1. 相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 3
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2021年5月18日上午，江蘇省人民政府召開新聞發(fā)布會(huì)，公布了全省最新人口數(shù)據(jù)，其中連云港市常住人口約為4600000人．把“4600000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
4. 正五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，將矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線交于點(diǎn)G，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
6. 關(guān)于某個(gè)函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一個(gè)特征．
甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；
乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；
丙：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運(yùn)動(dòng)，若面積為，，則周長的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 一組數(shù)據(jù)2，1，3，1，2，4的中位數(shù)是______．
10. 計(jì)算__________．
11. 分解因式：____．
12. 已知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則=____．
13. 如圖，、是的半徑，點(diǎn)C在上，，，則______．
14. 如圖，菱形的對角線、相交于點(diǎn)O，，垂足為E，，，則的長為______．
15. 某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤，同時(shí)提高每份B種快餐的利潤．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______元．
16. 如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長交于點(diǎn)D．若，則______．
三、解答題（本大題共11小題，共102分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計(jì)算：．
18. 解不等式組：．
19. 解方程：．
20. 端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某食品廠為了解市民對去年銷量較好的A、B、C、D四種粽子的喜愛情況，在端午節(jié)前對某小區(qū)居民進(jìn)行抽樣調(diào)查（每人只選一種粽子），并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D種粽子所在扇形的圓心角是______；
（3）這個(gè)小區(qū)有2500人，請你估計(jì)愛吃B種粽子的人數(shù)為______．
21. 為了參加全市中學(xué)生“黨史知識競賽”，某校準(zhǔn)備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學(xué)校參加比賽．
（1）如果已經(jīng)確定女生甲參加，再從其余的候選人中隨機(jī)選取1人，則女生乙被選中的概率是______；
（2）求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．
22. 如圖，點(diǎn)C是中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：四邊形是矩形．
23. 為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并求出最少費(fèi)用．
24. 如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）延長、相交于點(diǎn)E，若，求的值．
25. 我市前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．
（1）如圖1，在無魚上鉤時(shí)，海面上方的魚線與海面的夾角，海面下方的魚線與海面垂直，魚竿與地面的夾角．求點(diǎn)O到岸邊的距離；
（2）如圖2，在有魚上鉤時(shí)，魚竿與地面的夾角，此時(shí)魚線被拉直，魚線，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
26. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知．
（1）求m的值和直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
27. 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．
（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；
（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；
（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；
（4）正方形邊長為3，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形，其中點(diǎn)F、G都在直線上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．
2022年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，只有符號不同的兩個(gè)數(shù)稱為相反數(shù)．
【詳解】解：的相反數(shù)是3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義．只有符號不同的兩個(gè)數(shù)為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同類項(xiàng)與合并同類項(xiàng)、全完平方差公式的展開即可得出答案．
【詳解】解：A，與不是同類項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B，與不是同類項(xiàng)，不能合并得到常數(shù)值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C，合并同類項(xiàng)后，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D，完全平方公式：，故選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的運(yùn)算，同類項(xiàng)合并及完全平方差公式，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．
3. 2021年5月18日上午，江蘇省人民政府召開新聞發(fā)布會(huì)，公布了全省最新人口數(shù)據(jù)，其中連云港市的常住人口約為4600000人．把“4600000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)公式（n為正整數(shù)）表示出來即可．
【詳解】解：4600000=
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，關(guān)鍵是根據(jù)公式（n為正整數(shù)）將所給數(shù)據(jù)表示出來．
4. 正五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】n邊形的內(nèi)角和是 ，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和．
【詳解】（5﹣2）×180°=540°．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，是需要熟記的內(nèi)容．
5. 如圖，將矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線交于點(diǎn)G，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由與折疊的性質(zhì)得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形紙片沿折疊，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64?，
∵是△EFG的外角，
∴=∠GEF+∠EFG=128?
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵在于折疊得出角相等，再由平行得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由三角形外角的性質(zhì)求解．
6. 關(guān)于某個(gè)函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一個(gè)特征．
甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；
乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；
丙：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：A.對于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。蔬x項(xiàng)A不符合題意；
B.對于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1，故函數(shù)圖像不經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象分布在一、三象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。蔬x項(xiàng)B不符合題意；
C.對于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象分布在一、二象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．故選項(xiàng)C不符合題意；
D.對于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7. 如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長，最后根據(jù)的面積公式解題．
【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，
與是等高三角形，
設(shè)
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
8. 如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運(yùn)動(dòng)，若的面積為，，則周長的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用將軍飲馬之造橋選址的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】如圖所示，
（1）為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M．

四邊形是平行四邊形

則
（2）找一點(diǎn)， 連接，則，過點(diǎn)作的平行線，連接則．
此時(shí)
（1）中周長取到最小值
四邊形是平行四邊形
四邊形是正方形
，
又，，
又
是等腰三角形
，則圓的半徑，

故選：B．
【點(diǎn)睛】本題難度較大，需要具備一定幾何分析方法．關(guān)鍵是要找到周長取最小值時(shí)的位置．
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 一組數(shù)據(jù)2，1，3，1，2，4的中位數(shù)是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先排序，再進(jìn)行計(jì)算；
【詳解】解：從小到大排序?yàn)椋?，1，2，2，3，4，
∵數(shù)字有6個(gè)，
∴中位數(shù)為：，
故答案是2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位數(shù)求解，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
10. 計(jì)算__________．
【答案】5
【解析】
【分析】直接運(yùn)用二次根式的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：5．
故填5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握成為解答本題的關(guān)鍵．
11. 分解因式：____．
【答案】（3x＋1）2
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【詳解】解：原式＝（3x＋1）2，
故答案為：（3x＋1）2
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解?運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
12. 已知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則=____．
【答案】
【解析】
【分析】
【詳解】試題分析：∵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，
∴9-4k=0，
∴k=．
故答案為．
考點(diǎn)：根的判別式．
13. 如圖，、是的半徑，點(diǎn)C在上，，，則______．
【答案】25
【解析】
【分析】連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算．
【詳解】解：連接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案為：25．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，菱形的對角線、相交于點(diǎn)O，，垂足為E，，，則的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出AO，DO的長，再利用勾股定理得出菱形的邊長，進(jìn)而利用等面積法得出答案．
【詳解】解：∵菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面積法得： ,
∴
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的高的求法（等面積法），熟記性質(zhì)與定理是解題關(guān)鍵．
15. 某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤，同時(shí)提高每份B種快餐的利潤．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】根據(jù)題意，總利潤=快餐的總利潤＋快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤×對應(yīng)總數(shù)量，分別對兩份快餐前后利潤和數(shù)量分析，代入求解即可．
【詳解】解：設(shè)種快餐的總利潤為，種快餐的總利潤為，兩種快餐的總利潤為，設(shè)快餐的份數(shù)為份，則B種快餐的份數(shù)為份．
據(jù)題意：

∴
∵
∴當(dāng)?shù)臅r(shí)候，W取到最大值1264，故最大利潤為1264元
故答案為：1264
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關(guān)系是解題關(guān)鍵點(diǎn)．
16. 如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長交于點(diǎn)D．若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．
【詳解】解：連接ED
是的中線，
，
設(shè)，
與是等高三角形，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共11小題，共102分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計(jì)算：．
【答案】4．
【解析】
【分析】由，，計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】解：原式
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是開三次方與絕對值的計(jì)算．
18. 解不等式組：．
【答案】x2
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式組的一般步驟進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：解不等式3x﹣1x+1，得：x1，
解不等式x+44x﹣2，得：x2，
∴不等式組的解集為x2．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟悉“解一元一次不等式的方法和確定不等式組解集的方法”是解答本題的關(guān)鍵.
19. 解方程：．
【答案】無解
【解析】
【分析】將分式去分母，然后再解方程即可．
【詳解】解：去分母得：
整理得，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的增根，
故此方程無解．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程，要注意驗(yàn)根，熟悉相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某食品廠為了解市民對去年銷量較好的A、B、C、D四種粽子的喜愛情況，在端午節(jié)前對某小區(qū)居民進(jìn)行抽樣調(diào)查（每人只選一種粽子），并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D種粽子所在扇形的圓心角是______；
（3）這個(gè)小區(qū)有2500人，請你估計(jì)愛吃B種粽子的人數(shù)為______．
【答案】（1）見解析；（2）108；（3）500
【解析】
【分析】（1）由A種粽子數(shù)量240除以占比40%可得粽子總數(shù)為600個(gè)，繼而解得B種粽子的數(shù)量即可解題；
（2）將D種粽子數(shù)量除以總數(shù)再乘以360°即可解題；
（3）用B種粽子的人數(shù)除以總數(shù)再乘以2500即可解題．
【詳解】解：（1）由條形圖知，A種粽子有240個(gè)，由扇形圖知A種粽子占總數(shù)的40%，
可知粽子總數(shù)有：（個(gè)）
B種粽子有（個(gè)）；
（2），
故答案為：108；
（3）（人），
故答案為：500．
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、求扇形的圓心角、用樣本估計(jì)總體等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
21. 為了參加全市中學(xué)生“黨史知識競賽”，某校準(zhǔn)備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學(xué)校參加比賽．
（1）如果已經(jīng)確定女生甲參加，再從其余的候選人中隨機(jī)選取1人，則女生乙被選中的概率是______；
（2）求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由一共有3種等可能性的結(jié)果，其中恰好選中女生乙的有1種，即可求得答案；
（2）先求出全部情況的總數(shù)，再求出符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【詳解】解：（1）∵已確定女生甲參加比賽，再從其余3名同學(xué)中隨機(jī)選取1名有3種結(jié)果，其中恰好選中女生乙的只有1種，
∴恰好選中乙的概率為；
故答案為：；
（2）分別用字母A，B表示女生，C，D表示男生
畫樹狀如下：
4人任選2人共有12種等可能結(jié)果，其中1名女生和1名男生有8種，
∴（1女1男）．
答：所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是．
【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與古典概率的求解方法．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22. 如圖，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：四邊形是矩形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴四邊形ACED矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
23. 為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并求出最少費(fèi)用．
【答案】（1）種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元；（2）購進(jìn)種消毒液67瓶，購進(jìn)種23瓶，最少費(fèi)用為676元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中條件列出二元一次方程組，求解即可；
（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價(jià)，表示出購買的費(fèi)用的表達(dá)式，根據(jù)購買兩種消毒液瓶數(shù)之間的關(guān)系，求出引進(jìn)表示瓶數(shù)的未知量的范圍，即可確定方案．
【詳解】解：（1）設(shè)種消毒液的單價(jià)是元，型消毒液的單價(jià)是元．
由題意得：，解之得，，
答：種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元．
（2）設(shè)購進(jìn)種消毒液瓶，則購進(jìn)種瓶，購買費(fèi)用為元．
則，
∴隨著的增大而減小，最大時(shí)，有最小值．
又，∴．
由于是整數(shù)，最大值為67，
即當(dāng)時(shí)，最省錢，最少費(fèi)用為元．
此時(shí)，．
最省錢的購買方案是購進(jìn)種消毒液67瓶，購進(jìn)種23瓶．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不等式組的求解及利用一次函數(shù)的增減性來解決生活中的優(yōu)化決策問題，解題的關(guān)鍵是：仔細(xì)審題，找到題中的等量關(guān)系，建立等式進(jìn)行求解．
24. 如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）延長、相交于點(diǎn)E，若，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；
（2）由已知條件可得，可得出，進(jìn)而得出即可求得；
【詳解】（1）∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴是的切線．
（2）由（1）可知，，
又，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，正切的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)判定，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．
25. 我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．
（1）如圖1，在無魚上鉤時(shí)，海面上方的魚線與海面的夾角，海面下方的魚線與海面垂直，魚竿與地面的夾角．求點(diǎn)O到岸邊的距離；
（2）如圖2，在有魚上鉤時(shí)，魚竿與地面的夾角，此時(shí)魚線被拉直，魚線，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，構(gòu)建和，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出FC，用;
（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，構(gòu)建和，在中，根據(jù)53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【詳解】
（1）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，
則，垂足為．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸邊的距離為．
（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，
則，垂足為．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即點(diǎn)到岸邊距離為．
【點(diǎn)睛】本題以釣魚為背景，考查了學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)一邊和一角的已知量，求其他邊；再根據(jù)特殊的幾何位置關(guān)系求線段長度．
26. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知．
（1）求m的值和直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】（1），；（2），，；（3）
【解析】
【分析】（1）求出A，B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可；
（2）做點(diǎn)A關(guān)于BC的平行線，聯(lián)立直線與拋物線的表達(dá)式可求出的坐標(biāo)，設(shè)出直線與y軸的交點(diǎn)為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線，聯(lián)立方程組即可求出P；
（3）取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得直線對應(yīng)的表達(dá)式為，即可求出結(jié)果；
【詳解】（1）將代入，
化簡得，則（舍）或，
∴，
得：，則．
設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，
將、代入可得，解得，
則直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）如圖，過點(diǎn)A作∥BC，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為G，將直線BC向下平移 GC個(gè)單位，得到直線，
由（1）得直線BC的解析式為，，
∴直線AG的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得：（舍），或，
∴，
由直線AG的表達(dá)式可得，
∴，，
∴直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得：，，
∴，，
∴，，．
（3）如圖，取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴AD=CD，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，則，．
設(shè)，
∵，，
∴．
由，則，即，解之得，．
所以，又，
可得直線對應(yīng)的表達(dá)式為，
設(shè)，代入，
得，，，
又，則．所以．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．
27. 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．
（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；
（2）是邊長為3等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；
（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；
（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形，其中點(diǎn)F、G都在直線上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．
【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；
【解析】
【分析】（1）由、是等邊三角形，，， ，可證即可；
（2）連接，、是等邊三角形，可證，可得，又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在A處時(shí)，點(diǎn)與重合．可得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長；
（3）取中點(diǎn)，連接，由、是等邊三角形，可證，可得．又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與重合．可求點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長；
（4）連接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的上運(yùn)動(dòng)，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理即，可求，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為長=，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為的長．
【詳解】解:（1）∵、是等邊三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）連接，
∵、是等邊三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在A處時(shí)，點(diǎn)與重合．
∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長；
（3）取中點(diǎn)，連接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與重合，
∴點(diǎn)所經(jīng)過路徑的長；
（4）連接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的上運(yùn)動(dòng)，
∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，
∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，
由勾股定理即，
∴，
點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為長=，
點(diǎn)H在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)，
點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為的長度，
∵點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)圓周的四分之一，
∴點(diǎn)H也運(yùn)動(dòng)圓周的四分一，
點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為的長=，
故答案為；．
【點(diǎn)睛
本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．

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