2022屆黑龍江省哈爾濱三中高三第四模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析

這是一份2022屆黑龍江省哈爾濱三中高三第四模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析，共19頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022屆黑龍江省哈爾濱三中高三第四模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（       ）A．9 B．10 C．11 D．122．已知數(shù)列是公比為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，，，則（       ）A．13 B． C． D．53．已知不重合的兩條直線m，n和兩個(gè)不重合的平面，，則下列選項(xiàng)正確的是（       ）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則4．在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則滿(mǎn)足的概率為（       ）A． B． C． D．5．《推背圖》是唐朝貞觀年間唐太宗李世民命天文學(xué)家李淳風(fēng)和相士袁天罡推算大唐氣運(yùn)而作，此著作對(duì)后世諸多事件都進(jìn)行了準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).推背圖以天干地支的名稱(chēng)進(jìn)行排列，共有60象，其中天干分別為甲?乙?丙?丁?戊?己?庚?辛?壬?癸，地支分別為子?丑?寅?卯?辰?已?午?未?申?酉?戌?亥.該書(shū)第一象為“甲子”，第二象為“乙丑”，第三象為“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此類(lèi)推2023年是“癸卯”年，正值哈爾濱市第三中學(xué)建校100周年，那么據(jù)此推算，哈三中建校的年份是（       ）A．癸卯年 B．癸亥年 C．辛丑年 D．辛卯年6．己知直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，并且與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若為線段的中點(diǎn)，則的值為（       ）A．4 B．5 C．6 D．87．函數(shù)具有性質(zhì)（       ）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，最大值為 B．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，最大值為1C．圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，最大值為 D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，最大值為18．命題若，則；命題，不等式恒成立，下列命題是真命題的是（       ）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖為直角梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則該幾何體的體積為（       ）A． B． C．2 D．410．己知是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（       ）A． B． C． D．11．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D． 二、填空題12．在利用秦九韶算法求當(dāng)的值時(shí)，把多項(xiàng)式函數(shù)改寫(xiě)成如下形式：，從內(nèi)到外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，其中記，，以此類(lèi)推，則計(jì)算得的數(shù)值為___________.13．設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則k的取值范圍為___________.14．在正四棱錐中，M為棱上的點(diǎn)，且，設(shè)平面與平面的交線為l，則異面直線 l 與所成角的正切值為___________．15．若曲線過(guò)點(diǎn)的切線恒在函數(shù)的圖象的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 三、解答題16．2022年4月16日，神舟13號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，這趟神奇之旅意義非凡，尤其是“天宮課堂”在廣大學(xué)生心中引起強(qiáng)烈反響，激起了他們對(duì)太空知識(shí)的濃厚興趣．某中學(xué)在進(jìn)行太空知識(shí)講座后，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行筆試（試卷滿(mǎn)分100分），并記錄下他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖．(1)求這部分學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)為了更好的了解學(xué)生對(duì)太空知識(shí)的掌握情況，學(xué)校決定在成績(jī)高的第4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，進(jìn)行第二輪面試，最終從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加市太空知識(shí)競(jìng)賽，求90分（包括90分）以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率．17．己知等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．如圖，在多面體中，平面平面為正三角形，四邊形為菱形，且．(1)求證：∥平面；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．19．己知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與動(dòng)圓圓心E的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與M不同的定點(diǎn)N，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中，直線：.(1)求曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)距離的最小值；(2)將曲線向左平移1個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到曲線，再將經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線，求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值.22．已知函數(shù).(1)若，，求證：；(2)若函數(shù)的最小值為，且實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，求的最小值.  
參考答案：1．C【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)得，再列舉出集合的元素即得解.【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得，又, 所以集合共有11個(gè)元素.故選：C2．D【解析】【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公比，由此可求.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，，所以，即，所以，故選：D.3．B【解析】【分析】對(duì)于A，當(dāng)，且，則n可能在 內(nèi)，判斷A; 對(duì)于B，根據(jù)平面的法向量可進(jìn)行判斷；對(duì)于C，考慮 可能相交，也可能平行，即可判斷；對(duì)于D，考慮到可能平行或異面或相交，即可判斷，【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，且，則n可能在 內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，故在m上可取 作為 的法向量，同理在n上可取 作為 的法向量，因?yàn)?/span>，故，即得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，且時(shí)，可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，且時(shí)，可能平行或異面或相交，故D錯(cuò)誤，故選：B4．A【解析】【分析】根據(jù)題意，作出可行域的約束的平面區(qū)域，再結(jié)合幾何概型求解即可.【詳解】解：畫(huà)出區(qū)域，如圖（圖中及內(nèi)部），區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)閳D中四邊形的內(nèi)部及邊界，且，，，所以與相似，所以，故所求概率.故選:A.   5．B【解析】【分析】根據(jù)天干和地支的周期計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，天干的周期為，地支的周期為，因?yàn)?/span>，所以哈三中建校的年份的天干也是癸；因?yàn)?/span>，所以哈三中建校的年份的地支為亥，哈三中建校的年份是“癸亥年”.故選：B.6．C【解析】【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義可得出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為： 分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 根據(jù)拋物線的定義可得,且 所以故選：C7．D【解析】【分析】利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴函數(shù)的最大值為1，所以，故AC錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8．A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出命題是真命題，命題是真命題，再由復(fù)合命題的真值表判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：若，則，所以命題是真命題，是假命題；又，所以不等式恒成立，所以命題是真命題，是假命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題，故選：A.9．B【解析】【分析】想象并復(fù)原幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求得原幾何體的體積，即得答案.【詳解】由幾何題的三視圖，復(fù)原幾何體為如圖正方體中的三棱錐 ,由三視圖可知正方體的棱長(zhǎng)為2，故三棱錐頂點(diǎn)P位于正方體相應(yīng)的棱的中點(diǎn)，底面為 ,高為正方體棱長(zhǎng)2，則幾何體的體積為 ，故選：B10．D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性推得，繼而化簡(jiǎn)可求得，化簡(jiǎn)等于，即可求得答案.【詳解】由題意可得，為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，故 ，故，所以故即，即，而當(dāng)時(shí)，，故，則當(dāng)時(shí)，，故，故選：D11．C【解析】【分析】由均值不等式可得出的最小值，由余弦定理可得，再由正弦定理結(jié)合條件可化為，由輔助角公式可得最大值.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))由，可得， 其中 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以故選：C12．36【解析】【分析】根據(jù)表達(dá)式由與的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，又，所以，故答案為：36.13．【解析】【分析】直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)即聯(lián)立方程后判別式要大于0，且直線不與漸近線平行.【詳解】聯(lián)立消去y：，，得到，又直線不與漸近線平行，所以.故答案為：.14．【解析】【分析】連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則可得即為直線，然后可得或其補(bǔ)角為異面直線l與BC所成角，取的中點(diǎn)，則，進(jìn)而即得.【詳解】連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)為平面PAD與平面PMC的公共點(diǎn)，所以即為直線，因?yàn)?/span>，所以或其補(bǔ)角為異面直線l與BC所成角，取的中點(diǎn)，連接，則，設(shè)，則，∴ 所以異面直線 l 與BC所成角的正切值為.故答案為：.15．【解析】【分析】先求出切線方程，根據(jù)題意有恒成立，參變分離后恒成立，所以.【詳解】設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率，所以，，切線方程為，所以恒成立，所以恒成立，令，則因?yàn)楫?dāng)，，，，所以為的極小值點(diǎn)，又因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，所以.故答案為：.16．(1)中位數(shù)為73.33，平均數(shù)為73.5(2)【解析】【分析】(1) 平均數(shù)為每個(gè)小矩形面積乘以中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和，中位數(shù)為左右面積相等的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)根據(jù)分層抽樣先確定每組抽取的人數(shù)，再計(jì)算概率.(1)平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得(2)根據(jù)分層抽樣的方法抽取的6名學(xué)生，[80,90)有4人，[90,100]有2人，所以90分（包括90分）以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）由題目條件求出，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案（2）求出，由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)，因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，所以，所以，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)，所以的前n項(xiàng)和為：，則①①兩邊同時(shí)乘以2得：②①-②得：，化簡(jiǎn)為：，所以.18．(1)詳見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，即可根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論；（2）由題可得平面平面，過(guò)作于，過(guò)作于，連接，過(guò)作于，可得平面，結(jié)合條件可得點(diǎn)B到平面的距離為，即得.(1)如圖，取的中點(diǎn)，連接,則，故四邊形MDCF為平行四邊形，所以因?yàn)?/span>，故,故四邊形OMFN為平行四邊形，則，又，∴，又平面BCF，平面BCF,故平面BCF；(2)連接，由題可得，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，，∴，，，∴平面，平面，∴平面平面，過(guò)作于，過(guò)作于，連接，過(guò)作于，則平面，∴，又，∴平面，∴，又，，∴平面，由題可知，，∴又四邊形為菱形，且，∴，又，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為，則，故點(diǎn)B到平面的距離為.19．(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2).【解析】【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，由，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)由題可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)在上的單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)，即時(shí)，，又，∴，對(duì)于函數(shù)，則，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，即，∴，∴，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.20．(1)(2)存在定點(diǎn)，使得恒成立.【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，得到，得到，根據(jù)橢圓的定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，得到，得出點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，設(shè)，得到，根據(jù)題意，只需使得軸為的平分線，則，結(jié)合斜率公式，列出方程求得的值，即可求解.(1)解：由題意，圓：，圓：，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，可得，兩式相加，根據(jù)橢圓的定義可得，動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.(2)由題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，當(dāng)時(shí)，可得直線的方程為，可得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，要使得成立，即成立，此時(shí)點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)且，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，要使得成立，即成立，則只需使得軸為的平分線，只需，即，即成立，所以，即，則，整理得，解得或（舍去），綜上可得，存在與M不同的定點(diǎn)，使得恒成立.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）將和的方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)圓心到直線的距離減去圓的半徑可得結(jié)果；（2）根據(jù)圖象變換求出，再根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.(1)由消去得，由得，將，代入得，所以曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)距離的最小值為.(2)依題意可得，，在上設(shè)點(diǎn)，則該點(diǎn)到的距離，其中，，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.所以曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.22．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式即可證出；（2）由二次函數(shù)的最值可得，再根據(jù)基本不等式即可求出．(1)因?yàn)?/span>，，所以．(2)因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，即，所以．因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．