姓名________________  準(zhǔn)考證號________________（在此卷上答題無效）絕密★啟用前湖南省五市十校教研教改共同體·2021年上學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．    B．    C．    D．2．已知向量，，若，則實數(shù)的值是A．     B．     C．1     D．23．若，為兩條不同的直線，為平面，且，則“”是“”的A．充分不必要條件       B．必要不充分條件C．充要條件         D．既不充分也不必要條件4．某小區(qū)居民上網(wǎng)年齡分布圖如圖所示，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從該小區(qū)抽取一個容量為的樣本。若樣本中90后比00后多52人，則A．400     B．450     C．500     D．5505．函數(shù)，的部分圖像大致是      A      B      C      D6．已知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則的最小正周期為A．     B．     C．     D．7．設(shè)，，，則A．   B．    C．    D．8．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，則的最大值為A．2     B．    C．4     D．8二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是A．的虛部為        B．C．          D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限10．某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），從中隨機(jī)抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在內(nèi)?，F(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示。觀察圖形，則下列說法正確的是A．頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10人B．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為75分C．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分D．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分11．已知三棱錐的頂點均在表面積為的球的球面上，、、兩兩垂直，，，則下列結(jié)論中正確的是A．球的半徑為        B．C．到平面的距離為     D．到平面的距離為12．已知的重心為，過點的直線與邊，的交點分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為A．     B．    C．    D．3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，滿足，，，則與的夾角為________________。14．從長度（單位：）分別為2，3，4，5的4條線段中任取3條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為________。15．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，，則________________。16．《九章算術(shù)》中，芻甍（chú  méng）是一種五面體，其底面為矩形，頂部為一條平行于底面矩形的一邊且小于此邊的線段。在如圖所示的芻甍中，平面平面，，且四邊形為等腰梯形，，，，則芻甍的體積為________________，二面角的余弦值為________________。四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在中，，設(shè)（、為實數(shù)）。（1）求，的值；（2）若，，求。18．（12分）函數(shù)的部分圖像如圖所示。（1）寫出圖中、的值；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再將所得圖像上所有點的縱坐標(biāo)縮短為原來的倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求方程在區(qū)間上的解。19．（12分）為了參加數(shù)學(xué)選拔賽，某高級中學(xué)對高二年級理科、文科兩個數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了賽前模擬測試，成績（單位：分）記錄如下：理科：79，80，81，79，94，92，85，90文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）計算理科、文科兩組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差，并從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，哪組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮更好；（2）若在成績不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽出2人進(jìn)行培訓(xùn)，求抽出的2人中至少有1名理科組同學(xué)的概率。20．(12分)如圖,四棱錐中，為等邊三角形，平面，，，為的中點。（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）若，，求直線與平面所成角的正弦值。21．(12分)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，。（1）證明：；（2）若，求的周長。22．(12分)如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，、分別在，上，，。（1）證明：；（2）證明：平面；（3）求平面截三棱柱所成大小兩部分的體積比。  高一數(shù)學(xué)參考答案選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案CCBADDABACABABDBD 1．C解析：，，。2．C解析：由已知可得，。3．B解析：由，或，由 ，，“”是“”的必要不充分條件。4．A解析：根據(jù)題意可知，解得。5．D解析：易知，為奇函數(shù)：當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故選D。6．D解析：由題意結(jié)合余弦函數(shù)圖像可得，，最小正周期。7．A解析：，，，，，，，，即，。8．B解析：由已知及正弦定理得，，兩邊除以得，當(dāng)，都為銳角時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，。若，其中一個為鈍角時，，的最大值為。9．AC解析：，∴AC正確。10．ABC解析：分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，所以第三組的頻數(shù)為（人），故A正確；因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點，從圖中可看出眾數(shù)的估計值為75分，故B正確；因為，，所以中位數(shù)位于，估計值為75，故C正確；樣本平均數(shù)的估計值為（分），故D錯誤。11．ABD解析：將三棱錐構(gòu)造在長體中，，，，由等體積法可得到平面的距離，設(shè)與平面交于點，則由幾何關(guān)系可得，∴點到平面的距離。12．BD解析：如圖，，，即，設(shè)，則，三點共線，，，，與的面積之比為，， 即，化簡得，解得或3。三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．   14．   15．  16．    （第一空2分，第二空3分）13．解析：，∴夾角為。14．解析：4條線段中任取3條的可能情況有234，235，245，345，共4種，其中能構(gòu)成鈍角三角形的情況有234，245，共2種，故概率為。15．解析：，，，，，，，。16．    解析：連接，則芻甍被分割為四棱錐和三棱錐，平面平面，平面，過點作，則平面，，，∴芻甍的體積為。過點作，連接，則，為二面角的補角，在中，由等面積法易得，，，∴二面角的余弦值為。四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．解析：，∴過點作平行四邊形可得，，。（4分）（2）由（1）得，，。（10分）18．解析：（1），。（4分）（2）由（1）及題意可得，由可得，或，，解得或，，，∴方程的解為。（12分）19．解析：（1）從平均數(shù)和方差的角度看，理科組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮比較好。理由如下：理科組同學(xué)成績的平均數(shù)，方差；文科組同學(xué)成績的平均數(shù)。方差；由于，，所以理科組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮更好。（7分）（2）設(shè)理科組同學(xué)中成績不低于90分的3人分別，，，文科組同學(xué)中成績不低于90分的3人分別為，，，則從他們中隨機(jī)抽出2人有以下15種可能：，，，，，，，，，，，，，，。其中全是文科組同學(xué)的情況有，，三種。記“抽出的2人中至少有一名理科組同學(xué)同學(xué)”為事件則。（12分）20．解析：（1）取中點，連接，，則，∴四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面（4分）（2）平面，是正三角形，，，，平面，，平面，平面，∴平面平面。（8分）（3）過點作，則平面，即為直線與平面所成角，，。（12分）21．解析：（1），，為銳角，，，由正弦定理可得。（6分）（2）由（1）知，，設(shè)，，，則，解得，的周長為。（12分）22．解析：（1）（Ⅰ）設(shè)正方形邊長為3，過向作垂線交于，連接，則，，，，由余弦定理知，，，，，。（4分）（2）連接交于，延長交于，連接，則，，，平面。（8分）（3）由（2）得平面即為截面。（8分），，設(shè)正方形邊長為1，則，，∴體積比為。（12分）

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