?2021-2022學(xué)年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（?????）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，
則.
故選：A
2．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則m的值為（?????）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線和橢圓焦點(diǎn)與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.
【詳解】由題可知拋物線焦點(diǎn)為，橢圓左焦點(diǎn)為，
∴.
故選：B.
3．若直線與直線垂直，則a=（?????）
A．-2 B．0 C．0或-2 D．1
【答案】C
【分析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.
故選：C
4．如圖，在平行六面體中， AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)代入計(jì)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
故選：B.
5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是（?????）
A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切
【答案】A
【分析】首先求得點(diǎn)的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】由條件可知，，
化簡(jiǎn)為：，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，
所以兩圓相交.
故選：A
6．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對(duì)應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.
【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∴，，，，
∴，，
∴，
所以AN與BM所成角的余弦值為.
故選：D
7．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論．
【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以．
故選：A．

8．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開(kāi)始工作，他決定給自己開(kāi)一張儲(chǔ)蓄銀行卡，每月的10號(hào)存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個(gè)月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬(wàn)元的時(shí)間為（???????）
A．2022年12月11日 B．2022年11月11日 C．2022年10月11日 D．2022年9月11日
【答案】C
【分析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，
分析首次達(dá)到1萬(wàn)元的值，即得解
【詳解】依題意可知，小林從第一個(gè)月開(kāi)始，每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
其前n項(xiàng)和為.
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，
且，
所以第14個(gè)月的10號(hào)存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬(wàn)元，
即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬(wàn)元.
故選：C
二、多選題
9．下列說(shuō)法中，正確的有（?????）
A．直線在y軸上的截距為-2 B．直線的傾斜角為120°
C．直線(m∈R)必過(guò)定點(diǎn)(0，-3) D．點(diǎn)(5，-3)到直線y+2=0的距離為7
【答案】AC
【分析】根據(jù)一般式直線方程，結(jié)合公式，分別判斷直線的縱截距，斜率，定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】A.直線中，當(dāng)時(shí)，，故A正確；
B. 直線的斜率，所以傾斜角為，故B錯(cuò)誤；
C.直線，當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故C正確；
D.點(diǎn)到直線的距離，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．已知方程，則（?????）
A．時(shí)，方程表示橢圓
B．時(shí)，所表示的曲線離心率為
C．時(shí)，所表示曲線的漸近線方程為
D．時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
【答案】BD
【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 對(duì)于A：若方程表示橢圓，所以，
解得或故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若m＝0，則，所以a2＝16，b2＝9，所以，
所以，故B正確；
對(duì)于C：若，則曲線方程為，則漸近線方程為,
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，解得m＞16，
故時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，，故D正確；
故選：BD
11．（多選）將個(gè)數(shù)排成n行n列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：

該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列（其中）．已知，，記這個(gè)數(shù)的和為S，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算判斷AB,分別按行、列由等差等比數(shù)列計(jì)算可判斷C,采用分組求和的方法計(jì)算可判斷D.
【詳解】由，，得，
所以或（舍去），故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；



故D正確．
故選：ACD．
12．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（?????）


A．直線AC1⊥平面BCD1A1
B．點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離是
C．無(wú)論點(diǎn)E在線段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E
D．若異面直線B1E與AD所成的角為θ，則sinθ的最小值為
【答案】BCD
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷ACD，結(jié)合等體積公式，求點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離，判斷選項(xiàng)B.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，
A.，，
因?yàn)?，所以與不垂直，那么與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；
B.點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，?
得，解得：，故B正確；
C.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以
，，，
所以，故C正確；
D.，，
，
因?yàn)椋郧蟮淖钚≈?，即求的最大值?br /> 當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是，此時(shí)，故D正確.

故選：BCD
三、填空題
13．直線l過(guò)點(diǎn)P(1，3)，且它的一個(gè)方向向量為(2，1)，則直線l的一般式方程為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】根據(jù)直線方向向量求出直線斜率即可得直線方程.
【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為(2，1)，所以其斜率，
所以l方程為：，即其一般式方程為：.
故答案為：.
14．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿足，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，，
因?yàn)?，則，
即，解得.
故答案為：.
15．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2020>0，S20210，S20210)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1且傾斜角為的直線l與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)A，B.且|AF2|=|BF2|，則該雙曲線的離心率為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的關(guān)系，再由離心率公式可得所求值．
【詳解】過(guò)F2作F2N⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)|AF2|＝|BF2|＝m，

因?yàn)橹本€l的傾斜角為 ，
所以在直角三角形F1F2N中，，
由雙曲線的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，
同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，
即|AN|＝2a，
所以|AF1|＝c﹣2a，因此，
在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，
所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，
則 ，
故答案為：
四、解答題
17．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知，S2=-3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)所給條件列出方程組，求得，即可求得答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，寫(xiě)出，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得答案.
【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由，得????????
解得??????????????????????????????????????????
所以(n∈N)；
(2)由（1）可知，???????????????
故，?????????????????????????????????
所以?????

18．已知圓C的方程為.
(1)直線l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；
(2)求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.
【答案】(1)
(2)x=3或
【分析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；
（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；
【詳解】(1)解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，?????????????????
則圓心到直線的距離為??????????????????????
故；
(2)解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線方程是，
此時(shí)與圓C：相切，滿足題意；????????
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
即，???????????????
直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為????????
解得????????????????????????????????????????????????????????????
此時(shí)，直線的方程為，??????????????????
所以滿足條件的直線的方程是或.
19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD.

(1)求證：PB∥平面EAC；
(2)求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.
【詳解】(1)連結(jié)EO，???????????????????????????????????????????
由題意可得O為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，
∴PB∥EO，???????????????????????????????????????????????????????
又∵EO平面EAC，PB平面EAC，????????????
∴PB∥平面EAC；
(2)如圖，以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，???????
∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，???????????????
設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，
則，即，即，
令y=1得x=-1，z=-1，
∴平面EAC的一個(gè)法向量為=(-1，1，-1)，?????????????
∴????????????
設(shè)直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=
∴直線BD與平面???????EAC所成的角的正弦值.?????????????????

20．已知數(shù)列{}的首項(xiàng)＝2，(n≥2，)，，.
(1)證明：{+1}為等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求證：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)利用已知條件證明為常數(shù)即可；
(2)求出和通項(xiàng)公式，再求出通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求，判斷的單調(diào)性即可求其范圍.
【詳解】(1)∵＝2，(n≥2，)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，(常數(shù))，
∴數(shù)列{＋1}是公比為3的等比數(shù)列；
(2)由(1)知，數(shù)列{＋1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴，∴，
∴


∵，∴
∴，
∴
∴.
當(dāng)n≥2時(shí)，
∴{}為遞增數(shù)列，故的最小值為，
∴.
21．如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.

圖1????????????????????????????????????????????????????????????圖2
(1)求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；
(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求 的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；
（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.
【詳解】(1)∵，E為BD的中點(diǎn)
∴CE⊥BD，
又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，
∴⊥平面ABD，?????????????????
如圖以E為原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，???????
則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，
∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，????????????
設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，
則，
取z=1，得平面的一個(gè)法向量=(，1，1)，????????????
設(shè)平面FBA的法向量為=(a，b，c)，
則
取b=1，得平面FBA的一個(gè)法向量為=(-，1，0)，?????????????
∴??????????????????
設(shè)平面ABD與平面的夾角為θ，則
∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.
(2)假設(shè)在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，??????????
設(shè)(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，
∴，，z=0，??????????????????
∴，?????
是平面 的一個(gè)法向量??????????????????
由∥，得，此方程無(wú)解.???????????????
∴線段AD上不存點(diǎn)M，使得平面.????????????????????????????

22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓A：的圓心為A，過(guò)點(diǎn)B(，0)任作直線l交圓A于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)B作與AD平行的直線交AC于點(diǎn)E.
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡與y軸正半軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且斜率為k1，k2的兩直線交動(dòng)點(diǎn)E的軌跡于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，若，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據(jù)橢圓定義即可判斷點(diǎn)E的軌跡，從而寫(xiě)出其軌跡方程；
(2)設(shè)，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)解出k與m的關(guān)系即可以判斷MN過(guò)定點(diǎn)；最后再考慮MN斜率不存在時(shí)是否也過(guò)該定點(diǎn)即可.
【詳解】(1)
由圓A：可得(，
∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，
，
，可得，
，
，
由橢圓的定義可得：點(diǎn)E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點(diǎn)，2a＝8的橢圓，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為；
(2)由(1)知，P(0，3)，設(shè)，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線MN的方程為：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
當(dāng)m＝3時(shí)，直線MN的方程為：，
此時(shí)過(guò)點(diǎn)P(0，3)不符合題意，
∴k＝m＋3，∴直線MN的方程為：
此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)(－1，－3)，
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，
，解得，
此時(shí)直線MN的方程為：，過(guò)點(diǎn)(－1，－3)，
綜上所述：直線MN過(guò)定點(diǎn)(－1，－3).


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