?專題六　數(shù)列
備考篇
【考情探究】

課標(biāo)解讀
考情分析
備考指導(dǎo)
主題
內(nèi)容
一、數(shù)列的概念及其表示
1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).
1.本專題內(nèi)容的考題以中等難度偏下為主.題型以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),如2020新高考Ⅰ第18題(解答題).
2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在(1)以等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì),通項(xiàng)公式和求和公式為載體,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.(2)需關(guān)注以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題.數(shù)列與其他專題知識(shí)結(jié)合考查,如數(shù)列與函數(shù)、不等式、統(tǒng)計(jì)等進(jìn)行綜合考查,涉及內(nèi)容較為全面,題型新穎、方法靈活多變.
1.處理等差、等比數(shù)列的基本問題時(shí),要靈活利用等差、等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,利用基本量求解.
2.數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考?？純?nèi)容,要靈活掌握數(shù)列求和的各種方法.
3.重視方程、函數(shù)、分類討論思想的應(yīng)用.
二、等差數(shù)列
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
三、等比數(shù)列
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題.
4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
四、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
1.掌握數(shù)列求和的幾種常見方法.
2.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.

【真題探秘】

解題技巧
在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五個(gè)量,已知其中的三個(gè),就可以求其余的兩個(gè),求解時(shí),一般將已知轉(zhuǎn)化為a1,q的關(guān)系,然后利用方程思想求解.
核心考點(diǎn)
等比數(shù)列通項(xiàng)公式及基本量的運(yùn)算,數(shù)列求和,歸納推理.
核心素養(yǎng)
數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理.
知能拓展
等差數(shù)列中的數(shù)形結(jié)合
(1)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d可變形為an=dn+(a1-d).
若d=0,則an=a1是常數(shù)列;若d≠0,則an是關(guān)于n的一次函數(shù).點(diǎn)(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上的一群孤立的點(diǎn).單調(diào)性:d>0時(shí),{an}為單調(diào)遞增數(shù)列;d0),當(dāng)x∈(0,310)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(310,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.an=1n+90n,n∈N*,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=9或n=10時(shí),a9=a10=119最大.
5.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),則有 (　　)
A.Sn=4n-1　　B.{Sn}為等比數(shù)列
C.an=3×4n-1　　D.an=1,n=13×4n-2,n≥2
答案　ABD　∵an+1=3Sn,∴Sn+1-Sn=3Sn,∴Sn+1=4Sn,
又∵S1=a1=1≠0,
∴{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列,∴Sn=4n-1.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-1-4n-2=3×4n-2,
又當(dāng)n=1時(shí),不符合上式,∴an=1(n=1),3×4n-2(n≥2).
綜合篇
【綜合集訓(xùn)】
考法一　利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式
1.(2021屆安徽太和一中開學(xué)摸底檢測(cè))已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若(1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=b12+b222+…+b202122021,an+1=Sn·Sn+1,則S2021=(　　)
A.-12021　　B.12021　　C.2021　　D.-2021
答案　A
2.(2020重慶直屬校(重慶第八中學(xué)等)3月月考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2-(n2+n-2)Sn-2(n2+n)=0,n∈N*,則數(shù)列1anan+1的前2020項(xiàng)和T2020=　　.?
答案　5052021
考法二　由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式
3.(2019廣東廣雅中學(xué)模擬,7)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),則{an}的通項(xiàng)公式為 (　　)
A.an=24n-3　　B.an=26n-5　　C.an=24n+3　　D.an=22n-1
答案　B
4.(2019河南濮陽重點(diǎn)高中聯(lián)考,9)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=35,且滿足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),則ann的最小值為(　　)
A.234　　B.595　　C.353　　D.12
答案　C
5.(2019山西盂縣一中模擬,8)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),則a18= (　　)
A.259　　B.269　　C.3　　D.289
答案　B
6.(2020新教材地區(qū)第一次月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an>0,an+1-an=1,那么an0,b>0,正項(xiàng)數(shù)列{xn}滿足xn=axn+1+bxn+2,若{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列,則 (　　)
A.a+b>1　　B.b>1　　C.a+b1
答案　A　∵{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列,
∴xn>xn+1對(duì)n∈N*恒成立.
由xn=axn+1+bxn+2得axn+1+bxn+2>xn+1對(duì)n∈N*恒成立,整理得bxn+2>(1-a)xn+1(*).
若a≥1,則(*)式恒成立,此時(shí)a+b>1;
若0(1-a)xn+2,即有b>1-a,
即a+b>1.
綜上,a+b>1,故選A.
2.(2020浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考,10)已知數(shù)列{an}滿足an+1+1an+1=2an+1an(n∈N*),則 (　　)
A.當(dāng)01(n∈N*)時(shí),an+12n+4
D.當(dāng)a1=2時(shí),an+1+1an+1an+1an2+2,得an+1+1an+12>2n+254>2n+4,所以C正確.對(duì)于D,當(dāng)a1=2時(shí),a2+1a2=4+12=92,解得a2=9-654或a2=9+654,若取a2=9+654,則a3+1a3=a2+a2+1a2=9+654+92>9+84+92=354>26,所以D錯(cuò).故選C.

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