A． B． C． D．5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進行選修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（       ）A． B． C． D．6．已知，則（       ）A． B． C． D．7．已知定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，且當(dāng)時，，若，則（       ）A． B． C． D．8．如圖是計算的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)可以填入的條件為（       ）A． B．C． D．9．已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（       ）A． B． C． D．10．現(xiàn)收集到變量的六組觀測數(shù)據(jù)為：，用最小二乘法計算得其回歸直線為，相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析后發(fā)現(xiàn)為離群點（對應(yīng)殘差絕對值過大的點），剔除后，用剩下的五組數(shù)據(jù)計算得其回歸直線為，相關(guān)系數(shù)為.則下列結(jié)論不正確的是（       ）A． B．C． D．去掉離群點后，殘差平方和變小11．已知定義在上的函數(shù)，對任意，當(dāng)時，都有，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最大值為（       ）A． B． C． D．12．設(shè)，，，則（       ）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分  二、填空題13．已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則其離心率為_________．14．已知單位向量，滿足，則向量的夾角為_________．15．已知分別為銳角的內(nèi)角的對邊，若，則面積的最大值為_________．16．如圖，在正方形中，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號都寫上）          ①點的軌跡為圓弧；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中點為，則的長為定值；評卷人得分  三、解答題17．已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求證：數(shù)列的前項和.18．北京冬奧會于2022年2月4日至20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動．某高校組織了20000名學(xué)生參加線上冰雪運動知識競賽活動，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績制作了如下表格： 競賽得分頻率 (1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，在為“優(yōu)秀”，以這100名參賽學(xué)生中競賽得分的頻率作為全校知識競賽中得分在相應(yīng)區(qū)間的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校參加知識競賽的學(xué)生中隨機抽取3人，記競賽得分結(jié)果為“良好”及以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)已知此次知識競賽全校學(xué)生成績近似服從正態(tài)分布，若學(xué)校要對成績不低于分的學(xué)生進行表彰，請估計獲得表彰的學(xué)生人數(shù)．附：若隨機變量，則.19．如圖，在水平放置的直角梯形中，.以所在直線為軸，將向上旋轉(zhuǎn)角得到，其中. (1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值不超過，求的范圍.20．已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點與圓的圓心重合，為上一動點，點.若的最小值為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過焦點的直線與拋物線和圓從左向右依次交于四點，且滿足，求直線的方程．21．已知函數(shù)．(1)若，求的最大值；(2)若，證明：有兩個零點．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若點為曲線上任意一點，求點到直線距離的最小值．23．已知的最小值為．(1)求的值；(2)若正實數(shù)滿足，證明：．
參考答案：1．D【解析】【分析】利用交集和補集的定義即可求解.【詳解】由圖示可知，陰影部分可表示為,∵,∴,故選：.2．B【解析】【分析】根據(jù)對應(yīng)的點的特征直接求出即可.【詳解】因為對應(yīng)的點為，所對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，所以對應(yīng)的點為，所以.故選：B.3．B【解析】【分析】先判斷命題的真假，結(jié)合選項可得答案.【詳解】因為當(dāng)時，，所以為假命題；因為當(dāng)時，，所以為真命題；所以為真命題.故選：B.4．C【解析】【分析】連接，則即為異面直線所成角，再分別求出的邊長即可求出，得到答案【詳解】如圖所示，連接 ,即為異面直線所成角， 又， 在中， 是正三角形 故選：C5．B【解析】【分析】先求出從這7章里任選4章進行選修的選法總數(shù)，再求出學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的選法總數(shù)，由古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進行選修共有：種選法；學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章共有：種選法，故學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為：.故選：B.6．A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可以得到，再將化為齊次式，采用“弦化切”，代入即可得到答案【詳解】 ， 故選：A7．C【解析】【分析】由已知結(jié)合函數(shù)對稱性可求出，進而求得結(jié)果.【詳解】解：因為定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，且當(dāng)時，，若，則.故，即.故選：C.8．C【解析】【分析】根據(jù)求和的項數(shù)以及循環(huán)條件可得答案.【詳解】因為，共有1011項，所以時，應(yīng)該退出循環(huán)體.故選：C.9．B【解析】【分析】依據(jù)四點共圓，且直線的傾斜角為，利用橢圓定義可得，進而求得橢圓的離心率【詳解】根據(jù)題意四邊形為平行四邊形，又由四點共圓，可得平行四邊形為矩形，即又直線的傾斜角為，則有則，，則，即則橢圓的離心率故選：B10．B【解析】【分析】根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求解，然后逐項判斷.【詳解】解：由數(shù)據(jù)得：，，則，剔除離群點后：，，則，A. ，故正確；B. ，故錯誤；C. 剔除離群點后，相關(guān)程度越大，所以相關(guān)系數(shù)，故正確；D.剔除離群點后，相關(guān)程度越大，所以殘差平方和變小，故正確.故選：B.11．B【解析】【分析】依題意可得在上單調(diào)遞增，則不等式等價于，即，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而得解；【詳解】解：因為對任意，當(dāng)時，都有，所以在上單調(diào)遞增，則等價于，即，令，，，因為，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為；故選：B12．D【解析】【分析】令，，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，利用不等式的性質(zhì)比較得出，從而求得答案.【詳解】令，，，可以判斷在上單調(diào)遞增，所以，，所以，又因為，，所以，即，所以，故選：D.13．【解析】【分析】先由雙曲線的兩條漸近線互相垂直求得b的值，進而求得c的值，從而求得雙曲線的離心率的值【詳解】雙曲線的漸近線為，則由兩條漸近線互相垂直，有 ，解之得又，則，，則雙曲線的離心率故答案為：14．##【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量的運算律求出，再根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】由單位向量，滿足，所以，所以，解得，所以，又，所以，故答案為：.15．【解析】【分析】先由正弦定理求得，再由余弦定理求出，即可求出面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得：，所以.又為銳角三角形，所以.由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即為等邊三角形時等號成立）.所以面積的最大值為.故答案為：.16．①③【解析】【分析】依據(jù)翻折過程中，均不變，判定點的軌跡為圓弧，從而判斷①正確；利用反證法否定②；求得翻折過程中的長恒為，從而判斷③正確.【詳解】設(shè)正方形邊長為a,①在正方形中，過點D作于H，則在翻折到的過程中，，均不變，則點的軌跡為以H為圓心，以為半徑的圓弧.判斷正確；②假設(shè)存在某一翻折位置，使得.在△PAM內(nèi)，過點P作于N，連接BN，由，，，可得平面PBN又平面PBN，則，則又在正方形中，.二者互相矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在某一翻折位置，使得.判斷錯誤；③棱的中點為.取PA中點K，連接EK，CE，MK， 則則有，，則，則四邊形為平行四邊形，則，又，則，即的長為定值.判斷正確.故答案為：①③17．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用可證是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)成等差數(shù)列，利用等差中項和等比數(shù)列通項求解；（2）整理，利用裂項相消求和證明．(1)由題意：，兩式相減得到，又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，再由成等差數(shù)列得，得，即，則， 的通項公式為.(2)由題意知，18．(1)分布列見解析，(2)27人【解析】【分析】（1）服從二項分布，的可能取值0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，得到分布列，從而得到期望.（2）求出成績不低于分的學(xué)生的概率，即可得出答案.(1)由題意知，的可能取值0，1，2，3．由題可知，任意1名學(xué)生競賽得分“良好”及以上的概率為，競賽得分是“良好”以下的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布．；；；．所以的分布列為: ．（或）(2)估計獲得表彰的學(xué)生人數(shù)為人.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）首先利用線面垂直的判定定理證明平面，又由可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面平面；（2）根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)角即，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BCE和平面ADF的法向量，利用夾角余弦值不超過列出關(guān)于的不等式，即可求出的范圍.(1)證明：由題意，，且平面，平面；又，平面，而平面，所以平面平面；(2)根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)角即，以A為原點，在平面ADF內(nèi)，作AD的垂線為z軸，AD，AB所在直線分別作為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，設(shè)為平面BCE的一個法向量，則，，取，平面ADF的一個法向量為，記平面ADF與平面BCE的夾角為，則，化簡得，，所以，即，又，得.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）由圓的方程可確定焦點坐標(biāo)，設(shè)拋物線為；過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線定義知的最小值即為到準(zhǔn)線的距離，由此構(gòu)造方程求得即可；（2）結(jié)合拋物線焦半徑公式可化簡為，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，并推導(dǎo)得到，代入整理可構(gòu)造方程求得，由此可得直線方程.(1)由圓的方程知：，則拋物線方程可設(shè)為：，，在拋物線開口內(nèi)部，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號），，解得：，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)為圓直徑，，又，，，；由題意知：直線斜率存在，可設(shè)，，，由得：，則，，，，；，，，解得：，直線的方程為.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，解題基本思路是能夠利用拋物線定義，將已知中的距離平方和轉(zhuǎn)化為直線與拋物線交點坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而利用韋達定理構(gòu)造方程求得變量.21．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解的最大值；（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷零點個數(shù)，從而得到證明.(1)；令，由函數(shù)的圖像可知 ，存在唯一，滿足，且，；時，；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（*），又，則，代入（*）得：；(2)證明：，令，則；因為是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，則與的零點個數(shù)相同；又，故是的一個零點；得，且單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，因為，所以；又當(dāng)時，，故在上存在唯一的零點；故在上存在唯一零點，在上存在唯一零點0，即在上有兩個零點，所以在有兩個零點.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值時，一般先求解極值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性來求解；函數(shù)零點問題通常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，借助導(dǎo)數(shù)隱零點可以求解.22．(1)，(2)【解析】【分析】（1）消去參數(shù)t得直線普通方程，將代入曲線可得直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，利用點到直線距離公式求解可得.(1)將代入，消去t得直線的普通方程為；由得，，將代入可得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；(2)設(shè)點，則點到直線的距離，當(dāng)，即時，，所以點到直線的距離最小值為.23．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對值三角不等式可求得，即可求出的值.（2）由（1）中的結(jié)果，結(jié)合柯西不等式即可證明.(1)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，(2)由柯西不等式得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. 

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