?北京市海淀區(qū)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三下學(xué)期三模練習(xí)數(shù)學(xué)試題
第I卷（選擇題）
評卷人
得分



一、單選題
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則實數(shù)（???????）
A．1 B． C．2 D．
2．若全集，,,則（???????）
A． B． C． D．
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（???????）
A． B．
C． D．
4．如果實數(shù)，，滿足：，則下列不等式一定成立的是（???????）
A． B． C． D．
5．在圓中，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（???????）
A． B． C． D．
6．設(shè)函數(shù)，其中.若，且相鄰兩個零點之間的距離大于，則（???????）
A． B．
C． D．
7．已知等差數(shù)列，則“”是“”成立的（???????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8．如圖，在正方體中，為棱上的動點，為棱的中點，則下列選項正確的是（???????）

A．直線與直線相交
B．當為棱上的中點時，則點在平面的射影是點
C．存在點，使得直線與直線所成角為
D．三棱錐的體積為定值
9．已知函數(shù)，若實數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
10．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①若，則有一個零點；
②若，則有三個零點；
③，使得在上是增函數(shù)；
④在上是增函數(shù).
其中所有正確結(jié)論的序號是（???????）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
第II卷（非選擇題）
評卷人
得分



二、填空題
11．在的展開式中，常數(shù)項為___________.（用數(shù)字作答）
12．若，請寫出一組符合題意的___________.
13．點，，，，為坐標原點，則與的夾角的取值范圍是______.
14．顆粒物過濾效率是衡量口罩防護效果的一個重要指標，計算公式為，其中 表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：），表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位：）．某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進行了4次測試，測試結(jié)果如圖所示．圖中點的橫坐標表示第i種口罩第j次測試時的值，縱坐標表示第i種口罩第j次測試時的值．


該研究小組得到以下結(jié)論：
①在第1種口罩的4次測試中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高;
②在第2種口罩的4次測試中，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高;
③在每次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高;
④在第3次和第4次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低．
其中，所有正確結(jié)論的序號是__________．
評卷人
得分



三、雙空題
15．已知雙曲線的焦點為，實軸長為2，則雙曲線的離心率是___________；若點是雙曲線的漸近線上一點，且，則的面積為___________.
評卷人
得分



四、解答題
16．如圖，直三棱柱中，，是棱的中點，.

（1）證明：；
（2）求二面角的大小.
17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且
(1)求的值；
(2)給出以下三個條件：
條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：
（i）求的值；
（ii）求的角平分線的長.
18．“十一”黃金周某公園迎來了旅游高峰期，為了引導(dǎo)游客有序游園，該公園每天分別在時，時，時，時公布實時在園人數(shù)．下表記錄了月日至日的實時在園人數(shù)：

日
日
日
日
日
日
日
時在園人數(shù)







時在園人數(shù)







時在園人數(shù)







時在園人數(shù)








通常用公園實時在園人數(shù)與公園的最大承載量（同一時段在園人數(shù)的飽和量）之比來表示游園舒適度，以下稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是萬人．
（Ⅰ）甲同學(xué)從月日至日中隨機選天的下午時去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概率；
（Ⅱ）從月日至日中任選兩天，記這兩天中這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）根據(jù)月日至日每天時的在園人數(shù)，判斷從哪天開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大？（只需寫出結(jié)論）
19．已知橢圓過點，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于、兩點，過、作直線的垂線，垂足分別為、，點為線段的中點，為橢圓的左焦點．求證：四邊形為梯形．
20．已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.
21．設(shè)且，集合，若對的任意元子集，都存在，滿足：，且為偶數(shù)，則稱為理想集，并將的最小值記為.
(1)當時，是否存在理想集？并說明理由.
(2)當時，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，請說明理由.
(3)求.

參考答案：
1．D
【解析】
【分析】
由復(fù)數(shù)的乘法運算公式對已知式子進行整理，結(jié)合所給點的坐標即可求出.
【詳解】
解：，由題意知，對應(yīng)的點的坐標為，則，
故選:D.
【點睛】
本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，考查了已知復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
2．D
【解析】
【分析】
由條件可得，然后可判斷出答案.
【詳解】
因為,,
所以，所以
故選：D
3．C
【解析】
【分析】
利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個選項即可得出答案.
【詳解】
對于A，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；
對于B，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；
對于C，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當時，又，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合題意；
對于D，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
且，
所以是奇函數(shù)，又，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.
故選：C.
4．D
【解析】
【分析】
直接利用賦值法和不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】
對于選項A，當c=0時，ac2=bc2，故選項A錯誤；
對于選項B，當時，a2＞b2＞c2錯誤；
對于選項C，當a=1，b=0，時，a+c＞2b錯誤；
對于選項D，直接利用不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出，故選項D正確．
故選：D．
【點睛】
本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
5．B
【解析】
【分析】
將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而求出最短、最長弦，即可得解；
【詳解】
解：圓，即，圓心為，半徑，
又，所以過點的最長弦，最短弦，
且最短弦與最長弦互相垂直，所以；
故選：B
6．B
【解析】
【分析】
由題意求得，再由周期公式求得，最后由若求得值，即可得解．
【詳解】
解：因為函數(shù)相鄰兩個零點之間的距離大于，所以的最小正周期大于，所以，
又，，所以，
，則，即．
，
由，得．
，．
因為，所以取，得．
，．
故選：B．
7．A
【解析】
【分析】
根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的通項公式計算可得；
【詳解】
解：因為，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
當時，故充分性成立；
若，即，即，
所以，即，所以或，故必要性不成立，
故“”是“”成立的充分不必要條件；
故選：A
8．D
【解析】
【分析】
根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，進而可判斷A；
利用勾股定理和反證法即可判斷B；建立如圖空間直角坐標系，利用向量法和反證法即可判斷C；根據(jù)等體積法即可判斷D.
【詳解】
A：由題意知，，平面，平面
所以平面，
又平面，所以與不相交，故A錯誤；
B：連接，如圖，

當點為的中點時，，又，所以，
若點在平面的射影為，則平面，垂足為，
所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，
在中，，所以，
即不成立，故B錯誤；
C：建立如圖空間直角坐標系，連接，則，
所以異面直線與所成角為直線與所成角，

設(shè)正方體的棱長為2，若存在點使得與所成角為，
則，所以，
所以，又，
得，解得，
不符合題意，故不存在點使得與所成角為，故C錯誤；
D：如圖，

由等體積法可知，
又，
為定值，所以為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故D正確.
故選：D.
9．D
【解析】
先求出，進而可知，由，可知區(qū)間，且該區(qū)間長度為2，然后畫出函數(shù)的圖象，進而可得到在上的圖象，結(jié)合圖象可求得在區(qū)間上的最大值的取值范圍.
【詳解】
由題意，當時，；當時，；當時，.
所以，則，
因為，所以區(qū)間，且該區(qū)間長度為2.
作出函數(shù)的圖象，如圖1，進而可得到在上的圖象，如圖2，
根據(jù)圖象可知在區(qū)間上的最大值的取值范圍是.
故選：D.

【點睛】
本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.
10．C
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)分段研究函數(shù)的單調(diào)遞增，結(jié)合零點的存在性定理依次判斷命題即可.
【詳解】
因為函數(shù)，所以函數(shù)，
對于①，當時，則，
當時，單調(diào)遞增，
當時，，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)有一個零點，故①正確；
對于②，，若，則，
當時，單調(diào)遞增，且，
，
所以函數(shù)在上有1個零點；
當時，令，解得，
當時，，則單調(diào)遞減；
當時，，則單調(diào)遞增，如圖，

所以，
所以函數(shù)在上有2個零點，
綜上，當時函數(shù)有3個零點，故②正確；
對于③，當，即時，則，
當時，單調(diào)遞增，
當時，令，解得，
所以當時，所以，單調(diào)遞減；
當時，所以，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以不存在，使得在R上是增函數(shù)，故③錯誤；
對于④，當，即時，則，
當時，單調(diào)遞增，
當時，，
則單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
結(jié)合命題①的分析可知當時函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
綜上，，在R上是增函數(shù)，故④正確；
故選：C.
11．
【解析】
【分析】
求出二項式展開式的通項，再令，求出，再代入計算可得；
【詳解】
解：二項式的展開式通項公式為．
令，解得，
故展開式的常數(shù)項為，
故答案為：．
12．、（答案不唯一）
【解析】
【分析】
本題屬于開放性問題，只需填寫符合題意的答案即可，再利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式計算可得；
【詳解】
解：因為，，
所以，
所以，或，，
不妨令、；
故答案為：、（答案不唯一）
13．
【解析】
【分析】
根據(jù)向量得模的幾何意義可得點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，再利用圓的切線可求得答案.
【詳解】
因為，，所以，
所以，
所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
如圖：

由圖可知，當與圓相切時，最大，也就是與夾角最大，
此時，，所以，
所以與夾角的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】
本題考查了向量的減法法則和向量的模的幾何意義，考查了向量的夾角，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.
14．②④
【解析】
先根據(jù)題意分析得直線的斜率越大，顆粒物過濾效率越小，再看圖逐一分析結(jié)論即可.
【詳解】
依題意，，知直線的斜率越大，顆粒物過濾效率越小. 看圖分析如下：
在第1種口罩的4次測試中，四條直線中，直線斜率最大，故最小，第4次測試時的顆粒物過濾效率最低，則①錯誤；
在第2種口罩的4次測試中，四條直線中，直線斜率最小，故最大，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高，則②正確；
在第1次和第2次測試中，直線斜率大于斜率，，即第1種口罩的顆粒物過濾效率高，在第3次和第4次測試中，斜率大于直線，斜率，即第2種口罩的顆粒物過濾效率高，故③錯誤，④正確.
故答案為：②④.
15．???? 2????
【解析】
【分析】
直接求出a、c，即可求出離心率；利用幾何法求出，，直接求出面積.
【詳解】
因為雙曲線的焦點為，實軸長為2，所以，所以離心率.
因為，所以，
所以直線l：，即為雙曲線的一條漸近線.不妨設(shè)點是l上一點，
且，則.
因為，O為的中點，所以，所以為等邊三角形，
所以，由勾股定理解得：.
所以的面積為.
如圖示:


故答案為：2；.
16．（1）見解析；（2）
【解析】
【詳解】
試題分析：（I）易證DC1⊥BD,再根據(jù)勾股定理證DC1⊥DC,從而可證得DC1⊥平面DCB,得到DC1⊥BC.
(II)求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取A1B1的中點為M，連結(jié)C1M、DM,證明∠C1DM是A1?BD?C1的平面角即可.
（Ⅰ）證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．

∵D是AA1的中點， ∴ DC = DC1
又 AC=AA1，∴ DC12 + DC2 =CC12，∴ DC1⊥DC
又 DC1⊥BD，且DC1∩DC=D，∴ DC1⊥平面DCB．
∴ DC1⊥BC
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，DC1⊥BC，又CC1⊥BC， DC1∩CC1=C1
∴ BC⊥平面CDC1，∵ B1C1∥BC ∴B1C1⊥平面CDC1
∴ B1C1⊥A1C1，△A1C1B1為等腰直角三角形
取A1B1的中點為M，連結(jié)C1M、DM
∵ 直棱柱的底面A1B1C1⊥側(cè)面AB1，C1M⊥A1B1
∴ C1M⊥平面AB1，C1M⊥BD．
由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD
又C1M∩DC1=C1，∴BD⊥平面C1MD ，MD⊥BD
∴∠C1DM是A1?BD?C1的平面角．
在Rt△C1MD中，C1M=A1C1，，
∴sin∠C1DM= =， ∴∠C1DM=30o
∴二面角A1?BD?C1的大小為30o．
考點：本小題主要考查了線線，線面，面面之間的垂直與平行關(guān)系，以及二面角等知識.
點評：掌握線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是求解空間的角與距離的關(guān)鍵.求角的步驟為：一作，二證，三指，四求.
17．(1)；
(2)條件正確，(i)；(ii).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡計算可得，即可求得B；
(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.
(1)
，
，
，
，得Z，
由，得；
(2)
若條件①正確，由，得，
由余弦定理，得，即，
解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；
(i)由，，
得，解得，
由余弦定理，得，
因為，所以，由正弦定理，
得，即；
(ii)由正弦定理，得，即，
因為平方，，所以，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
又，上述兩式相除，得，
解得，所以.

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從10月3日開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由題意得，在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，由此根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可；
（Ⅱ）從月日至日中，這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，得的取值可能為0，1，2，且服從超幾何分布，由此可求出答案；
（Ⅲ）根據(jù)方差的定義觀察波動幅度，由此可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵以下稱為“舒適”，該公園的最大承載量是萬人，
∴在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，
（Ⅰ）月日至日的下午時去該公園游覽，“舒適”的天數(shù)為3天，
∴甲同學(xué)遇上“舒適”的概率；
（Ⅱ）從月日至日中，這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，
∴的取值可能為0，1，2，且服從超幾何分布，
∴，
，
，
∴的分布列為

0
1
2





∴的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）從10月3日開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大．
【點睛】
本題主要考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查古典概型的概率計算公式，考查方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．
19．(1)
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合離心率的定義和的平方關(guān)系，求得的值，進而得到橢圓的方程.
（2）分析可得四邊形為梯形的充分必要條件是，設(shè),可轉(zhuǎn)化為證明，然后聯(lián)立方程組，利用韋達定理證得此式，即證得結(jié)論.
(1)
解：由已知得,解得,
∴橢圓的方程.
(2)
證明：由（1）的結(jié)論可知，橢圓的左焦點,
設(shè),則,.
，.
∵直線與橢圓交于、兩點，
∴
由于直線與直線不平行，
∴四邊形為梯形的充分必要條件是，即，
即,即,
∵,∴上式又等價于，
即（*）.
由,得,
∴,

，
∴（*）成立，
∴四邊形為梯形.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）當時，，求導(dǎo)可得，，再結(jié)合切線的幾何意義，即可求解．
（2）設(shè)，則，，，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分和兩種情況討論，即可求解．
(1)
解：當時，函數(shù)，定義域為，
又，，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
即；
(2)
解：若在上恒成立，
即在上恒成立，
可令，，
則，，，
令，可解得，
當時，即時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，，
又，所以恒成立，
即時，在上恒成立，
當，即時，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，，又，，即，
不滿足恒成立，故舍去，
綜上可知：實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了分類討論思想.
21．(1)不存在，理由見解析；
(2)存在，；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)理想集的定義，分3元子集、4元子集分別說明判斷作答.
（2）根據(jù)理想集的定義，結(jié)合（1）中信息，說明判斷5元子集，6元子集作答.
（3）根據(jù)理想集的定義，結(jié)合（1）（2）中信息，判斷的所有6元子集都符合理想集的定義作答.
(1)
解：依題意，要為理想集，，
當時，，顯然，有，而不是偶數(shù)，即存在3元子集不符合理想集定義，
而，在中任取3個數(shù)，有4種結(jié)果，；；；，它們都不符合理想集定義，
所以當時，不存在理想集.
(2)
解：當時，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定義，
5元子集，在此集合中任取3個數(shù)，滿足較小的兩數(shù)和大于另一個數(shù)的只有與兩種，但這3數(shù)和不為偶數(shù)，
即存在5元子集不符合理想集定義，
而的6元子集是，是偶數(shù)，是偶數(shù)，
即的6元子集符合理想集定義，是理想集，
所以當時，存在理想子集，滿足條件的可分別為或，
即.
(3)
解：當時，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集定義，
要為理想集，，顯然符合理想集的定義，滿足條件的分別為或，
的6元子集中含有的共有個，這10個集合都符合理想集的定義，
的6元子集中含有不含6的有5個，其中含有4的有4個，這4個集合都符合理想集的定義，不含4的為，
顯然有為偶數(shù)，即的6元子集中含有不含6的5個都符合理想集的定義，
的6元子集中含有不含5的有5個，它們是，，
它們對應(yīng)的可依次為：；；；；，
即的6元子集中含有不含5的5個都符合理想集的定義，
的6元子集中含有不含3的有5個，它們是，，
它們對應(yīng)的可依次為：；；；；，
即的6元子集中含有不含3的5個都符合理想集的定義，
的6元子集中含有之一的有3個，它們是，對應(yīng)的可依次為：；；，
即的6元子集中含有之一的3個都符合理想集的定義，
因此，的所有個6元子集都符合理想集的定義，是理想集，
的7元子集有個，其中含有的有5個，這5個集合都符合理想集的定義，不全含的有3個，
它們是，對應(yīng)的可依次為：；；，
即的所有8個7元子集都符合理想集的定義，是理想集，
的8元子集是，對應(yīng)的可以為：，因此，是理想集，
因此，的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，所以，
【點睛】
關(guān)鍵點睛：涉及集合新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的其它知識，分類討論，進行推理判斷解決.

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