一、選擇題（本題共10個小題，每小題只有一個選項符合題意，每題3分，共30分）
1. 在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面四個數(shù)中，無理數(shù)是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的立方根是B. 沒有立方根
C. 立方根等于本身的數(shù)是D.
4. 下列命題中，假命題是（ ）
A 對頂角相等
B. 同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C. 兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補
D. 如果，，那么
5. 若不等式組的解集為－1＜x≤2，則以下數(shù)軸表示中正確的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，則∠AOF的度數(shù)為（ ）
A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°
8. 如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則的度數(shù)是（ ）．
A. 30°B. 45°C. 15°D. 60°
9. 如圖是北京地鐵部分線路圖．若崇文門站的坐標(biāo)為，北海北站的坐標(biāo)為，則復(fù)興門站的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，如果將圖中任意一條線段沿方格線的水平或豎直方向平移1格稱為“1步”，那么通過平移要使圖中的3條線段首尾相接組成一個三角形，最少需要（ ）
A. 4步B. 5步C. 6步D. 7步
二、填空題（本題共8個小題，每題2分，共16分）
11. 寫出一個比3大且比4小無理數(shù)：_____．
12. 如圖，計劃把河水引到水池A中，先作，垂足為B，然后沿開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計的依據(jù)是______．
13. 的平方根是____.
14. 將命題“兩直線平行，同位角相等”寫成“如果…，那么…”的形式是________
15. x的與5的和不小于3，用不等式表示為______．
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，若點到軸的距離是3，則的值是 __．
17. 《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代著名數(shù)學(xué)家程大位．在其中有這樣的記載“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾?。俊?譯文：有100名和尚分100個饅頭，正好分完．如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，試問大、小和尚各有幾人？設(shè)有大和尚x人，小和尚y人，可列方程組為______．
18. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對于平面內(nèi)任意一點(x， y)，規(guī)定以下兩種變化：
① f (x， y) ? (?x， y) ．如 f (1， 2) ? (?1， 2) ；
② g ? x， y? ? ?x， 2 ? y?．
根據(jù)以上規(guī)定：
（1） g ?1， 2? ?（ ）；
（2） f ?g ?2， ?1?? ?（ ）
三、解答題（本題共10個小題，共54分）
19 計算：．
20. 解不等式：．
21. 解方程組：．
22. 解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
23. 完成下面的證明．已知：如圖，求證：
（_____）
即
_____//_____（_____）
（_____）
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形三個頂點的坐標(biāo)分別是將三角形平移，使點與點重合，得到三角形，其中點的對應(yīng)點分別為．
（1）畫出三角形；
（2）寫出點的坐標(biāo)；
（3）三角形的面積為 ．
25. 關(guān)于方程的解是負(fù)數(shù)，求字母的取值范圍.
26. 如圖，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，DE⊥BC于點E，DF∥AB交BC于點F．
（1）依題意補全圖形；
（2）設(shè)∠C＝α，
①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF與∠DFC數(shù)量關(guān)系，并證明．
27. “冰墩墩”和“雪容融”分別是北京2022年冬奧會和冬殘奧會的吉祥物．某冬奧官方特許商品零售店購進了一批同一型號的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，連續(xù)兩個月的銷售情況如下表：
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售價格．
28. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點A，B，我們把A，B兩點橫坐標(biāo)差的絕對值與它們縱坐標(biāo)差的絕對值的和叫做A，B兩點間的折線距離，記作．即：如果，，那么．
（1）已知，，求出的值；
（2）已知，，且，求a的取值范圍；
（3）已知，，動點，若P，M兩點間的折線距離與P，N兩點間的折線距離的差的絕對值是3，直接寫出y的值并畫出所有符合條件的點P組成的圖形．
參考答案
一、選擇題（本題共10個小題，每小題只有一個選項符合題意，每題3分，共30分）
1. 在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【1題答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)在第三象限的點的特征進行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：∵第三象限的點特征是橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)小于零，
∴點在第三象限，
故選：D．
【點睛】本題考查了點的坐標(biāo)，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下面四個數(shù)中，無理數(shù)是（ ）．
A. B. C. D.
【2題答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)無理數(shù)定義，即可求解．
【詳解】解：A、是無理數(shù)，故本選項符合題意；
B、是有理數(shù)，故本選項不符合題意；
C、是有理數(shù)，故本選項不符合題意；
D、是有理數(shù)，故本選項不符合題意；
故選：A
【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的立方根是B. 沒有立方根
C. 立方根等于本身的數(shù)是D.
【3題答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)立方根的定義解答即可．
【詳解】解：A、64的立方根是4，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
B、有立方根，是，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
C、立方根等于它本身的數(shù)是0、1、-1，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
D、，，故選項D符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查了立方根．解題的關(guān)鍵是掌握立方根的定義的運用，注意：一個正數(shù)有一個正的立方根、0的立方根是0，一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根．
4. 下列命題中，假命題是（ ）
A. 對頂角相等
B. 同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C. 兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補
D. 如果，，那么
【4題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】依題意，對于A選項，結(jié)合對頂角的定理即可；對于B選項，結(jié)合相關(guān)定理；對于C選項，平行線定理即可；對D選項，不等式的傳遞即可；
【詳解】A、對頂角相等，本選項為定理，所以為真命題，不符合題意；
B、同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，本選項為定理，所以是真命題，不符合題意；
C、依據(jù)平行線定理，只有平行的兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，故本選項說法不正確，是假命題，符合題意；
D、如果，，那么，本選項為定理，所以是真命題，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查對頂角、平行線定理、不等式定理等，關(guān)鍵在熟練理解和掌握相關(guān)命題及定理；
5. 若不等式組的解集為－1＜x≤2，則以下數(shù)軸表示中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【5題答案】
【答案】B
【解析】
【分析】把已知解集表示出數(shù)軸上即可．
【詳解】解：若不等式組的解集為－1＜x≤2，則以下數(shù)軸表示中正確的是：
；
故選B．
【點睛】本題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
6. 若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【6題答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：、不等式的兩邊都加上2，不等號的方向不變，原變形正確，故此選項符合題意；
、不等式的兩邊都減去3，不等號的方向不變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
、不等式的兩邊都乘，不等號的方向改變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
、不等式的兩邊都除以5，不等號的方向不變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
故選：．
【點睛】此題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．
7. 如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，則∠AOF的度數(shù)為（ ）
A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°
【7題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠BOC=2∠BOE=144°，由鄰補角定義求出∠AOC=180°-∠BOC=36°，再根據(jù)垂直定義即可求出∠AOF的度數(shù)．
【詳解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，
∵∠BOC與∠AOC是鄰補角，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°．
故選：C．
【點睛】本題考查了垂線、鄰補角、角平分線定義；弄清各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則的度數(shù)是（ ）．
A. 30°B. 45°C. 15°D. 60°
【8題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BCD的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，作：
∵ABCD，
，
∴∠DCE＝∠CEF＝30°，
∴∠1＝∠AEC?∠CEF＝45°?30°＝15°，
故選：C．
【點睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)與常規(guī)三角板套裝中三角板的特點是解答此題的關(guān)鍵．
9. 如圖是北京地鐵部分線路圖．若崇文門站的坐標(biāo)為，北海北站的坐標(biāo)為，則復(fù)興門站的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【9題答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知點坐標(biāo)確定直角坐標(biāo)系，即可得到答案．
【詳解】由題意可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則復(fù)興門站的坐標(biāo)為．
故選：．
【點睛】此題考查了平面直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)特點，由點坐標(biāo)確定直角坐標(biāo)系，由坐標(biāo)系得到點坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題型．
10. 如圖，如果將圖中任意一條線段沿方格線的水平或豎直方向平移1格稱為“1步”，那么通過平移要使圖中的3條線段首尾相接組成一個三角形，最少需要（ ）
A. 4步B. 5步C. 6步D. 7步
【10題答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖示和平移的性質(zhì)，注意正確的計數(shù)，查清方格的個數(shù)，從而求出步數(shù)．
【詳解】解：由圖形知，中間的線段向左平移1個單位，上邊的直線向右平移2個單位，最下邊的直線向上平移2個單位，只有這樣才能使構(gòu)造的三角形平移的次數(shù)最少，其它平移方法都多于5步．
∴通過平移使圖中的3條線段首尾相接組成一個三角形，最少需要5步．
故選：B．
【點睛】本題考查了圖形的平移變換，注意平移不改變圖形的形狀和大小且平移前后圖形對應(yīng)點之間的連線應(yīng)該互相平行，另外使平移后成為三角形．
二、填空題（本題共8個小題，每題2分，共16分）
11. 寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：_____．
【11題答案】
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，確定無理數(shù)的被開方數(shù)范圍是大于9小于16，從中確定一個整數(shù)，用算術(shù)平方根的形式表示出來即可．
【詳解】設(shè)無理數(shù)的被開方數(shù)為x，
∵無理數(shù)比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一個無理數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算思想，正確理解估算思想的意義是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，計劃把河水引到水池A中，先作，垂足為B，然后沿開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計的依據(jù)是______．
【12題答案】
【答案】連接直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短
【解析】
【分析】過直線外一點作直線的垂線，這一點與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．
【詳解】解：∵連接直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短，
∴沿開渠，能使所開的渠道最短，
故答案為：連接直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短．
【點睛】本題是垂線段最短在實際生活中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實際運用價值．
13. 的平方根是____.
【13題答案】
【答案】±．
【解析】
【分析】利用平方根的定義求解即可．
【詳解】或的平方等于．
故平方根是±．
故答案為±．
【點睛】本題考查了平方根的定義．解題時注意正數(shù)的平方根有2個．
14. 將命題“兩直線平行，同位角相等”寫成“如果…，那么…”的形式是________
【14題答案】
【答案】如果兩條直線是平行線，那么同位角相等．
【解析】
【分析】一個命題都能寫成“如果…那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論．
【詳解】“兩直線平行，同位角相等”的條件是：“兩直線平行”，結(jié)論為：“同位角相等”，
∴寫成“如果…，那么…”的形式為：“如果兩條直線是平行線，那么同位角相等”，
故答案為如果兩條直線是平行線，那么同位角相等．
【點睛】本題考查了一個命題寫成“如果…那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論，難度較?。?br>15. x的與5的和不小于3，用不等式表示為______．
【15題答案】
【答案】
【解析】
【分析】“x的”為，“x的與5的和”為，“不小于3”為“”列出不等式即可．
【詳解】解：∵“x的與5的和”表示為，“不小于3”為“”，
∴ 不等式表示為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查列一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握列一元一次不等式的基本方法．
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，若點到軸的距離是3，則的值是 __．
【16題答案】
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)縱坐標(biāo)的絕對值就是點到x軸的距離即可求得的值．
【詳解】因為點到軸的距離是3，
所以，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，橫坐標(biāo)的絕對值就是點到y(tǒng)軸的距離，縱坐標(biāo)的絕對值就是點到x軸的距離，掌握坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵．
17. 《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代著名數(shù)學(xué)家程大位．在其中有這樣的記載“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”,譯文：有100名和尚分100個饅頭，正好分完．如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，試問大、小和尚各有幾人？設(shè)有大和尚x人，小和尚y人，可列方程組為______．
【17題答案】
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)大和尚有x人，則小和尚有y人，根據(jù)“有100個和尚”和大和尚一人分3只，小和尚3人分一只剛好分完100個饅頭”列出方程組即可．
【詳解】設(shè)大和尚有x人，則小和尚有y人，根據(jù)題意得，
故答案為:．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程組．
18. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對于平面內(nèi)任意一點(x， y)，規(guī)定以下兩種變化：
① f (x， y) ? (?x， y) ．如 f (1， 2) ? (?1， 2) ；
② g ? x， y? ? ?x， 2 ? y?．
根據(jù)以上規(guī)定：
（1） g ?1， 2? ?（ ）；
（2） f ?g ?2， ?1?? ?（ ）
【18題答案】
【答案】 ①. （1，0） ②. （﹣2，3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給規(guī)定進行進行計算即可；
（2）根據(jù)所給規(guī)定進行進行計算即可．
【詳解】解：（1）∵g（x，y）＝（x，2﹣y）
∴g（1，2）＝（1，2﹣2）＝（1，0）
故答案為：（1，0）
（2）∵g（2，﹣1）＝（2，3）且f（x，y）＝（﹣x，y）
∴f（g（2，﹣1））＝f（2，3）＝（﹣2，3）
故答案為：（﹣2，3）
【點睛】此題主要考查了點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是正確理解題目意思．
三、解答題（本題共10個小題，共54分）
19 計算：．
【19題答案】
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根和絕對值的性質(zhì)計算即可．
詳解】解：
【點睛】本題考查了實數(shù)運算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根和絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20. 解不等式：．
【20題答案】
【答案】x≤﹣2
【解析】
【分析】先去括號，再移項合并同類項，然后系數(shù)化為1求出解集即可．
【詳解】解：去括號得：4x﹣2﹣5x+1≥1，
移項得：4x﹣5x≥1+2﹣1，
合并得：﹣x≥2，
系數(shù)化為1得：x≤﹣2．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式：根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1．解題的關(guān)鍵在于系數(shù)化為1時，要注意系數(shù)的正負(fù)，是負(fù)數(shù)的話要記得變號．
21. 解方程組：．
【21題答案】
【答案】
【解析】
【分析】將方程②進行變形，用代入法即可解答．
【詳解】解：
由②得： ③
把代入 ①，得：，
把代入 ③，得：，
∴方程組的解為：
【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是用代入消元法和加減消元法進行消元．
22. 解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
【22題答案】
【答案】不等式組的解集為：，數(shù)軸表示見解析
【解析】
【分析】首先分別求解不等式，再根據(jù)不等式組的性質(zhì)得到解集，結(jié)合數(shù)軸的性質(zhì)作圖，即可得到答案．
【詳解】∵，
移項并合并同類項，得：，
∵
去分母，得：
移項并合并同類項，得：，
∴不等式組的解集為：，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組、數(shù)軸的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式組的性質(zhì)，從而完成求解．
23. 完成下面的證明．已知：如圖，求證：
（_____）
即
_____//_____（_____）
（_____）
【23題答案】
【答案】兩直線平行，同位角相等；；；同位角相等，兩直線平行；垂直的定義．
【解析】
【分析】由平行線的性質(zhì)得到，可推出，即可判定，由平行線的性質(zhì)得到，即可得解．
【詳解】證明：，
兩直線平行，同位角相等），
，
，
即，
（同位角相等，兩直線平行，
，
，
（垂直的定義，
，
．
故答案為：兩直線平行，同位角相等；；；同位角相等，兩直線平行；垂直的定義．
【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握“兩直線平行，同位角相等”及“同位角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形三個頂點的坐標(biāo)分別是將三角形平移，使點與點重合，得到三角形，其中點的對應(yīng)點分別為．
（1）畫出三角形；
（2）寫出點的坐標(biāo)；
（3）三角形的面積為 ．
【24題答案】
【答案】（1）見解析；（2）；（3）4
【解析】
【分析】（1）將點A、B、C分別向右平移4個單位長度、向上平移1個單位得到其對應(yīng)點，再首尾順次連接即可；
（2）根據(jù)所作圖形可得答案；
（3）利用割補法：用矩形的面積減去三個三角形的面積求解即可．
【詳解】解：（1）如圖所示，△A′OC'即為所求．
（2）由圖知，A′（2，4），C′（3，2）；
（3）三角形A′OC′的面積為3×4-×2×4-×3×2-×1×2=4，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查作圖—平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點及割補法求三角形的面積．
25. 關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，求字母的取值范圍.
【25題答案】
【答案】k＜?1
【解析】
【分析】解方程得出x＝k＋1，根據(jù)方程的解為負(fù)數(shù)得出關(guān)于k的不等式，解之可得．
【詳解】解：解方程得x＝k＋1，
∵方程的解是負(fù)數(shù)，
∴k＋1＜0，
∴k＜?1．
字母的取值范圍為：k＜?1．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．
26. 如圖，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，DE⊥BC于點E，DF∥AB交BC于點F．
（1）依題意補全圖形；
（2）設(shè)∠C＝α，
①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF與∠DFC的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【26題答案】
【答案】（1）圖見解析（2）①45°?α②∠DFC＝2∠BDF，理由見解析
【解析】
【分析】（1）過D畫DE⊥BC，DF∥AB即可；
（2）①根據(jù)余角的定義和角平分線的定義可得；
②根據(jù)角平分線定義可得∠ABC＝2∠ABD，再根據(jù)DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF．
【詳解】（1）如圖：
（2）①∵∠A＝90°，
∴∠ABC＝90°?∠C＝90°?α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝（90°?α）＝45°?α，
故答案為45°?α；
②∠DFC＝2∠BDF，
證明：∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC．
∠ABD＝∠BDF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠DFC＝2∠BDF．
【點睛】此題主要考查了角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等．
27. “冰墩墩”和“雪容融”分別是北京2022年冬奧會和冬殘奧會的吉祥物．某冬奧官方特許商品零售店購進了一批同一型號的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，連續(xù)兩個月的銷售情況如下表：
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售價格．
【27題答案】
【答案】此款“冰墩墩”玩具的零售價格為118元，“雪容融”玩具的零售價格為75元
【解析】
【分析】設(shè)此款“冰墩墩”玩具的零售價格為元，“雪容融”玩具的零售價格為元，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)此款“冰墩墩”玩具的零售價格為元，“雪容融”玩具的零售價格為元，
依題意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售價格為118元，“雪容融”玩具的零售價格為75元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
28. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點A，B，我們把A，B兩點橫坐標(biāo)差的絕對值與它們縱坐標(biāo)差的絕對值的和叫做A，B兩點間的折線距離，記作．即：如果，，那么．
（1）已知，，求出的值；
（2）已知，，且，求a的取值范圍；
（3）已知，，動點，若P，M兩點間的折線距離與P，N兩點間的折線距離的差的絕對值是3，直接寫出y的值并畫出所有符合條件的點P組成的圖形．
【28題答案】
【答案】（1）6 （2）
（3）y=1或y=-2，畫圖見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意給出的公式即可求出答案；
(2)根據(jù)題意給出的公式列出不等式后即可求出a的取值范圍；
(3)根據(jù)題意給出的等量關(guān)系列出等式即可求出點P的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得：
得
解得；
【小問3詳解】
解：，
由題意可得：
當(dāng)時，等式的左邊=5，此時不滿足題意
當(dāng)時，等式的左邊=|2y+1|
故|2y+1|=3
解得y=1或y=-2
當(dāng)時，等式的左邊=5，此時不滿足題意
綜上，點P坐標(biāo)為(x,1)或(x,-2)
畫圖如下：
【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，新定義，解題的關(guān)鍵是正確理解題意給出的公式．月份
銷售量/件
銷售額/元
冰墩墩
雪容融
第1個月
100
40
14800
第2個月
160
60
23380
月份
銷售量/件
銷售額/元
冰墩墩
雪容融
第1個月
100
40
14800
第2個月
160
60
23380

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