?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。
4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，動點E、F分別從點C，D出發(fā)，以相同速度分別沿CB，DC運動（點E到達C時，兩點同時停止運動）.連接AE，BF交于點P，過點P分別作PM∥CD，PN∥BC，則線段MN的長度的最小值為（ ）

A． B． C． D．1
2．如圖，剪兩張對邊平行且寬度相同的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動其中一張，重合部分構(gòu)成一個四邊形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（　?。?br />
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
3．如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判斷△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的是（ ）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
4．已知拋物線c：y=x2+2x﹣3，將拋物線c平移得到拋物線c′，如果兩條拋物線，關(guān)于直線x=1對稱，那么下列說法正確的是（　?。?br /> A．將拋物線c沿x軸向右平移個單位得到拋物線c′ B．將拋物線c沿x軸向右平移4個單位得到拋物線c′
C．將拋物線c沿x軸向右平移個單位得到拋物線c′ D．將拋物線c沿x軸向右平移6個單位得到拋物線c′
5．某班7名女生的體重（單位：kg）分別是35、37、38、40、42、42、74，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A．74 B．44 C．42 D．40
6．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為（　?。?br />
A．36 B．12 C．6 D．3
7．如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB=10，BC=15，MN=3，則AC的長是（　?。?br />
A．12 B．14 C．16 D．18
8．在△ABC中，∠C＝90°，，那么∠B的度數(shù)為（ ）
A．60° B．45° C．30° D．30°或60°
9．如圖所示的幾何體的主視圖正確的是（ ）

A． B． C． D．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′(點B的對應(yīng)點是點B′，點C的對應(yīng)點是點C′，連接CC′.若∠CC′B′=32°，則∠B的大小是( )

A．32° B．64° C．77° D．87°
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．若關(guān)于x的方程x2-x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α的度數(shù)為___．
12．如果小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機停留在某塊方磚上，每塊方磚大小、質(zhì)地完全一致，那么它最終停留在黑色區(qū)域的概率是__________．

13．閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問題：
已知：∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角．
求作：∠APB＝∠ACB．
小明的做法如下：
如圖
①作線段AB的垂直平分線m；
②作線段BC的垂直平分線n，與直線m交于點O；
③以點O為圓心，OA為半徑作△ABC的外接圓；
④在弧ACB上取一點P，連結(jié)AP，BP．
所以∠APB＝∠ACB．
老師說：“小明的作法正確．”
請回答：
（1）點O為△ABC外接圓圓心（即OA＝OB＝OC）的依據(jù)是_____；
（2）∠APB＝∠ACB的依據(jù)是_____．

14．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸上，直線y=x﹣經(jīng)過直角頂點B，且平分△ABC的面積，BC=3，點A在反比例函數(shù)y=圖象上，則k=_______．

15．如圖，在中，,,為邊的高，點在軸上，點在軸上，點在第一象限，若從原點出發(fā)，沿軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點隨之沿軸下滑，并帶動在平面內(nèi)滑動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)?shù)竭_原點時停止運動
連接，線段的長隨的變化而變化，當(dāng)最大時，______.當(dāng)?shù)倪吪c坐標軸平行時，______.
16．如圖，點 A 是反比例函數(shù) y＝﹣（x＜0）圖象上的點，分別過點 A 向橫軸、縱軸作垂線段，與坐標軸恰好圍成一個正方形，再以正方形的一組對邊為直徑作兩個半圓，其余部分涂上陰影，則陰影部分的面積為______．

三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過A（﹣1，0），B（1，1）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）閱讀理解：
在同一平面直角坐標系中，直線l1：y＝k1x+b1（k1，b1為常數(shù)，且k1≠0），直線l2：y＝k2x+b2（k2，b2為常數(shù)，且k2≠0），若l1⊥l2，則k1?k2＝﹣1．
解決問題：
①若直線y＝2x﹣1與直線y＝mx+2互相垂直，則m的值是____；
②拋物線上是否存在點P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）M是拋物線上一動點，且在直線AB的上方（不與A，B重合），求點M到直線AB的距離的最大值．

18．（8分）（定義）如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點，過點A作直線1的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關(guān)于直線l的“等角點”．
（運用）如圖2，在平面直坐標系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）兩點．
（1）C（4，），D（4，），E（4，）三點中，點　 　是點A，B關(guān)于直線x=4的等角點；
（2）若直線l垂直于x軸，點P（m，n）是點A，B關(guān)于直線l的等角點，其中m＞2，∠APB=α，求證：tan=；
（3）若點P是點A，B關(guān)于直線y=ax+b（a≠0）的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時，求b的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．

19．（8分）正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH．

（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）如圖2，當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．
20．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x是不等式組的整數(shù)解
21．（8分）如圖，MN是一條東西方向的海岸線，在海岸線上的A處測得一海島在南偏西32°的方向上，向東走過780米后到達B處，測得海島在南偏西37°的方向，求小島到海岸線的距離．（參考數(shù)據(jù)：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.1．）

22．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求證：DE=DF．

23．（12分）某班為了解學(xué)生一學(xué)期做義工的時間情況，對全班50名學(xué)生進行調(diào)查，按做義工的時間（單位：小時），將學(xué)生分成五類： 類（ ），類（），類（），類（），類（），繪制成尚不完整的條形統(tǒng)計圖如圖11.

根據(jù)以上信息，解答下列問題： 類學(xué)生有 人，補全條形統(tǒng)計圖；類學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的 %；從該班做義工時間在的學(xué)生中任選2人，求這2人做義工時間都在 中的概率．
24．已知關(guān)于x的方程.
（1）當(dāng)該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；
（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.



參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1、B
【解析】
分析：由于點P在運動中保持∠APD=90°，所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點為Q，連接QC交弧于點P，此時CP的長度最小，再由勾股定理可得QC的長，再求CP即可．
詳解： 由于點P在運動中保持∠APD=90°， ∴點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，
設(shè)AD的中點為Q，連接QC交弧于點P，此時CP的長度最小，
在Rt△QDC中，QC=， ∴CP=QC－QP=，故選B．
點睛：本題主要考查的是圓的相關(guān)知識和勾股定理，屬于中等難度的題型．解決這個問題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的知識得出點P的運動軌跡．
2、D
【解析】
首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的等積轉(zhuǎn)換可得鄰邊相等，則四邊形為菱形．所以根據(jù)菱形的性質(zhì)進行判斷．
【詳解】
解:

四邊形是用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起而組成的圖形，
，，
四邊形是平行四邊形（對邊相互平行的四邊形是平行四邊形）；
過點分別作，邊上的高為，．則
（兩紙條相同，紙條寬度相同）；
平行四邊形中，，即，
，即．故正確；
平行四邊形為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
，（菱形的對角相等），故正確；
，（平行四邊形的對邊相等），故正確；
如果四邊形是矩形時，該等式成立．故不一定正確．
故選：．
【點睛】
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)．注意：“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，而非“鄰邊相等的四邊形是菱形”．
3、C
【解析】
由∠A是公共角，利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可得A與B正確；又由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．
【詳解】
∵∠A是公共角，
∴當(dāng)∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應(yīng)相等的三角形相似），故A與B正確，不符合題意要求；
當(dāng)AB：AD=AC：AB時，△ADB∽△ABC（兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似），故D正確，不符合題意要求；
AB：BD=CB：AC時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯誤，符合題意要求，
故選C．
4、B
【解析】
∵拋物線C：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴拋物線對稱軸為x=﹣1．
∴拋物線與y軸的交點為A（0，﹣3）．
則與A點以對稱軸對稱的點是B（2，﹣3）．
若將拋物線C平移到C′，并且C，C′關(guān)于直線x=1對稱，就是要將B點平移后以對稱軸x=1與A點對稱．
則B點平移后坐標應(yīng)為（4，﹣3），
因此將拋物線C向右平移4個單位．
故選B．
5、C
【解析】
試題分析：眾數(shù)是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，在這組數(shù)據(jù)中42出現(xiàn)次數(shù)最多，故選C.
考點：眾數(shù).
6、D
【解析】
設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)及圖象可得出點B的坐標，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及點B的坐標即可得出結(jié)論．?
解：設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，?
則點B的坐標為（a+b，a﹣b）．
∵點B在反比例函數(shù)的第一象限圖象上，?
∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=1．?
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×1=2．?
故選D．
點睛：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式，解題的關(guān)鍵是找出a2﹣b2的值．解決該題型題目時，要設(shè)出等腰直角三角形的直角邊并表示出面積，再用其表示出反比例函數(shù)上點的坐標是關(guān)鍵．
7、C
【解析】

延長線段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN與△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又∵M是△ABC的邊BC的中點，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故選C.
8、C
【解析】
根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知∠A=60°，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出∠B的值即可.
【詳解】
解：∵，
∴∠A=60°.
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-60°=30°.
點睛：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和直角三角形中兩銳角互余的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的突破點.
9、D
【解析】
主視圖是從前向后看，即可得圖像.
【詳解】
主視圖是一個矩形和一個三角形構(gòu)成.故選D.
10、C
【解析】
試題分析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′為等腰直角三角形，則∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故選C．
考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11、30°
【解析】
試題解析：∵關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴
解得：
∴銳角α的度數(shù)為30°；
故答案為30°．
12、．
【解析】
先求出黑色方磚在整個地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵由圖可知，黑色方磚4塊，共有16塊方磚，
∴黑色方磚在整個區(qū)域中所占的比值
∴它停在黑色區(qū)域的概率是；
故答案為．
【點睛】
本題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．
13、①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；②等量代換 同弧所對的圓周角相等
【解析】
（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理以及等量代換即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）如圖2中，

∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，
∴OA=OB，OB=OC（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等），
∴OA=OB=OC（等量代換）
故答案是：
（2）∵，
∴∠APB=∠ACB（同弧所對的圓周角相等）．
故答案是：（1）線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等和等量代換；（2）同弧所對的圓周角相等．
【點睛】
考查作圖-復(fù)雜作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外心等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性質(zhì)．
14、1
【解析】
分析：根據(jù)題意得出點B的坐標，根據(jù)面積平分得出點D的坐標，利用三角形相似可得點A的坐標，從而求出k的值．
詳解：根據(jù)一次函數(shù)可得：點B的坐標為(1，0)， ∵BD平分△ABC的面積，BC=3
∴點D的橫坐標1.5， ∴點D的坐標為， ∵DE：AB=1：1，
∴點A的坐標為(1，1)， ∴k=1×1=1．

點睛：本題主要考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)以及三角形相似的應(yīng)用，屬于中等難度的題型．得出點D的坐標是解決這個問題的關(guān)鍵．
15、4
【解析】
（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD=BD，從而可求出OD=4，然后根據(jù)當(dāng)O，D，C共線時，OC取最大值求解即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CD，分AC∥y軸、BC∥x軸兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理列式計算即可．
【詳解】
（1），
，
當(dāng)O，D，C共線時，OC取最大值，此時OD⊥AB.
∵，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴ ；
（2）∵BC=AC，CD為AB邊的高，
∴∠ADC=90°，BD=DA=AB=4，
∴CD==3，
當(dāng)AC∥y軸時，∠ABO=∠CAB，
∴Rt△ABO∽Rt△CAD，
∴，即，
解得，t=，
當(dāng)BC∥x軸時，∠BAO=∠CBD，
∴Rt△ABO∽Rt△BCD，
∴，即，
解得，t= ，
則當(dāng)t=或時，△ABC的邊與坐標軸平行．
故答案為t=或．
【點睛】
本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
16、4﹣π
【解析】
由題意可以假設(shè)A（-m，m），則-m2=-4，求出點A坐標即可解決問題.
【詳解】
由題意可以假設(shè)A（-m，m），
則-m2=-4，
∴m=≠±2，
∴m=2，
∴S陰=S正方形-S圓=4-π，
故答案為4-π．
【點睛】
本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征、正方形的性質(zhì)、圓的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題

三、解答題（共8題，共72分）
17、（1）y＝﹣x2+x+1；（2）①-；②點P的坐標（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）.
【解析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)垂線間的關(guān)系，可得PA，PB的解析式，根據(jù)解方程組，可得P點坐標；
（3）根據(jù)垂直于x的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得MQ，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得面積的最大值，根據(jù)三角形的底一定時面積與高成正比，可得三角形高的最大值
【詳解】
解：（1）將A，B點坐標代入，得
，
解得，
拋物線的解析式為y＝；
（2）①由直線y＝2x﹣1與直線y＝mx+2互相垂直，得
2m＝﹣1，
即m＝﹣；
故答案為﹣；
②AB的解析式為
當(dāng)PA⊥AB時，PA的解析式為y＝﹣2x﹣2，
聯(lián)立PA與拋物線，得，
解得（舍），，
即P（6，﹣14）；
當(dāng)PB⊥AB時，PB的解析式為y＝﹣2x+3，
聯(lián)立PB與拋物線，得，
解得（舍），
即P（4，﹣5），
綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點P的坐標（6，﹣14）（4，﹣5）；
（3）如圖：
，
∵M（t，﹣t2+t+1），Q（t， t+），
∴MQ＝﹣t2+
S△MAB＝MQ|xB﹣xA|
＝（﹣t2+）×2
＝﹣t2+，
當(dāng)t＝0時，S取最大值，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB＝＝，
設(shè)M到AB的距離為h，由三角形的面積，得
h＝＝．
點M到直線AB的距離的最大值是．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到拋物線的解析式求法，兩直線垂直，解一元二次方程組，及點到直線的最大距離，需要注意的是必要的輔助線法是解題的關(guān)鍵
18、（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞
【解析】
（1）先求出B關(guān)于直線x=4的對稱點B′的坐標，根據(jù)A、B′的坐標可得直線AB′的解析式，把x=4代入求出P點的縱坐標即可得答案；（2）如圖：過點A作直線l的對稱點A′，連A′B′，交直線l于點P，作BH⊥l于點H，根據(jù)對稱性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可證明△AGP∽△BHP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得m=
根據(jù)外角性質(zhì)可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根據(jù)正切定義即可得結(jié)論；（3）當(dāng)點P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時，點P在以AB為弦，所對圓周為60°，且圓心在AB下方，若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個交點為Q
根據(jù)對稱性質(zhì)可證明△ABQ是等邊三角形，即點Q為定點，若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合，所以直線y=ax+b（a≠0）過定點Q，連OQ，過點A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N，可證明△AMO∽△ONQ，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長，即可得Q點坐標，根據(jù)A、B、Q的坐標可求出直線AQ、BQ的解析式，根據(jù)P與A、B重合時b的值求出b的取值范圍即可.
【詳解】
（1）點B關(guān)于直線x=4的對稱點為B′（10，﹣），
∴直線AB′解析式為：y=﹣，
當(dāng)x=4時，y=，
故答案為：C
（2）如圖，過點A作直線l的對稱點A′，連A′B′，交直線l于點P
作BH⊥l于點H
∵點A和A′關(guān)于直線l對稱
∴∠APG=∠A′PG
∵∠BPH=∠A′PG
∴∠APG=∠BPH
∵∠AGP=∠BHP=90°
∴△AGP∽△BHP
∴，即，
∴mn=2，即m=，
∵∠APB=α，AP=AP′，
∴∠A=∠A′=，
在Rt△AGP中，tan

（3）如圖，當(dāng)點P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時，
點P在以AB為弦，所對圓周為60°，且圓心在AB下方
若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個交點為Q
由對稱性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°
∴∠APQ=∠A′PQ=60°
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°
∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ
∴△ABQ是等邊三角形
∵線段AB為定線段
∴點Q為定點
若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合
∴直線y=ax+b（a≠0）過定點Q
連OQ，過點A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N
∵A（2，），B（﹣2，﹣）
∴OA=OB=
∵△ABQ是等邊三角形
∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，
∴∠AOM+∠NOD=90°
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO
∵∠AMO=∠ONQ=90°
∴△AMO∽△ONQ
∴,
∴，
∴ON=2，NQ=3，∴Q點坐標為（3，﹣2）
設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b
將B、Q坐標代入得
，
解得
，
∴直線BQ的解析式為：y=﹣，
設(shè)直線AQ的解析式為：y=mx+n，
將A、Q兩點代入，
解得 ，
∴直線AQ的解析式為：y=﹣3，
若點P與B點重合，則直線PQ與直線BQ重合，此時，b=﹣，
若點P與點A重合，則直線PQ與直線AQ重合，此時，b=，
又∵y=ax+b（a≠0），且點P位于AB右下方，
∴b＜﹣ 且b≠﹣2或b＞.
【點睛】
本題考查對稱性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及銳角三角函數(shù)正切的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
19、（1）CH=AB．；（2）成立，證明見解析；（3）
【解析】
（1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．
（2）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．
（3）首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得CK＜AC+AK，據(jù)此判斷出當(dāng)C、A、K三點共線時，CK的長最大；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK=DH，再根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK=CH=AB；最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB，求出線段CK長的最大值是多少即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，連接BE，
，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵點E是DC的中點，DE=EC，
∴點F是AD的中點，
∴AF=FD，
∴EC=AF，
在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（2）當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．
如圖2，連接BE，
，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（3）如圖3，
，
∵CK≤AC+AK，
∴當(dāng)C、A、K三點共線時，CK的長最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，
∴∠DFK=∠DEH，
在△DFK和△DEH中，

∴△DFK≌△DEH，
∴DK=DH，
在△DAK和△DCH中，

∴△DAK≌△DCH，
∴AK=CH
又∵CH=AB，
∴AK=CH=AB，
∵AB=3，
∴AK=3，AC=3，
∴CK=AC+AK=AC+AB=，
即線段CK長的最大值是．
考點：四邊形綜合題．
20、x=3時，原式=
【解析】
原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算,再利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為乘法運算,約分得到最簡結(jié)果,求出不等式組的解集,找出解集中的整數(shù)計算得出到x的值,代入計算即可求出值.
【詳解】
解：原式=÷
=×
=，
解不等式組得，2＜x＜，
∵x取整數(shù)，
∴x=3，
當(dāng)x=3時，原式=．
【點睛】
本題主要考查分式額化簡求值及一元一次不等式組的整數(shù)解．
21、10
【解析】
試題分析：如圖：過點C作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得AD=0.625CD，同樣在Rt△BCD中，可得BD= 0.755CD，再根據(jù)AB=BD-CD=780，代入進行求解即可得.
試題解析：如圖：過點C作CD⊥AB于點D，
由已知可得：∠ACD=32°，∠BCD =37°，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∴AD=CD·tan∠ACD=CD·tan32°=0.625CD，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∴BD=CD·tan∠BCD=CD·tan37°=0.755CD，
∵AB=BD-CD=780，∴0.755CD-0.625CD=780，∴CD=10，
答：小島到海岸線的距離是10米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形、根據(jù)圖形靈活選用三角函數(shù)進行求解是關(guān)鍵.
22、答案見解析
【解析】
由于AB=AC，那么∠B=∠C，而DE⊥AC，DF⊥AB可知∠BFD=∠CED=90°，又D是BC中點，可知BD=CD，利用AAS可證△BFD≌△CED，從而有DE=DF．
23、（1）5；（2）36%；（3）.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)：數(shù)據(jù)總數(shù)-已知的小組頻數(shù)=所求的小組頻數(shù)，進行求解，然后根據(jù)所求數(shù)據(jù)補全條形圖即可；
（2）根據(jù)：小組頻數(shù)= ，進行求解即可；
（3）利用列舉法求概率即可.
試題解析：
（1）E類：50-2-3-22-18＝5（人），故答案為：5；
補圖如下：

（2）D類：1850×100%＝36%，故答案為：36%；
（3）設(shè)這5人為
有以下10種情況：
其中，兩人都在 的概率是： .
24、（1），；（2）證明見解析.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列方程組求解即可.
（2）要證方程都有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明根的判別式大于0即可.
試題解析：（1）設(shè)方程的另一根為x1，
∵該方程的一個根為1，∴.解得.
∴a的值為，該方程的另一根為.
（2）∵，
∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
考點：1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2. 一元二次方程根根的判別式；3.配方法的應(yīng)用.

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