1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。
2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。
3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。
一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1．如圖，是由幾個大小相同的小立方塊所搭幾何體的俯視圖，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（ ）
A．B．C．D．
2．某同學(xué)將自己7次體育測試成績（單位：分）繪制成折線統(tǒng)計圖，則該同學(xué)7次測試成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．50和48B．50和47C．48和48D．48和43
3．點(diǎn)A（m﹣4，1﹣2m）在第四象限，則m的取值范圍是 （ ）
A．m＞B．m＞4
C．m＜4D．＜m＜4
4．如圖所示的幾何體的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
5．某學(xué)校舉行一場知識競賽活動，競賽共有4小題，每小題5分，答對給5分，答錯或不答給0分，在該學(xué)校隨機(jī)抽取若干同學(xué)參加比賽，成績被制成不完整的統(tǒng)計表如下．
根據(jù)表中已有的信息，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．共有40名同學(xué)參加知識競賽
B．抽到的同學(xué)參加知識競賽的平均成績?yōu)?0分
C．已知該校共有800名學(xué)生，若都參加競賽，得0分的估計有100人
D．抽到同學(xué)參加知識競賽成績的中位數(shù)為15分
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸上，且，，則正方形的面積是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，任意轉(zhuǎn)動正六邊形轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向大于3的數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個頂點(diǎn)放在直尺的對邊上．如果∠1=20°，那么∠2的度數(shù)是（ ）
A．30°B．25°
C．20°D．15°
9．如圖，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C，在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），則該圓弧所在圓心坐標(biāo)是（ ）
A．（0，0）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）
10．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)?a2＝a2B．（ab）2＝abC．3﹣1＝D．
二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11．如圖，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，則∠C的度數(shù)為____．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心在y軸的左側(cè)將△OAB縮小得到△OA′B′，若△OAB與△OA′B′的相似比為2：1，則點(diǎn)B（3，﹣2）的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_____．
13．閱讀下面材料：
數(shù)學(xué)活動課上，老師出了一道作圖問題：“如圖，已知直線l和直線l外一點(diǎn)P.用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直線l上任取點(diǎn)A，以A為圓心，AP長為半徑畫?。?br>（2）在直線l上任取點(diǎn)B，以B為圓心，BP長為半徑畫?。?br>（3）兩弧分別交于點(diǎn)P和點(diǎn)M
（4）連接PM，與直線l交于點(diǎn)Q，直線PQ即為所求．
老師表揚(yáng)了小艾的作法是對的．
請回答：小艾這樣作圖的依據(jù)是_____．
14．某校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四個科創(chuàng)小組中選出一組，參加區(qū)青少年科技創(chuàng)新大賽，表格反映的是各組平時成績的平均數(shù)（單位：分）及方差S2，如果要選出一個成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的組去參賽，那么應(yīng)選的組是_____．
15．在四張背面完全相同的卡片上分別印有等腰三角形、平行四邊形、菱形和圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的概率為_____．
16．如圖，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，則陰影部分的面積是 ▲ （結(jié)果保留π）．
17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，AF＝2，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)D由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以lcm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5），連D交CF于點(diǎn)G．若CG＝2FG，則t的值為_____．
三、解答題（共7小題，滿分69分）
18．（10分）列方程或方程組解應(yīng)用題：
為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號召，小張上班由自駕車改為騎公共自行車．已知小張家距上班地點(diǎn)10千米．他用騎公共自行車的方式平均每小時行駛的路程比他用自駕車的方式平均每小時行駛的路程少45千米，他從家出發(fā)到上班地點(diǎn)，騎公共自行車方式所用的時間是自駕車方式所用的時間的4倍．小張用騎公共自行車方式上班平均每小時行駛多少千米？
19．（5分）如圖，分別延長?ABCD的邊到，使，連接EF，分別交于，連結(jié)求證：．
20．（8分）如圖是根據(jù)對某區(qū)初中三個年級學(xué)生課外閱讀的“漫畫叢書”、“科普常識”、“名人傳記”、“其它”中，最喜歡閱讀的一種讀物進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制了下面不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖（每人必選一種讀物，并且只能選一種），根據(jù)提供的信息，解答下列問題：
（1）求該區(qū)抽樣調(diào)查人數(shù)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并求出最喜歡“其它”讀物的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角度數(shù)；
（3）若該區(qū)有初中生14400人，估計該區(qū)有初中生最喜歡讀“名人傳記”的學(xué)生是多少人？
21．（10分）如圖，某中學(xué)數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組想測量教學(xué)樓的高度，組員小方在處仰望教學(xué)樓頂端處，測得，小方接著向教學(xué)樓方向前進(jìn)到處，測得，已知，，.
（1）求教學(xué)樓的高度；
（2）求的值.
22．（10分）先化簡，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b），其中a=1，b=﹣
23．（12分）已知：如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=10°，OA=1．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，斜邊OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)P（4，0）為圓心，PA長為半徑畫圓，⊙P與x軸的另一交點(diǎn)為N，點(diǎn)M在⊙P上，且滿足∠MPN=60°．⊙P以每秒1個單位長度的速度沿x軸向左運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts，解答下列問題：
（發(fā)現(xiàn)）（1）的長度為多少；
（2）當(dāng)t=2s時，求扇形MPN（陰影部分）與Rt△ABO重疊部分的面積．
（探究）當(dāng)⊙P和△ABO的邊所在的直線相切時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（拓展）當(dāng)與Rt△ABO的邊有兩個交點(diǎn)時，請你直接寫出t的取值范圍．
24．（14分）在△ABC中，∠ACB＝45°．點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如圖①，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如果AB≠AC，如圖②，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．（1）中結(jié)論是否成立，為什么？
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC＝4，BC＝3，CD＝x，求線段CP的長．（用含x的式子表示）
參考答案
一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1、C
【解析】
由俯視圖知該幾何體共2列，其中第1列前一排1個正方形、后1排2個正方形，第2列只有前排2個正方形，據(jù)此可得．
【詳解】
由俯視圖知該幾何體共2列，其中第1列前一排1個正方形、后1排2個正方形，第2列只有前排2個正方形，
所以其主視圖為：

故選C．
【點(diǎn)睛】
考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
2、A
【解析】
由折線統(tǒng)計圖，可得該同學(xué)7次體育測試成績，進(jìn)而求出眾數(shù)和中位數(shù)即可.
【詳解】
由折線統(tǒng)計圖，得：42，43，47，48，49，50，50，
7次測試成績的眾數(shù)為50，中位數(shù)為48，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是利用折線統(tǒng)計圖獲取有效的信息.
3、B
【解析】
根據(jù)第四象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)列出不等式組，然后求解即可．
【詳解】
解：∵點(diǎn)A（m-1，1-2m）在第四象限，
∴
解不等式①得，m＞1，
解不等式②得，m＞
所以，不等式組的解集是m＞1，
即m的取值范圍是m＞1．
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號特征以及解不等式，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4、B
【解析】
根據(jù)俯視圖是從上往下看得到的圖形解答即可.
【詳解】
從上往下看得到的圖形是：
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關(guān)鍵是由三視圖得到相應(yīng)的立體圖形.從正面看到的圖是正視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫實線，被遮擋的線畫虛線
5、B
【解析】
根據(jù)頻數(shù)÷頻率=總數(shù)可求出參加人數(shù)，根據(jù)分別求出5分、15分、0分的人數(shù)，即可求出平均分，根據(jù)0分的頻率即可求出800人中0分的人數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的定義求出中位數(shù)，對選項進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
∵5÷0.1=50（名），有50名同學(xué)參加知識競賽，故選項A錯誤；
∵成績5分、15分、0分的同學(xué)分別有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）
∴抽到的同學(xué)參加知識競賽的平均成績?yōu)椋?10，故選項B正確；
∵0分同學(xué)10人，其頻率為0.2，
∴800名學(xué)生，得0分的估計有800×0.2=160（人），故選項C錯誤；
∵第25、26名同學(xué)的成績?yōu)?0分、15分，
∴抽到同學(xué)參加知識競賽成績的中位數(shù)為12.5分，故選項D錯誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查利用頻率估算概率，平均數(shù)及中位數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
6、D
【解析】
作BE⊥OA于點(diǎn)E.則AE=2-(-3)=5，△AOD≌△BEA（AAS）,
∴OD=AE=5，
,
∴正方形的面積是: ,故選D.
7、D
【解析】
分析：根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
詳解：∵共6個數(shù)，大于3的有3個，
∴P（大于3）=.
故選D．
點(diǎn)睛：本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．
8、B
【解析】
根據(jù)題意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
9、C
【解析】
如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，
則點(diǎn)O即是該圓弧所在圓的圓心．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），
∴點(diǎn)O的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．
故選C．
10、C
【解析】
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則對A進(jìn)行判斷；根據(jù)積的乘方對B進(jìn)行判斷；根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對D進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：A、原式＝a3，所以A選項錯誤；
B、原式＝a2b2，所以B選項錯誤；
C、原式＝，所以C選項正確；
D、原式＝2，所以D選項錯誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次根式的加減法：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．也考查了整式的運(yùn)算．
二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11、22°
【解析】
由AE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠CBD的度數(shù)，再由對頂角相等求得∠CDB的度數(shù)，繼而利用三角形的內(nèi)角和等于180°求得∠C的度數(shù)．
【詳解】
解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，
∴∠CBD=∠1=130°，∠CDB=∠2=28°，
∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠CDB=180°﹣130°﹣28°=22°．
故答案為22°
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等及三角形內(nèi)角和定理．熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．
12、（-，1）
【解析】
根據(jù)如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k進(jìn)行解答．
【詳解】
解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為：2：1，將△OAB縮小為△OA′B′，點(diǎn)B（3，?2）
則點(diǎn)B（3，?2）的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為：（-，1），
故答案為（-，1）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了位似變換：位似圖形與坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k．
13、到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上或兩點(diǎn)確定一條直線或sss或全等三角形對應(yīng)角相等或等腰三角形的三線合一
【解析】
從作圖方法以及作圖結(jié)果入手考慮其作圖依據(jù)..
【詳解】
解：依題意，AP＝AM，BP＝BM，根據(jù)垂直平分線的定義可知PM⊥直線l.因此易知小艾的作圖依據(jù)是到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線.故答案為到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查尺規(guī)作圖，掌握尺規(guī)作圖的常用方法是解題關(guān)鍵.
14、丙
【解析】
先比較平均數(shù)得到乙組和丙組成績較好，然后比較方差得到丙組的狀態(tài)穩(wěn)定，于是可決定選丙組去參賽．
【詳解】
因為乙組、丙組的平均數(shù)比甲組、丁組大，而丙組的方差比乙組的小，
所以丙組的成績比較穩(wěn)定，
所以丙組的成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定，應(yīng)選的組是丙組．
故答案為丙．
【點(diǎn)睛】
本題考查了方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．也考查了平均數(shù)的意義．
15、
【解析】
用字母A、B、C、D分別表示等腰三角形、平行四邊形、菱形和圓，畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】
解：用字母A、B、C、D分別表示等腰三角形、平行四邊形、菱形和圓，
畫樹狀圖：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的結(jié)果數(shù)為6，
所以抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的概率．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．也考查了軸對稱圖形．
16、
【解析】
過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．
∵AD=1，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．
∴陰影部分的面積=平行四邊形ABCD的面積－扇形ADE面積－三角形CBE的面積
=.
故答案為：.
17、1
【解析】
過點(diǎn)C作CH∥AB交DE的延長線于點(diǎn)H，則，證明，可求出CH，再證明，由比例線段可求出t的值．
【詳解】
如下圖，過點(diǎn)C作CH∥AB交DE的延長線于點(diǎn)H，
則，
∵DF∥CH，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，解得t＝1，t＝（舍去），
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角形中的動點(diǎn)問題，熟練掌握三角形相似的相關(guān)方法是解決本題的關(guān)鍵.
三、解答題（共7小題，滿分69分）
18、15千米．
【解析】
首先設(shè)小張用騎公共自行車方式上班平均每小時行駛x千米，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：騎公共自行車方式所用的時間=自駕車方式所用的時間×4，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，再解即可．
【詳解】
：解：設(shè)小張用騎公共自行車方式上班平均每小時行駛x千米，根據(jù)題意列方程得：
=4×
解得：x=15，經(jīng)檢驗x=15是原方程的解且符合實際意義．
答：小張用騎公共自行車方式上班平均每小時行駛15千米．
19、證明見解析
【解析】
分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知的條件得出△EGD和△FHB全等，從而得出DG=BH，從而說明AG和CH平行且相等，得出四邊形AHCG為平行四邊形，從而得出答案．
詳解：證明：在?ABCD中，，
，又 ，≌，
，，又，
四邊形AGCH為平行四邊形， ．
點(diǎn)睛：本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及判定定理，屬于基礎(chǔ)題型．解決這個問題的關(guān)鍵就是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形AHCG為平行四邊形．
20、（1）該區(qū)抽樣調(diào)查的人數(shù)是2400人；（2）見解析，最喜歡“其它”讀物的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是度數(shù)21.6°；（3）估計最喜歡讀“名人傳記”的學(xué)生是4896人
【解析】
（1）由“科普知識”人數(shù)及其百分比可得總?cè)藬?shù)；
（2）總?cè)藬?shù)乘以“漫畫叢書”的人數(shù)求得其人數(shù)即可補(bǔ)全圖形，用360°乘以“其他”人數(shù)所占比例可得；
（3）總?cè)藬?shù)乘以“名人傳記”的百分比可得．
【詳解】
（1）840÷35%=2400（人），
∴該區(qū)抽樣調(diào)查的人數(shù)是2400人；
（2）2400×25%=600（人），
∴該區(qū)抽樣調(diào)查最喜歡“漫畫叢書”的人數(shù)是600人，
補(bǔ)全圖形如下：
×360°=21.6°，
∴最喜歡“其它”讀物的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是度數(shù)21.6°；
（3）從樣本估計總體：14400×34%=4896（人），
答：估計最喜歡讀“名人傳記”的學(xué)生是4896人．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖能夠清楚地表示各部分所占的百分比．
21、（1）12m；（2）
【解析】
（1）利用即可求解；
（2）通過三角形外角的性質(zhì)得出，則，設(shè)，則，在 中利用勾股定理即可求出BC,BD的長度，最后利用即可求解．
【詳解】
解：（1）在中，，
答：教學(xué)樓的高度為；
（2）
設(shè)，則，
故，
解得：，
則
故．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解直角三角形，掌握勾股定理及正切，余弦的定義是解題的關(guān)鍵．
22、
【解析】
原式去括號合并得到最簡結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計算即可求出值；
【詳解】
解：原式=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab
=a2+b2，
當(dāng)a=1、b=﹣時，
原式=12+（﹣）2
=1+
=．
【點(diǎn)睛】
考查了整式的加減-化簡求值，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
23、【發(fā)現(xiàn)】（3）的長度為；（2）重疊部分的面積為；【探究】：點(diǎn)P的坐標(biāo)為；或或；【拓展】t的取值范圍是或，理由見解析．
【解析】
發(fā)現(xiàn)：（3）先確定出扇形半徑，進(jìn)而用弧長公式即可得出結(jié)論；
（2）先求出PA=3，進(jìn)而求出PQ，即可用面積公式得出結(jié)論；
探究：分圓和直線AB和直線OB相切，利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論；
拓展：先找出和直角三角形的兩邊有兩個交點(diǎn)時的分界點(diǎn)，即可得出結(jié)論．
【詳解】
[發(fā)現(xiàn)]
（3）∵P（2，0），∴OP=2．
∵OA=3，∴AP=3，∴的長度為．
故答案為；
（2）設(shè)⊙P半徑為r，則有r=2﹣3=3，當(dāng)t=2時，如圖3，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，∴PA=r=3，設(shè)MP與AB相交于點(diǎn)Q．在Rt△ABO中，∵∠OAB=30°，∠MPN=60°．
∵∠PQA=90°，∴PQPA，∴AQ=AP×cs30°，∴S重疊部分=S△APQPQ×AQ．
即重疊部分的面積為．
[探究]
①如圖2，當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)C時，連接PC，則有PC⊥AB，PC=r=3．
∵∠OAB=30°，∴AP=2，∴OP=OA﹣AP=3﹣2=3；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）；

②如圖3，當(dāng)⊙P與直線OB相切于點(diǎn)D時，連接PD，則有PD⊥OB，PD=r=3，∴PD∥AB，∴∠OPD=∠OAB=30°，∴cs∠OPD，∴OP，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；
③如圖2，當(dāng)⊙P與直線OB相切于點(diǎn)E時，連接PE，則有PE⊥OB，同②可得：OP；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

[拓展]
t的取值范圍是2＜t≤3，2≤t＜4，理由：
如圖4，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時，與Rt△ABO的邊有一個公共點(diǎn)，此時t=2；
當(dāng)t＞2，直到⊙P運(yùn)動到與AB相切時，由探究①得：OP=3，∴t3，與Rt△ABO的邊有兩個公共點(diǎn)，∴2＜t≤3．
如圖6，當(dāng)⊙P運(yùn)動到PM與OB重合時，與Rt△ABO的邊有兩個公共點(diǎn)，此時t=2；
直到⊙P運(yùn)動到點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時，與Rt△ABO的邊有一個公共點(diǎn)，此時t=4；
∴2≤t＜4，即：t的取值范圍是2＜t≤3，2≤t＜4．
【點(diǎn)睛】
本題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形面積公式，作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．
24、（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直,理由見解析；（2）AB≠AC時，CF⊥BD的結(jié)論成立，理由見解析；（3）見解析
【解析】
（1）由∠ACB=15°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=15°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；得∠CAF=∠BAD．可證△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=15°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，可得出AC=AG，易證：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC=1 ，BC=3，CD=x，求線段CP的長．考慮點(diǎn)D的位置，分兩種情況去解答．①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，已知∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．即DQ=1-x，易證△AQD∽△DCP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解問題．②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動時，由∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1，則DQ=1+x．過A作AQ⊥BC交CB延長線于點(diǎn)Q，則△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解問題．
【詳解】
（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直；
證明如下：
∵AB=AC，∠ACB=15°，
∴∠ABC=15°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC時，CF⊥BD的結(jié)論成立．
理由是：
過點(diǎn)A作GA⊥AC交BC于點(diǎn)G，
∵∠ACB=15°，
∴∠AGD=15°，
∴AC=AG，
同理可證：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
（3）過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q，
①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時，
∵∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．
∴DQ=1﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動時，
∵∠BCA=15°，
∴AQ=CQ=1，
∴DQ=1+x．
過A作AQ⊥BC，
∴∠Q=∠FAD=90°，
∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，
∴∠ADQ=∠AFC′，
則△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
綜合性題型，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)全等、相似、正方形等知識點(diǎn).
成績
人數(shù)（頻數(shù)）
百分比（頻率）
0
5
0.2
10
5
15
0.4
20
5
0.1
甲
乙
丙
丁

7
8
8
7
s2
1
1.2
0.9
1.8

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