?2022年北京中考數(shù)學(xué)模擬試卷1
一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
1．（2分）（2020?金壇區(qū)二模）若一個幾何體的表面展開圖如圖所示，則這個幾何體是（　?。?br />
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐 D．四棱錐
2．（2分）（2022?宿州一模）電影《長津湖》2021年9月30日上映以來，據(jù)有關(guān)票房數(shù)據(jù)顯示，截止到10月7日，總票房達46.49億．將數(shù)據(jù)46.49億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．46.49×108 B．4.649×108
C．4.649×109 D．0.4649×1010
3．（2分）（2022?海淀區(qū)校級模擬）如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD．若∠BOC＝60°，則∠AOD的大小為（　?。?br />
A．160° B．140° C．120° D．150°
4．（2分）（2021?云南）一個十邊形的內(nèi)角和等于（　?。?br /> A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
5．（2分）（2018秋?資源縣期中）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，如果a+b＝0，那么下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．＞ B．a(chǎn)+c＜0 C．a(chǎn)bc＜0 D．
6．（2分）（2022?拱墅區(qū)模擬）在一個不透明紙箱中放有除了數(shù)字不同外，其它完全相同的2張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，從中任意摸出一張，放回攪勻后再任意摸出一張，兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）（2021?鹿城區(qū)校級二模）與+1最接近的整數(shù)是（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2分）（2022?建湖縣一模）如圖，游樂園里的原子滑車是很多人喜歡的項目，驚險刺激，原子滑車在軌道上運行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，原子滑車運行的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了原子滑車在該路段運行的x與y的三組數(shù)據(jù)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出，此原子滑車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離x滿足（　　）

A．x＜x1 B．x1＜x＜x2 C．x＝x2 D．x2＜x＜x3
二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．（2分）（2022?南山區(qū)模擬）如果式子有意義，那么x的取值范圍是 　 ?。?br /> 10．（2分）（2021秋?泗水縣期末）分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a＝　 ?。?br /> 11．（2分）（2021秋?源匯區(qū)校級期末）方程的解為x＝　 ?。?br /> 12．（2分）（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，∠OBA＝90°，OB＝2AB，點A（5，0），若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點B，則k的值為 　 ?。?br />
13．（2分）（2020秋?玄武區(qū)月考）如圖，直線a⊥b，垂足為H，點P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動點，若以2cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長為　 　．

14．（2分）（2021?桃江縣模擬）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，過點B作BF⊥AC交CD于點F，交AC于點M，過點D作DE∥BF交AB于點E，交AC于點N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：
①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時，四邊形DEBF是菱形．
其中，正確的序號為：　 ?。?br />
15．（2分）（2020秋?興慶區(qū)校級期末）某校組織了一次比賽，甲、乙兩隊各有5人參加比賽，兩隊每人的比賽成績（單位：分）如下：
甲隊：7，8，9，6，10
乙隊：10，9，5，8，8
已知甲隊成績的方差為S甲2＝2，則成績波動較大的是　 　隊．
16．（2分）甲、乙兩隊修建一條水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，兩隊所用的天數(shù)為A；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分之一，兩隊所用天數(shù)為B；甲、乙兩隊同時工作完成的天數(shù)為C，已知A比B多5，A是C的2倍多4，那么甲單獨完成此項工程需要 　 　天．
三．解答題（共12小題，滿分68分）
17．（5分）（2021秋?林甸縣期末）計算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021?（）2020．
18．（5分）（2021秋?杜爾伯特縣期末）解不等式組：．
19．（5分）（2021秋?沈丘縣期末）先化簡，再求值：
[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
20．（5分）（2022春?朝陽區(qū)校級月考）在6×8的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，已知線段AB，其中點A在直線MN上．請用無刻度的直尺按要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，在直線MN上找到一點C，作△ABC，使得∠ACB＝45°；
（2）在圖②中，在直線MN上找到一點D，作△ABD，使得∠ABD＝45°；
（3）在圖③中，在直線MN上找到一點E，作△ABE，使得∠EAB＝∠EBA．

21．（6分）（2021?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．
22．（6分）（2022?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝BC，點E在BC延長線上，AE與CD交于點F．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AE平分∠BAD，AB＝13，cosB＝，求AD和CF的長．

23．（5分）（2021秋?東城區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得到．
（1）求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＞﹣4時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．

24．（6分）（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是中點，弦CE⊥AB于點H，連接AD，分別交CE、BC于點P、Q，連接BD．
（1）求證：P是線段AQ的中點；
（2）若⊙O的半徑為5，D是的中點，求弦CE的長．

25．（5分）（2021春?襄汾縣期末）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學(xué)生進行測試，并對成績（百分制）進行整理和分析．部分信息如下：
a．七年級成績頻數(shù)分布直方圖；
b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有 　 　人；
（2）表中m的值為 　 ??；
（3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由．

26．（6分）（2021春?海曙區(qū)校級期末）已知拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對稱軸為直線x＝1．
（1）a＝　 ??；
（2）若拋物線的頂點為P，直線y＝9與拋物線交于兩點G、H，求△PGH的面積；
（3）設(shè)直線y＝m（m＞0）與拋物線y＝ax2﹣2x+1交于點A、B，與拋物線y＝4（x﹣1）2交于點C，D，則線段AB與線段CD的長度之比為 　 　．
27．（7分）（2022?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，將CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CD，連接AD，E為直線CD上一點，連接AE．
（1）如圖1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E為CD中點，AB＝2，求△BCE的面積；
（2）如圖2，若∠ACD＝90°，點E在線段CD上且∠DAE+∠ABC＝90°，AE的延長線與BC的延長線交于點F，連接DF，求證：BC＝DF．


28．（7分）（2021秋?晉州市期末）如圖：

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖1，△ABC內(nèi)接于半徑為4的⊙O，若∠C＝60°，則AB＝　 　；
（2）【問題探究】
如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為6的⊙O，若∠B＝120°，求四邊形ABCD的面積最大值；
（3）【解決問題】
如圖3，一塊空地由三條直路（線段AD、AB、BC）和一條弧形道路圍成，點M是AB道路上的一個地鐵站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點P在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．


2022年北京中考數(shù)學(xué)模擬試卷1
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
1．（2分）（2020?金壇區(qū)二模）若一個幾何體的表面展開圖如圖所示，則這個幾何體是（　　）

A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐 D．四棱錐
【考點】幾何體的展開圖．
【專題】幾何圖形；空間觀念．
【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．
【解答】解：三個長方形和兩個三角形折疊后可以圍成三棱柱．
故選：A．
【點評】考查了幾何體的展開圖，熟記常見幾何體的表面展開圖特征，是解決此類問題的關(guān)鍵．
2．（2分）（2022?宿州一模）電影《長津湖》2021年9月30日上映以來，據(jù)有關(guān)票房數(shù)據(jù)顯示，截止到10月7日，總票房達46.49億．將數(shù)據(jù)46.49億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．46.49×108 B．4.649×108
C．4.649×109 D．0.4649×1010
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
【專題】實數(shù)；數(shù)感．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：46.49億＝4649000000＝4.649×109．
故選：C．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2分）（2022?海淀區(qū)校級模擬）如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD．若∠BOC＝60°，則∠AOD的大小為（　　）

A．160° B．140° C．120° D．150°
【考點】垂線．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能力．
【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠BOC＝90°，進而求出∠BOD，再根據(jù)平角的定義求出答案．
【解答】解：∵OC⊥OD．
∴∠COD＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
故選：D．
【點評】本題考查垂線，角的計算，理解垂直的定義以及角的和差關(guān)系是正確解答的前提．
4．（2分）（2021?云南）一個十邊形的內(nèi)角和等于（　?。?br /> A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
【考點】多邊形內(nèi)角與外角．
【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°即可得解．
【解答】解：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得，
十邊形的內(nèi)角和等于：（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，
故選：C．
【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）（2018秋?資源縣期中）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，如果a+b＝0，那么下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．＞ B．a(chǎn)+c＜0 C．a(chǎn)bc＜0 D．
【考點】實數(shù)與數(shù)軸；絕對值．
【專題】實數(shù)；運算能力；推理能力．
【分析】由a+b＝0可以得出a、b互為相反數(shù)，從而得出a＜0＜b＜c，|a|＝|b|＜|c|即可作出判斷．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a、b互為相反數(shù)，a＜0＜b＜c，|a|＝|b|＜|c|，
∴A選項錯誤；
∵a+c要取絕對值較大的數(shù)的符號，
∴a+c＞0，
∴B選項錯誤；
∵a＜0＜b＜c，
∴abc＜0，
∴C選項正確；
∵a、b互為相反數(shù)，
∴＝﹣1，
∴D選項錯誤，
故選：C．
【點評】本題主要考查數(shù)軸的性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記數(shù)軸上的點從左到右依次增大，到原點的距離越小的數(shù)的絕對值越?。?br /> 6．（2分）（2022?拱墅區(qū)模擬）在一個不透明紙箱中放有除了數(shù)字不同外，其它完全相同的2張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，從中任意摸出一張，放回攪勻后再任意摸出一張，兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；推理能力．
【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有4種等可能的結(jié)果，兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有2種，
∴兩次摸出的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為＝，
故選：C．
【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7．（2分）（2021?鹿城區(qū)校級二模）與+1最接近的整數(shù)是（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．8
【考點】估算無理數(shù)的大?。?br /> 【專題】實數(shù)；二次根式；運算能力．
【分析】先估算出的范圍，再求出+1的范圍，最后得出選項即可．
【解答】解：∵3.5＜＜4，
∴4.5+1＜5，
∴與+1最接近的整數(shù)是5，
故選：B．
【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較和估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．
8．（2分）（2022?建湖縣一模）如圖，游樂園里的原子滑車是很多人喜歡的項目，驚險刺激，原子滑車在軌道上運行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，原子滑車運行的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了原子滑車在該路段運行的x與y的三組數(shù)據(jù)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出，此原子滑車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離x滿足（　　）

A．x＜x1 B．x1＜x＜x2 C．x＝x2 D．x2＜x＜x3
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；運算能力．
【分析】將點A（0，2）、B（2，1）、C（4，4）分別代入函數(shù)解析式，求得系數(shù)的值；然后由拋物線的對稱軸公式可以得到答案．
【解答】解：根據(jù)題意知，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），
則，
解得：，
所以x＝﹣＝﹣＝．
∴此原子滑車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離x滿足x1＜x＜x2．
故選：B．
【點評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題也可以將所求得的拋物線解析式利用配方法求得頂點式方程，然后直接得到拋物線頂點坐標(biāo)，由頂點坐標(biāo)推知此原子滑車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離．
二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．（2分）（2022?南山區(qū)模擬）如果式子有意義，那么x的取值范圍是 　﹣2＜x≤1　．
【考點】二次根式有意義的條件．
【專題】分式；二次根式；運算能力．
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．
【解答】解：由題意得，
，
解得﹣2＜x≤1．
故答案為：﹣2＜x≤1．
【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
10．（2分）（2021秋?泗水縣期末）分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a＝　﹣2a（a﹣3）2?。?br /> 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．
【專題】整式；運算能力．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．
【解答】解：﹣2a3+12a2﹣18a
＝﹣2a（a2﹣6a+9）
＝﹣2a（a﹣3）2，
故答案為：﹣2a（a﹣3）2．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
11．（2分）（2021秋?源匯區(qū)校級期末）方程的解為x＝　?。?br /> 【考點】解分式方程．
【專題】分式方程及應(yīng)用；運算能力．
【分析】按照解分式方程的步驟進行計算即可解答．
【解答】解：，
1+2（x﹣2）＝﹣1﹣x，
解得：x＝，
檢驗：當(dāng)x＝時，x﹣2≠0，
∴x＝是原方程的根．
【點評】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．
12．（2分）（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，∠OBA＝90°，OB＝2AB，點A（5，0），若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點B，則k的值為 　8?。?br />
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．
【分析】作BD⊥OA于D，設(shè)B（m，n），則OD＝m，BD＝n，AD＝5﹣m，證得△OBD∽△BAD，得到＝＝，解得m＝4，n＝2，
然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值．
【解答】解：作BD⊥OA于D，
∵∠OBA＝90°，
∴∠OBD+∠ABD＝90°，
∵∠ABD+∠DAB＝90°，
∴∠OBD＝∠BAD，
∵∠ODB＝∠BDA＝90°，
∴△OBD∽△BAD，
∴＝＝，
設(shè)B（m，n），則OD＝m，BD＝n，
∵OB＝2AB，點A（5，0），
∴AD＝5﹣m，
∴＝＝，
解得m＝4，n＝2，
∴B（4，2），
∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點B，
∴k＝4×2＝8，
故答案為：8．

【點評】本題考查了反比例圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形相似的判斷和性質(zhì)，求得B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）（2020秋?玄武區(qū)月考）如圖，直線a⊥b，垂足為H，點P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動點，若以2cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長為　2cm或6cm　．

【考點】切線的性質(zhì)．
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；幾何直觀；推理能力．
【分析】當(dāng)點O在點H的左側(cè)⊙O與直線a相切時，OP＝PH﹣OH；當(dāng)點O在點H的右側(cè)⊙O與直線a相切時，OP＝PH+OH，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵直線a⊥b，O為直線b上一動點，
∴⊙O與直線a相切時，切點為H，
∴OH＝2cm，
當(dāng)點O在點H的左側(cè)，⊙O與直線a相切時，如圖1所示：

OP＝PH﹣OH＝4﹣2＝2（cm）；
當(dāng)點O在點H的右側(cè)，⊙O與直線a相切時，如圖2所示：

OP＝PH+OH＝4+2＝6（cm）；
∴⊙O與直線a相切，OP的長為2cm或6cm，
故答案為：2cm或6cm．
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及分類討論；熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）（2021?桃江縣模擬）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，過點B作BF⊥AC交CD于點F，交AC于點M，過點D作DE∥BF交AB于點E，交AC于點N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：
①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時，四邊形DEBF是菱形．
其中，正確的序號為：?、佗冖邰堋。?br />
【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；菱形的判定．
【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】證△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；證△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正確；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM∥FN，故②正確；證四邊形DEBF是平行四邊形，證出∠ODN＝∠ABD，則DE＝BE，得出四邊形DEBF是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正確；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四邊形NEMF是平行四邊形，
∴EM∥FN，故②正確；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；
故答案為：①②③④．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）（2020秋?興慶區(qū)校級期末）某校組織了一次比賽，甲、乙兩隊各有5人參加比賽，兩隊每人的比賽成績（單位：分）如下：
甲隊：7，8，9，6，10
乙隊：10，9，5，8，8
已知甲隊成績的方差為S甲2＝2，則成績波動較大的是　乙　隊．
【考點】方差．
【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；運算能力．
【分析】先由平均數(shù)的公式計算出乙隊的平均成績，再根據(jù)方差的公式求出乙隊的方差，然后根據(jù)方差的意義即可得出答案．
【解答】解：乙隊的平均成績?yōu)椋?0+9+5+8+8）＝8（分），
其方差S2乙＝[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝2.8．
∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，
∴乙隊成績波動較大．
故答案為：乙．
【點評】本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
16．（2分）甲、乙兩隊修建一條水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，兩隊所用的天數(shù)為A；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分之一，兩隊所用天數(shù)為B；甲、乙兩隊同時工作完成的天數(shù)為C，已知A比B多5，A是C的2倍多4，那么甲單獨完成此項工程需要 　30　天．
【考點】一元一次方程的應(yīng)用；二元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式．
【專題】分式；一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】設(shè)甲單獨完成此項工程需要x天，乙單獨完成此項工程需要y天，則A＝+，B＝+，C＝，由A比B多5，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，化簡后可得出y＝x+15，結(jié)合是C的2倍多4，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)甲單獨完成此項工程需要x天，乙單獨完成此項工程需要y天，則A＝+，B＝+，C＝．
依題意得：+﹣（+）＝5，
∴y＝x+15．
∵A是C的2倍多4，
∴+＝2×+4，
化簡得：3x﹣90＝0，
解得：x＝30，
經(jīng)檢驗，x＝30是原方程的解，且符合題意，
∴甲單獨完成此項工程需要30天．
故答案為：30．
【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出A，B，C是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共12小題，滿分68分）
17．（5分）（2021秋?林甸縣期末）計算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021?（）2020．
【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
【專題】實數(shù)；運算能力．
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義、立方根的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)的值以及有理數(shù)的乘方運算即可求出答案．
【解答】解：原式＝1+（﹣2）+2×﹣（﹣2）2020×（）2020×（﹣2）
＝1﹣2+6﹣（﹣2×）2020×（﹣2）
＝1﹣2+6﹣1×（﹣2）
＝1﹣2+6+2
＝7．
【點評】本題考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵熟練運用零指數(shù)冪的意義、立方根的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)的值以及有理數(shù)的乘方運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．
18．（5分）（2021秋?杜爾伯特縣期末）解不等式組：．
【考點】解一元一次不等式組．
【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
則不等式組的解集為﹣1≤x＜3．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
19．（5分）（2021秋?沈丘縣期末）先化簡，再求值：
[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【考點】整式的混合運算—化簡求值．
【專題】整式；運算能力．
【分析】原式中括號里利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘多項式法則計算，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
當(dāng)x＝1，y＝﹣2時，原式＝﹣1+2＝1．
【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
20．（5分）（2022春?朝陽區(qū)校級月考）在6×8的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，已知線段AB，其中點A在直線MN上．請用無刻度的直尺按要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，在直線MN上找到一點C，作△ABC，使得∠ACB＝45°；
（2）在圖②中，在直線MN上找到一點D，作△ABD，使得∠ABD＝45°；
（3）在圖③中，在直線MN上找到一點E，作△ABE，使得∠EAB＝∠EBA．

【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】作圖題；幾何直觀．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)（圖中△BCR是等腰直角三角形），解決問題即可；
（2）構(gòu)造等腰直角三角形，可得結(jié)論；
（3）作線段AB的垂直平分線交MN于點E，連接EB，△ABE即為所求．
【解答】解：（1）如圖①中，△ACB即為所求；


（2）如圖②中，△ABD即為所求；

（3）如圖③中，△ABE即為所求．

【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
21．（6分）（2021?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；根的判別式．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運算能力．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝1＞0，進而可證出方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解方程求出方程的兩根為k，k+1，得出＝1+或＝1﹣，然后利用有理數(shù)的整除性確定k的整數(shù)值；
【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴無論k取何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的兩根為k，k+1，
∴或，
如果1+為整數(shù)，則k為1的約數(shù)，
∴k＝±1，
如果1﹣為整數(shù)，則k+1為1的約數(shù)，
∴k+1＝±1，
則k為0或﹣2．
∴整數(shù)k的所有可能的值為±1，0或﹣2．
【點評】本題考查了根的判別式、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用解方程求出k的整數(shù)值．
22．（6分）（2022?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝BC，點E在BC延長線上，AE與CD交于點F．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AE平分∠BAD，AB＝13，cosB＝，求AD和CF的長．

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理．
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．
【分析】（1）先證AD∥BC，再由AD＝BC，即可得出結(jié)論；
（2）由銳角三角函數(shù)定義得BC＝5，再由平行四邊形的性質(zhì)得AD＝BC＝5，然后證BE＝AB＝13，則CE＝BE﹣BC＝8，進而證∠CFE＝∠BEA，得CF＝CE＝8．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，
∴cosB＝＝，
∴BC＝5，
由（1）可知，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝5，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝13，
∴CE＝BE﹣BC＝13﹣5＝8，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠BAE，
∴∠CFE＝∠BEA，
∴CF＝CE＝8．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、銳角三角函數(shù)定義、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（5分）（2021秋?東城區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得到．
（1）求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＞﹣4時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．

【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀；應(yīng)用意識．
【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)律即可求得．
（2）根據(jù)點（﹣4，﹣4）結(jié)合圖象即可求得．
【解答】解：（1）函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得到y(tǒng)＝x﹣2，
∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得到，
∴這個一次函數(shù)的表達式為y＝x﹣2．
（2）把x＝﹣4代入y＝x﹣2，求得y＝﹣4，
∴函數(shù)y＝mx（m≠0）與一次函數(shù)y＝x﹣2的交點為（﹣4，﹣4），
把點（﹣4，﹣4）代入y＝mx，求得m＝1，
∵當(dāng)x＞﹣4時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝x﹣2的值，
∴≤m≤1．

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是中點，弦CE⊥AB于點H，連接AD，分別交CE、BC于點P、Q，連接BD．
（1）求證：P是線段AQ的中點；
（2）若⊙O的半徑為5，D是的中點，求弦CE的長．

【考點】三角形的外接圓與外心；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【分析】（1）利用垂徑定理得到，則可證明，利用圓周角定理得到∠CAD＝∠ACE，所以AP＝CP，再證明∠BCP＝∠CQA得到CP＝PQ，于是得到AP＝PQ；
（2）利用，AB是直徑，利用圓周角得到∠ACB＝90?，∠ABC＝30?，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出CH，而根據(jù)垂徑定理得到CH＝EH，于是可得CE的長度．
【解答】（1）證明：∵CE⊥AB，AB是直徑，
∴，
又∵
∴，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90?，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是線段AQ的中點；
（2）解：∵，AB是直徑，
∴∠ACB＝90?，∠ABC＝30?，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝5，
∴CH＝BC＝，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，
∴CE＝2CH＝2×＝5．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理和圓周角定理．
25．（5分）（2021春?襄汾縣期末）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學(xué)生進行測試，并對成績（百分制）進行整理和分析．部分信息如下：
a．七年級成績頻數(shù)分布直方圖；
b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有 　23　人；
（2）表中m的值為 　77.5?。?br /> （3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由．

【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)．
【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力．
【分析】（1）求出80≤x＜90，90≤x＜100兩組的頻數(shù)之和即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)的意義求出中間位置兩個數(shù)的平均數(shù)即可；
（3）根據(jù)中位數(shù)的意義，結(jié)合七年級的甲同學(xué)，八年級的乙同學(xué)的成績進行判斷即可．
【解答】解：（1）15+8＝23（人），
故答案為：23；
（2）將七年級50人的成績從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為＝77.5（分），因此中位數(shù)是77.5分，即m＝77.5，
故答案為：77.5；
（3）七年級學(xué)生甲的排名更靠前，理由為：七年級成績的中位數(shù)是77.5，甲同學(xué)的成績78分，位于中位數(shù)以上，而八年級成績的中位數(shù)是79.5，乙同學(xué)的成績78分，位于中位數(shù)以下，因此七年級同學(xué)甲的排名更靠前．
【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，理解中位數(shù)的意義是正確解答的前提．
26．（6分）（2021春?海曙區(qū)校級期末）已知拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對稱軸為直線x＝1．
（1）a＝　1??；
（2）若拋物線的頂點為P，直線y＝9與拋物線交于兩點G、H，求△PGH的面積；
（3）設(shè)直線y＝m（m＞0）與拋物線y＝ax2﹣2x+1交于點A、B，與拋物線y＝4（x﹣1）2交于點C，D，則線段AB與線段CD的長度之比為 　2　．
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【分析】（1）由拋物線對稱軸直線方程x＝﹣求解．
（2）求出點G，H坐標(biāo)然后根據(jù)三角形面積公式求解．
（3）分別將y＝m代入兩拋物線解析式，求出AB，CD長度作商求解．
【解答】解：（1）拋物線對稱軸為直線x＝＝＝1，
∴a＝1．
故答案為：1．
（2）由（1）得y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴點P坐標(biāo)為（1，0），
把y＝9代入y＝x2﹣2x+1得9＝x2﹣2x+1，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴G，H坐標(biāo)為（﹣2，9），（4，9），
∴S△PGH＝GH?（yG﹣yP）＝×（4+2）×9＝27．
（3）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
把y＝m代入y＝（x﹣1）2得m＝（x﹣1）2，
解得x＝1+或x＝1﹣，
∴AB＝1+﹣（1﹣）＝2．
把y＝m代入y＝4（x﹣1）2得m＝4（x﹣1）2，
解得x＝1+或x＝1﹣．
∴CD＝1+﹣（1﹣）＝，
∴＝＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
27．（7分）（2022?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，將CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CD，連接AD，E為直線CD上一點，連接AE．
（1）如圖1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E為CD中點，AB＝2，求△BCE的面積；
（2）如圖2，若∠ACD＝90°，點E在線段CD上且∠DAE+∠ABC＝90°，AE的延長線與BC的延長線交于點F，連接DF，求證：BC＝DF．


【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求出EN，即可求解；
（2）作AG⊥BC于G，作DH⊥BF于H，證得△ACG≌△CDH，可得DH＝CG，進而證得BC＝2CG，再證得∠DCH＝∠CAG＝∠DAE，從而得點A、C、F、D共圓，從而得∠DFH＝∠CAD＝45°，進一步可得證．
【解答】（1）解：如圖1，作EN⊥BC于N，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC＝CD＝AB＝2，
∵點E是CD的中點，
∴CE＝CD＝，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECN＝30°，
∴EN＝EC＝，
∴S△BCE＝×BC×EN＝×2×＝；
（2）證明：如圖2，作AG⊥BC于G，作DH⊥BF于H，

∴∠AGC＝∠H＝90°，
∴∠GAC+∠ACG＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACG+∠DCH＝90°，
∴∠GAC＝∠DCH，
在△ACG和△CDH中，
，
∴△ACG≌△CDH（AAS），
∴DH＝CG，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BC＝2CG，
∴BC＝2DH，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴∠DAE+∠ACB＝90°，
∵∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠GAC＝∠DAE，
∴∠DCH＝∠DAE，
∴點A、C、F、D共圓，
∴∠DFH＝∠CAD＝45°，
∴DH＝DF，
∴BC＝2DH＝DF．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）（2021秋?晉州市期末）如圖：

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖1，△ABC內(nèi)接于半徑為4的⊙O，若∠C＝60°，則AB＝　4?。?br /> （2）【問題探究】
如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為6的⊙O，若∠B＝120°，求四邊形ABCD的面積最大值；
（3）【解決問題】
如圖3，一塊空地由三條直路（線段AD、AB、BC）和一條弧形道路圍成，點M是AB道路上的一個地鐵站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點P在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．

【考點】圓的綜合題．
【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力．
【分析】（1）證明∠AOH＝∠BOH＝60°，則AH＝OAsin∠AOH＝4×＝2，即可求解；
（2）證明D、E、F、B四點共線且為直徑時，四邊形ABCD的面積S最大，即可求解；
（3）證明D、P、C、M四點共圓，PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1，連接OA、OB，過點O作OH⊥AB于點H，

∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴△OAB為等腰三角形，
∵OH⊥AB，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
∴AH＝OAsin∠AOH＝4×＝2，
則AB＝2AH＝4；
故答案為：4；

（2）如圖2，連接AC，過點D作DE⊥AC于點E，過點B作BF⊥AC于點F，

∵四邊形ABCD的面積S＝AC×DE+AC×BF＝AC×（DE+BF），
∴當(dāng)D、E、F、B四點共線且為直徑時，四邊形ABCD的面積S最大；
∵∠ABC＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在△AOC中，由（1）知，AC＝2×OAsin60°＝2×6×＝6，
∴四邊形ABCD的面積S的最大值為：×AC×BD＝×6×12＝36，
故四邊形ABCD的面積的最大值為36；

（3）如圖3，過點D作DK⊥AB于點K，連接CD，

在△ADM中，DK＝AD?sinA＝1×＝，同理AK＝，
則KM＝AM﹣AK＝2﹣＝，則tan∠DMK＝＝
∴∠DMK＝30°，故△ADM為直角三角形，同理△CMB為直角三角形，
在Rt△ADM中，DM＝＝＝，
∴∠DMC＝180°﹣∠DMA﹣∠CMB＝60°
∵AD＝BM，AM＝BC，∠A＝∠B＝60°，
∴Rt△ADM≌Rt△BMC（SAS），
∴DM＝CM，
∴△CDM為等邊三角形；
設(shè)所在的圓的圓心為R，連接DR、CR、MR，
∵DM＝CM，RM＝RM，DR＝CR，
∴△DRM≌△CRM（SSS），
∴∠DMR＝∠CMR＝∠DMC＝30°，
在△DMR中，DR＝1，∠DMR＝30°，DM＝＝CM，
過點R作RH⊥DM于點H，
則RM＝＝＝1＝RD，
故D、P、C、M四點共圓，
∴∠DPC＝120°，
如圖4，連接MP，在PM上取PP′＝PC，

∵△CDM為等邊三角形，
∴∠CDM＝60°＝∠CPM，
∴△P′PC為等邊三角形，則PP′＝P′C＝PC，
∵∠PMC＝∠PDC，∠CP′M＝180°﹣∠PP′C＝120°＝∠DPC，CD＝CM，
∴△PDC≌△P′MC（AAS），
∴PD＝P′M，
∴PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，
故當(dāng)PM是直徑時，PD+PC最大值為2；
∵四邊形DMCP的周長＝DM+CM+PC+PD＝2+PD+PC，
而PD+PC最大值為2；
故四邊形DMCP的周長的最大值為：2+2，
即四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大為2+2．
【點評】此題屬于圓的綜合題，涉及了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識，綜合性較強，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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