高三三模檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2]【答案】C【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算的定義求.【詳解】不等式的解集為，不等式的解集為，故，，所以，故選：C.2. 已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B.3. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用對稱性可得結(jié)合條件可求，再由 求解.【詳解】因隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，由對稱性可知，，又，所以，故.故選：A.4. 已知對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可求出的值，代入、、即可比較出三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，，，，因此，.故選：D5. 已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B為雙曲線虛軸的上端點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求出的坐標(biāo)，再由列方程求雙曲線的離心率.【詳解】由已知雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，虛軸的上端點(diǎn)B的坐標(biāo)為，左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以，又，所以，故，即，所以，又，所以雙曲線的離心率，故選：D.6. 已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)，，“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷與的關(guān)系即可.【詳解】∵ ，∴ ，∴ ，∴ 函數(shù)為奇函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，故，由可得，所以，所以，所以“”是“”的充要條件，故選：C.7. 已知數(shù)列滿足：對任意的m，，都有，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由遞推關(guān)系判斷數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求.【詳解】因?yàn)閷θ我獾?/span>m，，都有，所以，，又，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，故選：C.8. 如圖，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，點(diǎn)D在上底面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的最大值為（    ）
 A.  B. 24π C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.【詳解】因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，AC＝BC＝2，所以外接圓的圓心為的中點(diǎn)， 且連接與的中點(diǎn)，則，所以平面，設(shè)球的球心為，由球的截面性質(zhì)可得在上，設(shè)，，半徑為，因?yàn)?/span>，所以，所以，又所以，因?yàn)?/span>，所以，所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的最大值為，故選：B.
 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知a，，，且，則下列說法正確的為（    ）A. ab的最小值為1 B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】直接根據(jù)基本不等式判斷各選項(xiàng)的對錯(cuò)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故ab的最大值為1，A錯(cuò)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B對，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C對，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)，故選：BC.10. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說法正確的是（    ）A. 的最大值為 B. 的最小值為0C. 的最大值為 D. 的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的幾何意義，結(jié)合圖形可求得的最值，由此判斷A，B，根據(jù)的幾何意義求其最值，判斷C，再利用三角換元，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷D.【詳解】由實(shí)數(shù)x，y滿足方程可得點(diǎn)在圓上，作其圖象如下，因?yàn)?/span>表示點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程為，則，解得：或，，，，A，B正確；表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，所以最大值為，又，所以的最大值為，C錯(cuò)，因?yàn)?/span>可化為，故可設(shè)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值，最大值為，D對，故選：ABD.11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)的最小正周期為πB. 函數(shù)的對稱軸方程為（）C. 函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到D. 方程在[0，10]內(nèi)有7個(gè)根【答案】ACD【解析】【分析】先對函數(shù)化簡變形，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】，對于A，函數(shù)的最小正周期為，所以A正確，對于B，由，得，所以函數(shù)的對稱軸方程為，所以B錯(cuò)誤，對于C，的圖象向右平移，得，所以函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，所以C正確，對于D，由，得或，得或，由，得，由，得，所以方程在[0，10]內(nèi)有7個(gè)根，所以D正確，故選：ACD12. 已知函數(shù)（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. a的取值范圍為B. a的取值范圍為C. D. 若，則a的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合條件列不等式求a的取值范圍，由此判斷A，B，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷C，D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾，當(dāng)時(shí)，由可得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可得所以，所以，所以，B對，不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，，所以，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，C錯(cuò)，因?yàn)?/span>，若則，，，所以，，，所以，所以，若，則，，，且所以，，所以，所以，又，所以，所以，故滿足條件的不存在，所以a的取值范圍為，D對，故選：BD.【點(diǎn)睛】函數(shù)的零點(diǎn)問題的解決的關(guān)鍵在于分析函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列關(guān)系式.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知，則________．【答案】-2【解析】【分析】利用，，即可求出答案.【詳解】故答案為：-2.14. 已知函數(shù)，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式直接求值即可.【詳解】∵ ∴ ，故答案為：15. 如圖，在中，，，點(diǎn)P在線段CD上（P不與C，D點(diǎn)重合），若的面積為，，則實(shí)數(shù)m＝________，的最小值為________．
 【答案】    ①. ##0.25    ②. 【解析】【分析】用表示出與，利用兩個(gè)向量共線可求出m,求出后利用基本不等式可求出最值.【詳解】因?yàn)?/span>,所以而因?yàn)?/span>與為非零共線向量,故存在實(shí)數(shù)使得故 所以的面積為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為;故答案為：；.16. 從拋物線的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA，PB，且A，B為切點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，，，，由直線的傾斜角為，可得，利用導(dǎo)數(shù)分別求出過，的切線方程，可得，是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可得出答案．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線l：，設(shè)，，，，，，則，又，，，則，由，得，，切線的方程為，切線的方程為，即切線的方程為，即，切線的方程為，即，點(diǎn)，在切線、上，，，可知，是方程的兩個(gè)根，，得，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．（1）求B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再由余弦定理即可求解；（2）由題可得，則可求得，即可得出面積.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，即，所以，又，．【小問2詳解】由題知，AB＝4，BD＝2，，因?yàn)?/span>D為AC的中點(diǎn)，所以，所以，整理得，所以a＝4，所以的面積為．18. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）能否在數(shù)列中找到這樣的三項(xiàng)，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．【答案】（1）    （2）不能；理由見解析【解析】【分析】(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系化簡條件可得數(shù)列的遞推關(guān)系，再證明數(shù)列為等比數(shù)列，并由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)，(2)利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的定義證明.【小問1詳解】∵，∴n＝1時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，所以，∴，即（）∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴．【小問2詳解】若，有，，成等差數(shù)列，則即，整理得，又k，m，且∴，，所以，與矛盾，所以數(shù)列中找不到三項(xiàng)，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列．19. 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB，沿DE將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)F的位置，且．
 （1）求證：平面BFC⊥平面BCDE；（2）若直線DF與平面BCDE所成的角的正切值為，求平面DEF與平面DFC的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明BF⊥平面BCDE，再由面面垂直的判定定理證明平面BFC⊥平面BCDE；(2)由線面角的定義結(jié)合條件求出AD，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量方法求二面角的大小.【小問1詳解】AE＝EF＝2，EB＝1，，所以，所以，所以BF⊥BE，又因?yàn)?/span>DE⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥EB．又，所以DE⊥平面BEF，因?yàn)?/span>平面BEF，所以BF⊥DE，因?yàn)?/span>EB，平面BCDE，，所以BF⊥平面BCDE，又平面BFC，所以平面BFC⊥平面BCDE；【小問2詳解】設(shè)AD＝a，則，由（1）知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB為直線DF與平面BCDE所成的角，所以，所以，解得，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
 則A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），，∴，，設(shè)為平面DFC一個(gè)法向量，則，即，令，則z＝2，所以，由（1）知，平面DEF⊥平面BEF，過B引EF的垂線交EF于M，則BM⊥平面DEF，求得，則為平面DEF的一個(gè)法向量．所以，所以平面DEF與平面DFC的夾角的余弦值為．20. 某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎(jiǎng)，最多有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．每次抽中，可依次獲得10元，20元，30元獎(jiǎng)金，若沒有抽中，不可繼續(xù)抽獎(jiǎng)，顧客每次抽中后，可以選擇帶走所有獎(jiǎng)金，結(jié)束抽獎(jiǎng)；也可選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)，若沒有抽中，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，結(jié)束抽獎(jiǎng)．小明購買了500元商品并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知他每次抽中的概率依次為，，，選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率均為，且每次是否抽中互不影響．（1）求小明第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金歸零的概率；（2）設(shè)小明所得獎(jiǎng)金總數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）    （2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】(1)利用獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式求解；(2)由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求取各值的概率，根據(jù)期望公式求其期望.【小問1詳解】記小明第i次抽中為事件，（i＝1，2，3），則有，，，并且，，兩兩相互獨(dú)立，記小明第i次抽中后選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)為事件，則，小明第一次抽中但獎(jiǎng)金歸零記為事件A，則A的概率為．【小問2詳解】小明所得獎(jiǎng)金總數(shù)為隨機(jī)變量X，則X＝0，10，30，60，，，，隨機(jī)變量X的分布列為：X0103060P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為．21. 已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形面積為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）過上任意點(diǎn)P做的切線l與橢圓E交于點(diǎn)M，N，求證為定值．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】(1)由條件列方程求出，由此可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)先計(jì)算當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)的值，再利用設(shè)而不求法求出當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，結(jié)合直線與圓相切的條件證明為定值．【小問1詳解】由題意得，，可得，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，當(dāng)時(shí)，將代入橢圓方程得，∴，，，∴當(dāng)時(shí)，同理可得，當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，，，因?yàn)?/span>l與相切，所以，所以由，得，∴，，∴  ，∴ 或∴∴綜上，為定值．【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22. 已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a＝0時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：恒成立．【答案】（1）；    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知在上恒成立，進(jìn)而進(jìn)行分參得到，然后通過導(dǎo)數(shù)方法求出的最大值即可得到答案；（2）分和進(jìn)行討論，然后通過導(dǎo)數(shù)方法并結(jié)合三角函數(shù)的有界性得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而證明問題.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立.令（x＞0），則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，∴．【小問2詳解】當(dāng)a＝0時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，∴單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∵，∴，，，∴，單調(diào)遞增.∴.∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即當(dāng)時(shí)，恒成立.綜上，恒成立．【點(diǎn)睛】本題第（2）問較難，且方法比較巧妙，一般來講，象涵蓋指（對）數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的超越函數(shù)通常都要分段，并會(huì)利用到三角函數(shù)的有界性，平常注意對此種題型的歸納總結(jié).

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