?專題九　平面解析幾何
備考篇
【考情探究】

課標(biāo)解讀
考情分析
備考指導(dǎo)
主題
內(nèi)容
一、直線的方程
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念、掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.
2.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.
3.掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
從近幾年高考情況來看,直線和圓主要考查方程的求法,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn);對(duì)于圓錐曲線,基礎(chǔ)題目主要考查定義與方程、幾何性質(zhì),特別是雙曲線的幾何性質(zhì)(離心率、漸近線)及拋物線的幾何性質(zhì).解答題通常以橢圓及拋物線為背景,考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、弦中點(diǎn)問題、定點(diǎn)問題、定值問題、軌跡問題、取值范圍問題、證明問題及直線過定點(diǎn)問題.
1.直線與圓的問題求解一定要注意數(shù)形結(jié)合的方法,充分利用圓的幾何性質(zhì)解題.
2.恰當(dāng)選擇直線和曲線方程形式,簡(jiǎn)化計(jì)算.
3.合理運(yùn)用消元技巧,涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問題,常?！霸O(shè)而不求”,利用根與系數(shù)的關(guān)系解題.
4.圓錐曲線的弦中點(diǎn)問題的解題技巧:代點(diǎn)相減法(點(diǎn)差法).
5.直線與橢圓或直線與拋物線的位置關(guān)系為基本題型,考查曲線的弦長(zhǎng),動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和有關(guān)幾何量的求解等.掌握基本解題方法:先聯(lián)立方程(二次方程和一次方程),再把幾何條件代數(shù)化,最后結(jié)合函數(shù)、不等式等知識(shí),解決求值、范圍、最值等問題.
二、兩直線的位置關(guān)系
1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
2.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、會(huì)求兩條平行直線間的距離.
三、直線、圓的位置關(guān)系
1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.
2.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.
3.能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程,判斷兩圓的位置關(guān)系.
四、橢圓、雙曲線、拋物線
1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).

【真題探秘】


命題規(guī)律
解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消元、化簡(jiǎn),然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,把已知幾何條件代數(shù)化轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.
易錯(cuò)警示
(1)設(shè)直線方程時(shí),應(yīng)注意討論斜率不存在的情況.
(2)利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的,不要忽略判別式.
總結(jié)提升
近幾年平面解析幾何題的呈現(xiàn)形式:第一問往往是求曲線的方程問題;第二問往往是直線與圓錐曲線相結(jié)合的問題.常常需要應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系和判別式.
[教師專用題組]
1.真題多維細(xì)目表
考題
涉分
題型
難度
考點(diǎn)
考向
解題方法
核心素養(yǎng)
2020北京,5
4
選擇題
易
圓的方程
圓心與原點(diǎn)距離的最小值
轉(zhuǎn)化法
數(shù)形結(jié)合法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020課標(biāo)Ⅰ理,11
5
選擇題
中
直線與圓、圓與
圓的位置關(guān)系
直線與圓相切,直線方程
數(shù)形結(jié)合法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
邏輯推理
2020課標(biāo)Ⅰ文,6
5
選擇題
易
直線與圓的
位置關(guān)系
半徑、弦長(zhǎng)的一半、
弦心距的關(guān)系
數(shù)形結(jié)合法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
邏輯推理
2.命題規(guī)律與探究
1.從2020年高考情況來看,本專題內(nèi)容的考題與往年相差不大,考題難度以中檔為主,題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)(如2020年新高考Ⅰ卷第9題B選項(xiàng)、課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第11題),分值一般為5分.
2.本專題內(nèi)容在高考試題中以考查直線、圓的方程及位置關(guān)系為主,常用的解題方法為數(shù)形結(jié)合法、轉(zhuǎn)化法.注意待定系數(shù)法在求解方程問題中的應(yīng)用.
3.在處理直線與圓的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問題時(shí),常利用幾何法.
4.本章重點(diǎn)考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理、直觀想象.
3.命題變化與趨勢(shì)
1.2020年高考對(duì)本專題內(nèi)容的考查方式及題目難度變化不大,延續(xù)此前的考試風(fēng)格,突出直線的基礎(chǔ)地位.
2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①求直線方程與圓的方程;②以直線、圓的位置關(guān)系為背景考查與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、切線以及最值等問題;③以直線、圓及圓錐曲線的融合為背景考查根與系數(shù)的關(guān)系,整體代換思想的應(yīng)用.這些內(nèi)容依然是高考考查的重點(diǎn),因此在備考復(fù)習(xí)之中應(yīng)加以重視.同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

4.真題典例

核心考點(diǎn)　(1)直線、圓的方程;
(2)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
命題要求　(1)掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程;
(2)能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;
(3)能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程,判斷兩圓的位置關(guān)系.
知識(shí)儲(chǔ)備　(1)以線段AB為直徑的圓的方程
已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)兩圓相交時(shí),公共弦所在直線的方程
設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若兩圓相交,則有一條公共弦,兩圓方程相減得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即為圓C1與C2的公共弦所在直線的方程.
思路分析　由題意可判斷直線2x+y+2=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0相離,根據(jù)圓的知識(shí)可知,四點(diǎn)A,P,B,M共圓,且AB⊥MP,根據(jù)|PM|·|AB|=4S△PAM=4|PA|與|PA|=|MP|2-4可知,當(dāng)直線MP⊥l時(shí),|MP|最小,也就是|PM|·|AB|最小,求出以MP為直徑的圓的方程,根據(jù)圓系的知識(shí)可知,直線AB是以MP為直徑的圓與圓☉M的公共弦,將兩圓方程相減即可求出直線AB的方程.
命題規(guī)律　本章?？碱}型及方法
(1)方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判定.
(2)利用相切或相交的條件求參數(shù)的值或取值范圍.
(3)利用相切或相交的條件求圓的切線長(zhǎng)或弦長(zhǎng).
(4)由直線與圓的位置關(guān)系判定有關(guān)幾何量的最值問題.
(5)考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.[教師專用題組]
1.真題多維細(xì)目表
考題
涉分
題型
難度
考點(diǎn)
考向
解題方法
核心素養(yǎng)
2020新高考Ⅰ,9
5
多項(xiàng)
選擇題
中
橢圓、雙曲線的定
義和標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、
雙曲線的漸近線
定義法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020新高考Ⅰ,22
12
解答題
難
圓錐曲線的
綜合問題
直線與橢圓的位置
關(guān)系、定值(點(diǎn))問題
定義法
分類討論法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
邏輯推理
2020天津,7
5
選擇題
中
雙曲線的幾何性質(zhì)
求雙曲線的方程
定義法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
邏輯推理
2020課標(biāo)Ⅰ理,15
5
填空題
中
雙曲線的幾何性質(zhì)
雙曲線的離心率的求法
公式法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020新高考Ⅰ,13
5
填空題
易
拋物線的幾何性質(zhì)
求拋物線過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)
公式法
邏輯推理
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020課標(biāo)Ⅰ,文21,理20
12
解答題
難
圓錐曲線的
綜合問題
橢圓的定值、定點(diǎn)問題
直接法
邏輯推理
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020課標(biāo)Ⅰ文,11
5
選擇題
中
雙曲線的定義
與標(biāo)準(zhǔn)方程
求焦點(diǎn)三角形的面積
定義法
公式法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020北京,20
15
解答題
難
圓錐曲線的
綜合問題
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
數(shù)形結(jié)合法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020北京,12
5
填空題
中
雙曲線的幾何性質(zhì)
由標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)和漸近線
公式法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2020北京,7
4
選擇題
易
拋物線的幾何性質(zhì)
拋物線的定義
定義法
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.命題規(guī)律與探究
1.從2020年高考情況來看,本專題內(nèi)容依然為高考熱點(diǎn),考題以中、高難度為主,題型涵蓋選擇題、填空題和解答題,分值約為20分.
2.本專題內(nèi)容在高考試題中命題形式多樣,客觀題主要考查圓錐曲線的定義(如2020年新高考Ⅰ卷第9題)、方程和幾何性質(zhì)(如2020年課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第15題考查求雙曲線的離心率),解答題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其相關(guān)的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、最值范圍等問題.
3.在求解圓錐曲線方程時(shí)注意待定系數(shù)法與定義法的應(yīng)用,在解決與圓錐曲線弦中點(diǎn)有關(guān)問題時(shí)注意點(diǎn)差法和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.
4.本章重點(diǎn)考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理.
3.命題變化與趨勢(shì)
1.2020年高考對(duì)本章的考查方式及題目難度變化不大,延續(xù)此前的考試風(fēng)格.
2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①以圓錐曲線方程為背景考查標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(如2020年新高考Ⅰ卷第9題).②以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景考查弦長(zhǎng)(如2020年新高考Ⅰ卷第13題,可以直接用過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式,也可以用通用的弦長(zhǎng)公式求解).③以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體考查定點(diǎn)、定值,取值范圍以及存在性問題.④以平面幾何知識(shí)或圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容為載體考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解.這些內(nèi)容均為高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),因此在備考復(fù)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練,同時(shí)在備考時(shí)還需要加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想在解決圓錐曲線綜合問題中的應(yīng)用.
§9.1　直線方程與圓的方程
基礎(chǔ)篇
【基礎(chǔ)集訓(xùn)】
考點(diǎn)一　直線方程
1.直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是 (　　)
A.[0,π]　　B.0,π4∪34π,π
C.0,π4　　D.0,π4∪π2,π
答案　B
2.已知直線l過點(diǎn)(1,2),且在縱軸上的截距為橫軸上的截距的兩倍,則直線l的方程為 (　　)
A.2x-y=0　　B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0　　D.2x-y=0或2x+y-4=0
答案　D
3.(多選題)下列說法正確的是 (　　)
A.截距相等的直線都可以用方程xa+ya=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y軸的直線
C.經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),傾斜角為θ的直線方程為y-1=tanθ(x-1)
D.經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線方程為(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
答案　BD
4.經(jīng)過兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點(diǎn),并且垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程為　　　　　　　.?
答案　4x-3y+9=0
考點(diǎn)二　圓的方程
5.已知點(diǎn)A(-2,-1),B(1,3),則以線段AB為直徑的圓的方程為 (　　)
A.x-122+(y+1)2=25　　B.x+122+(y-1)2=25
C.x-122+(y+1)2=254　　D.x+122+(y-1)2=254
答案　D
6.若a∈-2,0,1,34,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為 (　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
答案　B
7.已知A(0,3),B(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△ABO的外接圓方程是 (　　)
A.x2+y2-x-3y=0　　B.x2+y2+x+3y=0
C.x2+y2-x+3y=0　　D.x2+y2+x-3y=0
答案　A
8.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),則△ABC外接圓的方程為　　　　　　　　　.?
答案　(x+3)2+(y-1)2=25
[教師專用題組]
【基礎(chǔ)集訓(xùn)】
考點(diǎn)二　圓的方程
1.(2017廣東東莞二模,6)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)A、B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0,且λ≠1),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做阿波羅尼斯圓,若已知A(-2,0),B(2,0),λ=12,則此阿波羅尼斯圓的方程為 (　　)
A.x2+y2-12x+4=0　　B.x2+y2+12x+4=0
C.x2+y2-203x+4=0　　D.x2+y2+203x+4=0
答案　D　由題意,設(shè)P(x,y),
則(x+2)2+y2(x-2)2+y2=12,
化簡(jiǎn)可得x2+y2+203x+4=0,故選D.
2.(2020浙江溫州一模,12)已知x4+y2=1與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則|AB|=　　　　;以線段AB為直徑的圓的方程為　　　　　　　.?
答案　25;x2+y2-4x-2y=0
解析　本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式和利用圓心坐標(biāo)和半徑求圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.
由題意,可得點(diǎn)A(4,0),B(0,2),由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|=42+(-2)2=25.
以線段AB為直徑的圓,其圓心為(2,1),半徑為5,
故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5,即x2+y2-4x-2y=0.
一題多解　用向量法求圓的方程:設(shè)M(x,y)為所求圓上任意一點(diǎn),則AM·BM=0,即(x-4)x+y(y-2)=0,即x2+y2-4x-2y=0.
綜合篇
【綜合集訓(xùn)】
考法一　求直線的傾斜角和斜率
1.(2019湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考,5)已知點(diǎn)(-1,2)和33,0在直線l:ax-y+1=0(a≠0)的同側(cè),則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　　)
A.π4,π3　　B.0,π3∪34π,π
C.34π,56π　　D.23π,34π
答案　D
2.(2020廣西玉林期末,7)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k的取值范圍是 (　　)
A.-10),
因?yàn)樵搱A與直線y=x+1相切,
所以r=|1+1|2=2.故所求圓的方程為(x-1)2+y2=2.
2.(2018北京東城二模,13)直線x-y-1=0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2,則圓C的方程可以為　　　　　　　　.(寫出一個(gè)即可)?
答案　x2+y2=1(符合題意即可)
解析　假設(shè)圓心C在原點(diǎn),則圓心(0,0)到直線x-y-1=0的距離d=|0-0-1|2=22,則2r2-d2=2,∴r=1,∴x2+y2=1.
3.(2019北京西城期末文,10)以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為圓心,且與直線y=x相切的圓的方程為　　　　　　.?
答案　(x-2)2+y2=2
解析　依題意可知,拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),圓心到直線y=x的距離即為圓的半徑,半徑為22=2,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=2.
4.(2020北京人大附中開學(xué)測(cè)試,12)已知圓C的圓心位于第二象限且在直線y=2x+1上,若圓C與兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　　　　　　　.?
答案　x+132+y-132=19
解析　本題考查圓的方程的求法、直線與圓相切,考查學(xué)生推理論證能力及運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
設(shè)圓心C(a,b),半徑為r,由圓心C在直線y=2x+1上,得b=2a+1,由圓心C(a,b)在第二象限得a0,由圓C與兩坐標(biāo)軸相切得r=-a,r=b,所以解得a=-13,b=13,r=13,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x+132+y-132=19.

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