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2022學(xué)年安徽省安慶市桐城市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題：每小題4分，共40分．四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的．
1．已知2x=3y，則下列比例式成立的是（　　）
　A． = B． = C． = D． =
　
2．在函數(shù)y=（x+1）2+3中，y隨x增大而減小，則x的取值范圍為（　?。?br /> 　 A． x＞﹣1 B． x＞3 C． x＜﹣1 D． x＜3
　
3．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象的一點(diǎn)，自點(diǎn)A向y軸作垂線，垂足為T(mén)，已知S△AOT=4，則此函數(shù)的表達(dá)式為（　?。?br />
　 A． B． C． D．
　
4．如圖，已知△ABC，P為AB上一點(diǎn)，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）

　 A． ∠ACP=∠B B． ∠APC=∠ACB C． D．
　
5．有一多邊形草坪，在市政建設(shè)設(shè)計(jì)圖紙上的面積為300cm2，其中一條邊的長(zhǎng)度為5cm．經(jīng)測(cè)量，這條邊的實(shí)際長(zhǎng)度為15m，則這塊草坪的實(shí)際面積是（　　）
　 A． 100m2 B． 270m2 C． 2700m2 D． 90000m2
　
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，則sinA的值是（　?。?br /> 　 A． B． 2 C． D．
　
7．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　?。?br />
　 A． ﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞5
　
8．已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（　?。?br />
　 A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°
　
9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一點(diǎn)．若tan∠DBA=，則AD的長(zhǎng)為（　?。?br />
　 A． 2 B． C． D． 1
　
10．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B，D（F），H在同一條直線上，將正方形ABCD沿F?H方向平移至點(diǎn)B與點(diǎn)H重合時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D、F之間的距離為x，正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y，則能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（　?。?br /> 　 A． B．
C． D．
　
　
二、填空題：每小題5分，滿分20分．
11．若點(diǎn)P1（1，m），P2（2，n）在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，則m　　　　　　n（填“＞”、“＜”或“=”號(hào)）
　
12．如圖，已知直線l1∥l2∥3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則tanα=　　　　　　．

　
13．如圖，直徑分別為CD、CE的兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)C，大半圓M的弦與小半圓N相切于點(diǎn)F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)、的長(zhǎng)分別為x、y，線段ED的長(zhǎng)為z，則z（x+y）的值為　　　　　?。?br />
　
14．已知拋物線C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且滿足===k（k≠0，1），則稱拋物線C1，C2互為“友好拋物線”．關(guān)于“友好拋物線”有以下說(shuō)法：①C1，C2開(kāi)口方向、開(kāi)口大小相同；②C1，C2的對(duì)稱軸相同；③如果y2的最值為m，則y1的最值為km；④如果C2與x軸的兩交點(diǎn)間距離為d，則C1與x軸的兩交點(diǎn)間距離也為d．其中正確的結(jié)論是　　　　　　（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．
　
三、解答題：每小題8分，滿分90分．
15．計(jì)算|tan60°﹣tan45°|+．
　
16．觀察下列算式：
①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④　　　　　　；
（1）請(qǐng)你按以上規(guī)律寫(xiě)出第4個(gè)算式；
（2）把這個(gè)規(guī)律用含字母的式子表示出來(lái)；
（3）你認(rèn)為第（2）小題中所寫(xiě)出的式子一定成立嗎？并說(shuō)明理由．
　
17．桐城市某房產(chǎn)公司推出熱氣球觀房活動(dòng)，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看某小區(qū)內(nèi)一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，A處于高樓的水平距離為30m，求這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）

　
18．如圖，已知直線y1=﹣2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，a），點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖象上．
（1）求點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出當(dāng)y2＜2時(shí)自變量x的取值范圍．

　
19．如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫(huà)出圖形；
（2）分別寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)；
（3）如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)．

　
20．如圖，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求證：△BEA∽△CDA；
（2）請(qǐng)猜想可能等于圖中哪兩條線段的比例？并證明你的猜想．

　
21．如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

　
22．桐城市某游樂(lè)場(chǎng)投資150萬(wàn)元引進(jìn)了一項(xiàng)大型游樂(lè)設(shè)施，若不計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)開(kāi)放后每月可創(chuàng)收33萬(wàn)元，而改游樂(lè)設(shè)施開(kāi)放后，從第1個(gè)月到第x個(gè)月的維修保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y萬(wàn)元，且滿足y=ax2+bx；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用所得稱為游樂(lè)場(chǎng)的純收益W萬(wàn)元．
（1）若維修保養(yǎng)費(fèi)用第1個(gè)月為2萬(wàn)元，第2個(gè)月為4萬(wàn)元，分別求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式以及W關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）問(wèn)設(shè)施開(kāi)放幾個(gè)月時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的純收益達(dá)到最大，最大收益多少萬(wàn)元？
（3）幾個(gè)月后，能收回投資？
　
23．如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若BK=KC，求的值．
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明；
（3）再探究：當(dāng)AE=AD（n＞2），而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明．

　
　

2022學(xué)年安徽省安慶市桐城市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：每小題4分，共40分．四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的．
1．已知2x=3y，則下列比例式成立的是（　?。?br /> 　 A． = B． = C． = D． =

考點(diǎn)： 比例的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 把各個(gè)選項(xiàng)依據(jù)比例的基本性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，已知的比例式可以轉(zhuǎn)化為等積式2x=3y，即可判斷．
解答： 解：A、變成等積式是：xy=6，故錯(cuò)誤；
B、變成等積式是：3x=2y，故錯(cuò)誤；
C、變成等積式是：2x=3y，故正確；
D、變成等積式是：3x=2y，故錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了判斷兩個(gè)比例式是否能夠互化的方法，即轉(zhuǎn)化為等積式，判斷是否相同即可．
　
2．在函數(shù)y=（x+1）2+3中，y隨x增大而減小，則x的取值范圍為（　?。?br /> 　 A． x＞﹣1 B． x＞3 C． x＜﹣1 D． x＜3

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 由條件可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=﹣1，且開(kāi)口向上，可得出答案．
解答： 解：
∵y=（x+1）2+3，
∴二次函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=﹣1，
∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x增大而減小，
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二次函數(shù)的增減性及對(duì)稱軸，掌握在y=a（x﹣h）2+k中二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=h是解題的關(guān)鍵．
　
3．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象的一點(diǎn)，自點(diǎn)A向y軸作垂線，垂足為T(mén)，已知S△AOT=4，則此函數(shù)的表達(dá)式為（　?。?br />
　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
專題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： 由圖象上的點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為可知，該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積絕對(duì)值為2，又因?yàn)辄c(diǎn)M在第二象限內(nèi)，所以可知反比例函數(shù)的系數(shù)．
解答： 解：由題意得：|k|=2S△AOT=8；
又因?yàn)辄c(diǎn)M在第二象限內(nèi)，則k＜0；
所以反比例函數(shù)的系數(shù)k為﹣8．
故選D．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
　
4．如圖，已知△ABC，P為AB上一點(diǎn)，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　?。?br />
　 A． ∠ACP=∠B B． ∠APC=∠ACB C． D．

考點(diǎn)： 相似三角形的判定．
分析： 由圖可得∠A=∠A，又由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可得A與B正確，又由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似，即可得C正確，利用排除法即可求得答案．
解答： 解：∵∠A=∠A，
∴當(dāng)∠ACP=∠B時(shí)，△ACP∽△ABC，故A選項(xiàng)正確；
∴當(dāng)∠APC=∠ACB時(shí)，△ACP∽△ABC，故B選項(xiàng)正確；
∴當(dāng)時(shí)，△ACP∽△ABC，故C選項(xiàng)正確；
∵若，還需知道∠ACP=∠B，∴不能判定△ACP∽△ABC．故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似定理的應(yīng)用．
　
5．有一多邊形草坪，在市政建設(shè)設(shè)計(jì)圖紙上的面積為300cm2，其中一條邊的長(zhǎng)度為5cm．經(jīng)測(cè)量，這條邊的實(shí)際長(zhǎng)度為15m，則這塊草坪的實(shí)際面積是（　?。?br /> 　 A． 100m2 B． 270m2 C． 2700m2 D． 90000m2

考點(diǎn)： 比例線段．
專題： 計(jì)算題；壓軸題．
分析： 實(shí)際圖形與設(shè)計(jì)圖是相似圖形，相似比是5：1500=1：300，相似多邊形面積的比等于相似比的平方，就可求出這塊草坪的實(shí)際面積．
解答： 解：設(shè)草坪的實(shí)際面積是x平方米，
則有，
解得x=2700m2．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 實(shí)際圖形與設(shè)計(jì)圖是相似圖形，本題實(shí)際就是考查相似多邊形的性質(zhì)．注意單位的轉(zhuǎn)換．
　
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，則sinA的值是（　?。?br /> 　 A． B． 2 C． D．

考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正弦的定義sinA=解答．
解答： 解：根據(jù)題意，AB==BC，sinA===．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查角的正弦的定義，需要熟練掌握．
　
7．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　?。?br />
　 A． ﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞5

考點(diǎn)： 二次函數(shù)與不等式（組）．
專題： 壓軸題．
分析： 利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解答： 解：由圖象得：對(duì)稱軸是x=2，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），
∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．
利用圖象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜﹣1或x＞5．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)利用圖象解一元二次方程根的情況，很好地利用數(shù)形結(jié)合，題目非常典型．
　
8．已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（　　）

　 A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°

考點(diǎn)： 圓周角定理；正多邊形和圓．
分析： 連接OB、OC，首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠BOC=90°，再根據(jù)圓周角定理，得∠BPC=45°．
解答： 解：如圖，連接OB、OC，則∠BOC=90°，
根據(jù)圓周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故選A．

點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用．
這里注意：根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，知正方形對(duì)角線的交點(diǎn)即為其外接圓的圓心．
　
9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一點(diǎn)．若tan∠DBA=，則AD的長(zhǎng)為（　?。?br />
　 A． 2 B． C． D． 1

考點(diǎn)： 解直角三角形．
分析： 想要求AD的長(zhǎng)，求CD的長(zhǎng)即可，根據(jù)tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解題．
解答： 解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，
∴tan∠ABC==1，
∵tan∠DBA=，
∴tan∠CBD=，
∴CD=BC?tan∠CBD=2，
∴AD=3﹣2=1．
故選D．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形中正切值的運(yùn)用，考查了兩角和的正切公式，熟練運(yùn)用兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵．
　
10．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B，D（F），H在同一條直線上，將正方形ABCD沿F?H方向平移至點(diǎn)B與點(diǎn)H重合時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D、F之間的距離為x，正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y，則能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（　?。?br /> 　 A． B．
C． D．

考點(diǎn)： 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象．
專題： 應(yīng)用題；壓軸題．
分析： 正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分主要分為3個(gè)部分，是個(gè)分段函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)三種情況中的對(duì)應(yīng)函數(shù)求出來(lái)即可得到正確答案．
解答： 解：DF=x，正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y
①y=DF2=x2（0≤x＜）；
②y=1（≤x＜2）；
③∵BH=3﹣x
∴y=BH2=x2﹣3x+9（2≤x＜3）．
綜上可知，圖象是
故選：B．
圖：①


②


③

點(diǎn)評(píng)： 解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象類習(xí)題時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)條件找到所給的兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，尤其是在幾何問(wèn)題中，更要注意基本性質(zhì)的掌握和靈活運(yùn)用．
　
二、填空題：每小題5分，滿分20分．
11．若點(diǎn)P1（1，m），P2（2，n）在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，則m　＜　n（填“＞”、“＜”或“=”號(hào)）

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特得到1?m=﹣2，2?n=﹣2，然后分別解方程求出m和n的值，再比較大小即可．
解答： 解：∵點(diǎn)P1（1，m），P2（2，n）在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，
∴1?m=﹣2，2?n=﹣2，
∴m=﹣2，n=﹣1，
∴m＜n．
故答案為＜．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．
　
12．如圖，已知直線l1∥l2∥3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則tanα=　?。?br />

考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出AE=AD，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠α=∠ADE，就可以求出結(jié)論．
解答： 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=AB，∠A=90°．
∵l1∥l2∥3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，
∴AE=AB，∠α=∠ADE．
∴AE=AD．
∴．
∵tan∠ADE=，
∴tanα=，
∴tanα=．
故答案為：

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線等分線段定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用平行線等分線段定理求解是關(guān)鍵．
　
13．如圖，直徑分別為CD、CE的兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)C，大半圓M的弦與小半圓N相切于點(diǎn)F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)、的長(zhǎng)分別為x、y，線段ED的長(zhǎng)為z，則z（x+y）的值為　8π?。?br />

考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理；切線的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題；壓軸題．
分析： 過(guò)M作MG⊥AB于G，連MB，NF，根據(jù)垂徑定理得到BG=AG=2，利用勾股定理可得MB2﹣MG2=22=4，再根據(jù)切線的性質(zhì)有NF⊥AB，而AB∥CD，得到MG=NF，設(shè)⊙M，⊙N的半徑分別為R，r，則z（x+y）=（CD﹣CE）（π?R+π?r）=（R2﹣r2）?2π，即可得到z（x+y）的值．
解答： 解：過(guò)M作MG⊥AB于G，連MB，NF，如圖，
而AB=4，
∴BG=AG=2，
∴MB2﹣MG2=22=4，
又∵大半圓M的弦與小半圓N相切于點(diǎn)F，
∴NF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴MG=NF，
設(shè)⊙M，⊙N的半徑分別為R，r，
∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π?R+π?r），
=（2R﹣2r）（R+r）?π，
=（R2﹣r2）?2π，
=4?2π，
=8π．
故答案為：8π．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的??；也考查了切線的性質(zhì)和圓的面積公式以及勾股定理．
　
14．已知拋物線C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且滿足===k（k≠0，1），則稱拋物線C1，C2互為“友好拋物線”．關(guān)于“友好拋物線”有以下說(shuō)法：①C1，C2開(kāi)口方向、開(kāi)口大小相同；②C1，C2的對(duì)稱軸相同；③如果y2的最值為m，則y1的最值為km；④如果C2與x軸的兩交點(diǎn)間距離為d，則C1與x軸的兩交點(diǎn)間距離也為d．其中正確的結(jié)論是?、冖邰堋。ò阉姓_結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 新定義．
分析： 當(dāng)k＜0時(shí)，可判斷①；由=可得到=，可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的最值，可分別求得y2和y1的最值，再結(jié)合條件可判斷③；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出與X軸的兩交點(diǎn)的距離|g﹣e|和|d﹣m|，即可判斷④．
解答： 解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，
①根據(jù)友好拋物線的條件，a1、a2的符號(hào)不一定相同，所以開(kāi)口方向、開(kāi)口大小不一定相同，故①不正確；
②由=可得到=，所以可知其對(duì)稱軸相同，故②正確；
③因?yàn)槿绻鹹2的最值是m，則y1的最值是=k?=km，故③正確；
④因?yàn)樵O(shè)直線y1于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（e，f），（g，h），則e+g=﹣，eg=，
直線y2于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（m，n），（d，p），則m+d=﹣，md=，
可求得：d=|g﹣e|=====|d﹣m|，故④正確；
故答案為：②③④．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開(kāi)口方向、最值等，由條件得出a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2是解題的關(guān)鍵．

三、解答題：每小題8分，滿分90分．
15．計(jì)算|tan60°﹣tan45°|+．

考點(diǎn)： 特殊角的三角函數(shù)值．
專題： 計(jì)算題．
分析： 本題可分別解出tan60°與tan45°的值，比較它們的大小，再對(duì)原式去絕對(duì)值．而根號(hào)內(nèi)的數(shù)可配成平方式，討論平方內(nèi)的數(shù)的大小，最后代入原式即可．
解答： 解：原式=|tan60°﹣tan45°|+|cos30°﹣1|
=tan60°﹣tan45°+1﹣cos30°
=
=．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確掌握特殊角的函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
　
16．觀察下列算式：
①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④　4×6﹣52=﹣1?。?br /> （1）請(qǐng)你按以上規(guī)律寫(xiě)出第4個(gè)算式；
（2）把這個(gè)規(guī)律用含字母的式子表示出來(lái)；
（3）你認(rèn)為第（2）小題中所寫(xiě)出的式子一定成立嗎？并說(shuō)明理由．

考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
分析： （1）按照前3個(gè)算式的規(guī)律寫(xiě)出即可；
（2）觀察發(fā)現(xiàn)，算式序號(hào)與比序號(hào)大2的數(shù)的積減去比序號(hào)大1的數(shù)的平方，等于﹣1，根據(jù)此規(guī)律寫(xiě)出即可；
（3）先利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則與完全平方公式分別計(jì)算第n個(gè)式子左邊的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)，再去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，所得結(jié)果與﹣1比較即可．
解答： 解：（1）∵①1×3﹣22=﹣1，
②2×4﹣32=﹣1，
③3×5﹣42=﹣1，
∴第4個(gè)算式為：④4×6﹣52=﹣1；
故答案為：4×6﹣52=﹣1；

（2）第n個(gè)式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；

（3）第（2）小題中所寫(xiě)出的式子一定成立．理由如下：
∵左邊=n×（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1，右邊=﹣1，
∴左邊=右邊，
∴n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察出算式中的數(shù)字與算式的序號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
　
17．桐城市某房產(chǎn)公司推出熱氣球觀房活動(dòng)，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看某小區(qū)內(nèi)一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，A處于高樓的水平距離為30m，求這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）


考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．
分析： 過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得BD和CD，即可求解．
解答： 解：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=60°，AD=30m，
∴BD=AD?tan60°=30×=30m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=30m，
∴CD=AD?tan30°=30×=10m，
BC=30+10=40≈68（m）．
答：這棟樓高約為68m．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解直角三角形．
　
18．如圖，已知直線y1=﹣2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，a），點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖象上．
（1）求點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出當(dāng)y2＜2時(shí)自變量x的取值范圍．


考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析： （1）把P的坐標(biāo)代入直線的解析式，即可求得P的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，即可求得P′的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，然后根據(jù)反比例函數(shù)的增減性即可求得x的范圍．
解答： 解：（1）把P（﹣2，a）代入直線的解析式得：a=﹣2×（﹣2）=4，則P的坐標(biāo)是（﹣2，4），
點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是：（2，4）；
（2）把P′的坐標(biāo)（2，4）代入反比例函數(shù)y2=（k≠0）的解析式得：4=，解得：k=8，則函數(shù)的解析式是：y2=；
在解析式中，當(dāng)y=2時(shí)，x=4，
則當(dāng)y2＜2時(shí)自變量x的取值范圍是：x＞4或x＜0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是在求x的范圍時(shí)忽視x≠0這一條件．
　
19．如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫(huà)出圖形；
（2）分別寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)；
（3）如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)．


考點(diǎn)： 作圖-位似變換；點(diǎn)的坐標(biāo)．
專題： 作圖題．
分析： （1）延長(zhǎng)BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的長(zhǎng)度是OB，OC的2倍．順次連接三點(diǎn)即可；
（2）從直角坐標(biāo)系中，讀出B′、C′的坐標(biāo)；
（3）從這兩個(gè)相似三角形坐標(biāo)位置關(guān)系來(lái)看，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)正好是原坐標(biāo)乘以﹣2的坐標(biāo)，所以M的坐標(biāo)為（x，y），寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（﹣2x，﹣2y）．
解答： 解：（1）

（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；

（3）從這兩個(gè)相似三角形坐標(biāo)位置關(guān)系來(lái)看，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)正好是原坐標(biāo)乘以﹣2的坐標(biāo)，所以M的坐標(biāo)為（x，y），寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（﹣2x，﹣2y）．
點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了直角坐標(biāo)系和相似三角形的有關(guān)知識(shí)，注意做這類題時(shí)，性質(zhì)是關(guān)鍵，看圖也是關(guān)鍵．很多信息是需要從圖上看出來(lái)的．
　
20．如圖，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求證：△BEA∽△CDA；
（2）請(qǐng)猜想可能等于圖中哪兩條線段的比例？并證明你的猜想．


考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）由三角形外角的性質(zhì)及條件可得到∠AEB=∠ADC，結(jié)合條件可得到∠DAC=∠EAB，可證得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論可證得△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性質(zhì)可得出=或
解答： （1）證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，
即∠BAE=∠DAC，
∵∠DAE=∠BDC，
∴∠DAE+∠ADE=∠BDC+∠ADE，
即∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA；
（2）解：=或，證明如下：
由（1）可知△ADE∽△ACB，
∴=，且∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴==，
∴=或．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例、②兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等、③兩個(gè)三角形的兩組對(duì)邊成比例且?jiàn)A角相等，則這兩個(gè)三角形相似．
　
21．如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．


考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．
解答： （1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，．（2分）
∴∠BCD=∠BAC．（3分）
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，
CE=CD=×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直徑為26cm．（10分）

點(diǎn)評(píng)： 本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應(yīng)用能力．
　
22．桐城市某游樂(lè)場(chǎng)投資150萬(wàn)元引進(jìn)了一項(xiàng)大型游樂(lè)設(shè)施，若不計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)開(kāi)放后每月可創(chuàng)收33萬(wàn)元，而改游樂(lè)設(shè)施開(kāi)放后，從第1個(gè)月到第x個(gè)月的維修保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y萬(wàn)元，且滿足y=ax2+bx；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用所得稱為游樂(lè)場(chǎng)的純收益W萬(wàn)元．
（1）若維修保養(yǎng)費(fèi)用第1個(gè)月為2萬(wàn)元，第2個(gè)月為4萬(wàn)元，分別求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式以及W關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）問(wèn)設(shè)施開(kāi)放幾個(gè)月時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的純收益達(dá)到最大，最大收益多少萬(wàn)元？
（3）幾個(gè)月后，能收回投資？

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）將x=1，y=2及x=2，y=6代入關(guān)系式y(tǒng)=ax2+bx求出a、b的值進(jìn)而求出y與x的關(guān)系式，再由利潤(rùn)=收入﹣投資﹣維修保養(yǎng)費(fèi)用就可以得出W與x的關(guān)系式；
（2）由（1）的W與x的關(guān)系式變?yōu)轫旤c(diǎn)式就可以求出結(jié)論；
（3）由函數(shù)的解析式可以得出0＜x≤16時(shí)y隨x的增大而增大，當(dāng)W=0時(shí)求出x的值即可求出結(jié)論．
解答： 解：（1）由題意，得
，
解得：，
y=x2+x．
W=33x﹣150﹣（x2+x），
W=﹣x2+32x﹣150．
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x2+x，W關(guān)于x的表達(dá)式為W=﹣x2+32x﹣150；
（2）∵W=﹣x2+32x﹣150，
W=﹣（x﹣16）2+106．
∵a=﹣1＜0，
∴x=16時(shí)，W最大=106萬(wàn)元．
答：設(shè)施開(kāi)放16個(gè)月時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的純收益達(dá)到最大，最大收益106萬(wàn)元；
（3）由題意，得
0=﹣x2+32x﹣150，
解得：x1=16+，x2=16﹣，
∵16+＞16﹣，
∴x=16﹣．
∵x為整數(shù)，
∴x=5時(shí)，W＜0，
當(dāng)x=6時(shí)，W＞0，
∴6個(gè)月后，能收回投資．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，利潤(rùn)=收入﹣投資﹣維修保養(yǎng)費(fèi)用的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，一元二次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的關(guān)系式是關(guān)鍵．
　
23．如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若BK=KC，求的值．
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明；
（3）再探究：當(dāng)AE=AD（n＞2），而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明．


考點(diǎn)： 相似形綜合題．
分析： （1）由已知得BK=KC，由CD∥AB可證△KCD∽△KBA，利用=求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位線，由中位線定理得EF∥AB∥CD，可知G為BC的中點(diǎn)，由平行線及角平分線性質(zhì)，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，則EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)AE=AD（n＞2）時(shí)，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．
解答： 解：（1）∵BK=KC，
∴=1，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴=1；

（2）當(dāng)BE平分∠ABC，AE=AD時(shí)，AB=BC+CD；
證明：取BD的中點(diǎn)為F，連接EF交BC于G點(diǎn)，
由中位線定理，得EF∥AB∥CD，
∴G為BC的中點(diǎn)，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，
∵EF=EG+GF，
即：AB=BC+CD；
∴AB=BC+CD；

（3）由（2）同理可得：當(dāng)AE=AD（n＞2）時(shí)，EF∥AB，
同理可得：==，則BG=?BC，則EG=BG=?BC，
==，則GF=?CD，==，
∴+?CD=?AB，
∴BC+CD=（n﹣1）AB，
故當(dāng)AE=AD（n＞2）時(shí)，BC+CD=（n﹣1）AB．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造平行線利用三角形的中位線定理解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
　

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