?2021-2022中考數(shù)學模擬試卷
注意事項
1．考生要認真填寫考場號和座位序號。
2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。
3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，點M為?ABCD的邊AB上一動點，過點M作直線l垂直于AB，且直線l與?ABCD的另一邊交于點N．當點M從A→B勻速運動時，設點M的運動時間為t，△AMN的面積為S，能大致反映S與t函數(shù)關系的圖象是（　?。?br />
A． B． C． D．
2．在﹣3，0，4，這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．
3．已知x=2是關于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一個解，則a的值為（　?。?br /> A．0 B．﹣1 C．1 D．2
4．下列運算中，正確的是（　?。?br /> A．（a3）2=a5 B．（﹣x）2÷x=﹣x
C．a(chǎn)3（﹣a）2=﹣a5 D．（﹣2x2）3=﹣8x6
5．如圖是用八塊相同的小正方體搭建的幾何體，它的左視圖是（ ）

A． B．
C． D．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點B經(jīng)過的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積是( )

A． B． C．- D．
7．∠BAC放在正方形網(wǎng)格紙的位置如圖，則tan∠BAC的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
8．如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判斷△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的是（ ）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
9．如圖，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，則∠CAC′為（　?。?br />
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．若，則x-y的正確結(jié)果是（ ）
A．－１ B．１ C．-5 D．5
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是_________．

12．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，BE與CD相交于點G，且OE=OD，則AP的長為__________．

13．已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長為60cm,腰長為50 cm，能從這塊鋼板上截得得最大圓得半徑為________cm
14．如圖所示，過y軸正半軸上的任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)的圖象交于點A和點B，若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC，則△ABC的面積為_________．
15．有一組數(shù)據(jù)：3，a，4，6，7，它們的平均數(shù)是5，則a＝_____，這組數(shù)據(jù)的方差是_____．
16．已知⊙O的半徑為5，由直徑AB的端點B作⊙O的切線，從圓周上一點P引該切線的垂線PM，M為垂足，連接PA，設PA=x，則AP+2PM的函數(shù)表達式為______，此函數(shù)的最大值是____，最小值是______．
三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）某校初三進行了第三次模擬考試，該校領導為了了解學生的數(shù)學考試情況，抽樣調(diào)查了部分學生的數(shù)學成績，并將抽樣的數(shù)據(jù)進行了如下整理．
（1）填空_______，_______，數(shù)學成績的中位數(shù)所在的等級_________．
（2）如果該校有1200名學生參加了本次模擬測，估計等級的人數(shù)；
（3）已知抽樣調(diào)查學生的數(shù)學成績平均分為102分，求A級學生的數(shù)學成績的平均分數(shù)．
①如下分數(shù)段整理樣本
等級等級
分數(shù)段
各組總分
人數(shù)



4


843



574



171
2
②根據(jù)上表繪制扇形統(tǒng)計圖

18．（8分）在數(shù)學課上，老師提出如下問題：

小楠同學的作法如下：

老師說：“小楠的作法正確．”
請回答：小楠的作圖依據(jù)是______________________________________________．
19．（8分）如圖，已知一次函數(shù)y=x+m的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象交于y軸上一點B，該二次函數(shù)的頂點C在x軸上，且OC=1．
（1）求點B坐標；
（1）求二次函數(shù)y=ax1+bx+c的解析式；
（3）設一次函數(shù)y=x+m的圖象與二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，求點P的坐標．

20．（8分）今年 3 月 12 日植樹節(jié)期間， 學校預購進 A、B 兩種樹苗，若購進 A種樹苗 3 棵，B 種樹苗 5 棵，需 2100 元，若購進 A 種樹苗 4 棵，B 種樹苗 10棵，需 3800 元．
（1）求購進 A、B 兩種樹苗的單價；
（2）若該單位準備用不多于 8000 元的錢購進這兩種樹苗共 30 棵，求 A 種樹苗至少需購進多少棵？
21．（8分）如圖，BC是路邊坡角為30°，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi)，CM∥AN）．求燈桿CD的高度；求AB的長度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：=1.1．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

22．（10分）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判定△ABC的形狀．
23．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P沿射線BD運動，連接AP，將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PQ．
(1)當點Q落到AD上時，∠PAB＝____°，PA＝_____，長為_____；
(2)當AP⊥BD時，記此時點P為P0，點Q為Q0，移動點P的位置，求∠QQ0D的大小；
(3)在點P運動中，當以點Q為圓心，BP為半徑的圓與直線BD相切時，求BP的長度；
(4)點P在線段BD上，由B向D運動過程(包含B、D兩點)中，求CQ的取值范圍，直接寫出結(jié)果．

24．如圖，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，直線DF是⊙O的切線，D為切點，交CB的延長線于點E．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．




參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1、C
【解析】
分析：本題需要分兩種情況來進行計算得出函數(shù)解析式，即當點N和點D重合之前以及點M和點B重合之前，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式．
詳解：假設當∠A=45°時，AD=2，AB=4，則MN=t，當0≤t≤2時，AM=MN=t，則S=，為二次函數(shù)；當2≤t≤4時，S=t，為一次函數(shù)，故選C．
點睛：本題主要考查的就是函數(shù)圖像的實際應用問題，屬于中等難度題型．解答這個問題的關鍵就是得出函數(shù)關系式．
2、C
【解析】
試題分析：根據(jù)實數(shù)的大小比較法則，正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，兩個負數(shù)相比，絕對值大的反而?。虼?，
在﹣3，0，1，這四個數(shù)中，﹣3＜0＜＜1，最大的數(shù)是1．故選C．
3、C
【解析】
試題分析：把方程的解代入方程，可以求出字母系數(shù)a的值．
∵x=2是方程的解，∴4﹣2﹣2a=0,∴a=1．
故本題選C．
【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義．
4、D
【解析】
根據(jù)同底數(shù)冪的除法、乘法的運算方法，冪的乘方與積的乘方的運算方法，以及單項式乘單項式的方法，逐項判定即可．
【詳解】
∵（a3）2=a6，
∴選項A不符合題意；
∵（-x）2÷x=x，
∴選項B不符合題意；
∵a3（-a）2=a5，
∴選項C不符合題意；
∵（-2x2）3=-8x6，
∴選項D符合題意．
故選D．
【點睛】
此題主要考查了同底數(shù)冪的除法、乘法的運算方法，冪的乘方與積的乘方的運算方法，以及單項式乘單項式的方法，要熟練掌握．
5、B
【解析】
根據(jù)幾何體的左視圖是從物體的左面看得到的視圖，對各個選項中的圖形進行分析，即可得出答案．
【詳解】
左視圖是從左往右看，左側(cè)一列有2層，右側(cè)一列有1層1，選項B中的圖形符合題意，
故選B．
【點睛】
本題考查了簡單組合體的三視圖，理解掌握三視圖的概念是解答本題的關鍵.主視圖是從物體的正面看得到的視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
6、A
【解析】
先根據(jù)勾股定理得到AB=，再根據(jù)扇形的面積公式計算出S扇形ABD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．
【詳解】
∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB=，
∴S扇形ABD=，
又∵Rt△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD?S△ABC=S扇形ABD=，
故選A.
【點睛】
本題考查扇形面積計算，熟記扇形面積公式，采用作差法計算面積是解題的關鍵.
7、D
【解析】
連接CD，再利用勾股定理分別計算出AD、AC、BD的長，然后再根據(jù)勾股定理逆定理證明∠ADC=90°，再利用三角函數(shù)定義可得答案．
【詳解】
連接CD，如圖：

，CD=，AC=
∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．
故選D．
【點睛】
本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及銳角三角函數(shù)定義，關鍵是證明∠ADC=90°．
8、C
【解析】
由∠A是公共角，利用有兩角對應相等的三角形相似，即可得A與B正確；又由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．
【詳解】
∵∠A是公共角，
∴當∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應相等的三角形相似），故A與B正確，不符合題意要求；
當AB：AD=AC：AB時，△ADB∽△ABC（兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似），故D正確，不符合題意要求；
AB：BD=CB：AC時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯誤，符合題意要求，
故選C．
9、A
【解析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC,∠BAC=∠BAC',再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等求出∠ACC=∠CAB,然后利用等腰三角形兩底角相等求出∠CAC,再求出∠BAB=∠CAC,從而得解
【詳解】
∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′為對應點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′為等腰三角形，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故選A．
【點睛】
此題考查等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，運用好旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵
10、A
【解析】
由題意，得
x-2=0，1-y=0，
解得x=2，y=1．
x-y=2-1=-1，
故選：A．

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11、1
【解析】
畫出圖形，設菱形的邊長為x，根據(jù)勾股定理求出周長即可．
【詳解】

當兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設這時菱形的邊長為xcm，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2=（8-x）2+22，
解得：x=,
∴4x=1，
即菱形的最大周長為1cm．
故答案是：1．
【點睛】
解答關鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長最大，然后根據(jù)圖形列方程．
12、4.1
【解析】
解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=1，
根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=1，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
設AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x，
∴CG=1﹣x，BG=1﹣（6﹣x）=2+x，
根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（1﹣x）2=（x+2）2，
解得：x=4.1，
∴AP=4.1；
故答案為4.1．

13、15
【解析】
如圖，等腰△ABC的內(nèi)切圓⊙O是能從這塊鋼板上截得的最大圓，則由題意可知：AD和BF是△ABC的角平分線，AB=AC=50cm，BC=60cm，
∴∠ADB=90°，BD=CD=30cm，
∴AD=（cm），
連接圓心O和切點E，則∠BEO=90°，
又∵OD=OE，OB=OB，
∴△BEO≌△BDO，
∴BE=BD=30cm，
∴AE=AB-BE=50-30=20cm，
設OD=OE=x，則AO=40-x，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得：，
解得：(cm).
即能截得的最大圓的半徑為15cm.
故答案為：15.

點睛：（1）三角形中能夠裁剪出的最大的圓是這個三角形的內(nèi)切圓；（2）若三角形的三邊長分別為a、b、c，面積為S，內(nèi)切圓的半徑為r，則.
14、1．
【解析】
設P（0，b），
∵直線APB∥x軸，
∴A，B兩點的縱坐標都為b，
而點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴當y=b，x=-，即A點坐標為（-，b），
又∵點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴當y=b，x=，即B點坐標為（，b），
∴AB=-（-）=，
∴S△ABC=?AB?OP=??b=1．
15、5 1．
【解析】
∵一組數(shù)據(jù)：3，a，4，6，7，它們的平均數(shù)是5，
∴，
解得，，
∴＝1.
故答案為5，1.
16、x2+x+20（0＜x＜10） 不存在．
【解析】
先連接BP，AB是直徑，BP⊥BM，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP，那么有△PMB∽△PAB，于是PM：PB=PB：AB，可求從而有（0＜x＜10），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求函數(shù)的最大值．
【詳解】
如圖所示，連接PB，
∵∠PBM=∠BAP，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB∽△PAB，
∴PM：PB=PB：AB，
∴
∴（0＜x＜10），
∵
∴AP+2PM有最大值，沒有最小值，
∴y最大值=
故答案為（0＜x＜10），，不存在．

【點睛】
考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等，綜合性比較強，需要熟練掌握.

三、解答題（共8題，共72分）
17、（1）6；8；B；（2）120人；（3）113分．
【解析】
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以求得本次抽查的人數(shù)，從而可以得到m、n的值，從而可以得到數(shù)學成績的中位數(shù)所在的等級；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得D等級的人數(shù)；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出A等級學生的數(shù)學成績的平均分數(shù)．
【詳解】
（1）本次抽查的學生有：（人），
，
數(shù)學成績的中位數(shù)所在的等級B，
故答案為：6，11，B；
（2）120（人），
答：D等級的約有120人；
（3）由表可得，
A等級學生的數(shù)學成績的平均分數(shù)：（分），
即A等級學生的數(shù)學成績的平均分是113分．
【點睛】
本題考查了扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
18、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的對角線互相平分；兩點確定一條直線．
【解析】
根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判斷四邊形ABCP為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分即可得到BD=CD，由此可得到小楠的作圖依據(jù)．
【詳解】
解：由作圖的步驟可知平行四邊形可判斷四邊形ABCP為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的
性質(zhì)：對角線互相平分即可得到BD=CD，
所以小楠的作圖依據(jù)是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的對角線互
相平分；兩點確定一條直線.
故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的對角線互相平分；兩點
確定一條直線．
【點睛】
本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．
19、（1）B（0，1）；（1）y=0.5x1﹣1x+1；（3）P1（1，0）和P1（7.15，0）；
【解析】
（1）根據(jù)y=0.5x+m交x軸于點A，進而得出m的值，再利用與y軸交于點B，即可得出B點坐標；（1）二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=1．得出可設二次函數(shù)y=ax1+bx+c=a（x﹣1）1，進而求出即可；（3）根據(jù)當B為直角頂點，當D為直角頂點時，分別利用三角形相似對應邊成比例求出即可．
【詳解】
（1）∵y=x+1交x軸于點A（﹣4，0），
∴0=×（﹣4）+m，
∴m=1，
與y軸交于點B，
∵x=0，
∴y=1
∴B點坐標為：（0，1），
（1）∵二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=1
∴可設二次函數(shù)y=a（x﹣1）1
把B（0，1）代入得：a=0.5
∴二次函數(shù)的解析式：y=0.5x1﹣1x+1；
（3）（Ⅰ）當B為直角頂點時，過B作BP1⊥AD交x軸于P1點
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴，
∴，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P1D⊥BD，連接BP1，
將y=0.5x+1與y=0.5x1﹣1x+1聯(lián)立求出兩函數(shù)交點坐標：
D點坐標為：（5，4.5），
則AD=，
當D為直角頂點時
∵∠DAP1=∠BAO，∠BOA=∠ADP1，
∴△ABO∽△AP1D，
∴， ，
解得：AP1=11.15，
則OP1=11.15﹣4=7.15，
故P1點坐標為（7.15，0）；
∴點P的坐標為：P1（1，0）和P1（7.15，0）．

【點睛】
此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及求函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知進行分類討論得出所有結(jié)果，注意不要漏解．
20、（1）購進 A 種樹苗的單價為 200 元/棵，購進 B 種樹苗的單價為 300 元/棵（2）A 種 樹苗至少需購進 1 棵
【解析】
（1）設購進A種樹苗的單價為x元/棵，購進B種樹苗的單價為y元/棵，根據(jù)“若購進A種樹苗3棵，B種樹苗5棵，需210元，若購進A種樹苗4棵，B種樹苗1棵，需3800元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設需購進A種樹苗a棵，則購進B種樹苗（30-a）棵，根據(jù)總價=單價×購買數(shù)量結(jié)合購買兩種樹苗的總費用不多于8000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【詳解】
設購進 A 種樹苗的單價為 x 元/棵，購進 B 種樹苗的單價為 y 元/棵，根據(jù)題意得： ，
解得： ．
答：購進 A 種樹苗的單價為 200 元/棵，購進 B 種樹苗的單價為 300 元/棵．
（2）設需購進 A 種樹苗 a 棵，則購進 B 種樹苗（30﹣a）棵，根據(jù)題意得：
200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥1．
∴A種樹苗至少需購進 1 棵．
【點睛】
本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量間的關系，正確列出一元一次不等式．
21、（1）10米；（2）11.4米
【解析】
（1）延長DC交AN于H．只要證明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解決問題.
【詳解】
（1）如圖，延長DC交AN于H，

∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）；
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH=≈=20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【點睛】
本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.
22、等腰直角三角形
【解析】
首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷△ABC的形狀．
【詳解】
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，
∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，
∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，
∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，
∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0
得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，
即△ABC為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
考點：勾股定理的逆定理．
23、 (1)45，，π；(2)滿足條件的∠QQ0D為45°或135°；(3)BP的長為或；(4)≤CQ≤7.
【解析】
(1)由已知，可知△APQ為等腰直角三角形，可得∠PAB，再利用三角形相似可得PA，及弧AQ的長度；
(2)分點Q在BD上方和下方的情況討論求解即可．
(3)分別討論點Q在BD上方和下方的情況，利用切線性質(zhì)，在由(2)用BP0表示BP，由射影定理計算即可；
(4)由(2)可知，點Q在過點Qo，且與BD夾角為45°的線段EF上運動，有圖形可知，當點Q運動到點E時，CQ最長為7，再由垂線段最短，應用面積法求CQ最小值．
【詳解】
解：(1)如圖，過點P做PE⊥AD于點E

由已知，AP＝PQ，∠APQ＝90°
∴△APQ為等腰直角三角形
∴∠PAQ＝∠PAB＝45°
設PE＝x，則AE＝x，DE＝4﹣x
∵PE∥AB
∴△DEP∽△DAB
∴=
∴=
解得x＝
∴PA＝PE＝
∴弧AQ的長為?2π?＝π．
故答案為45，，π．
(2)如圖，過點Q做QF⊥BD于點F

由∠APQ＝90°，
∴∠APP0+∠QPD＝90°
∵∠P0AP+∠APP0＝90°
∴∠QPD＝∠P0AP
∵AP＝PQ
∴△APP0≌△PQF
∴AP0＝PF，P0P＝QF
∵AP0＝P0Q0
∴Q0D＝P0P
∴QF＝FQ0
∴∠QQ0D＝45°．
當點Q在BD的右下方時，同理可得∠PQ0Q＝45°，
此時∠QQ0D＝135°，

綜上所述，滿足條件的∠QQ0D為45°或135°．
(3)如圖當點Q直線BD上方，當以點Q為圓心，BP為半徑的圓與直線BD相切時
過點Q做QF⊥BD于點F，則QF＝BP

由(2)可知，PP0＝BP
∴BP0＝BP
∵AB＝3，AD＝4
∴BD＝5
∵△ABP0∽△DBA
∴AB2＝BP0?BD
∴9＝BP×5
∴BP＝
同理，當點Q位于BD下方時，可求得BP＝
故BP的長為或
(4)由(2)可知∠QQ0D＝45°

則如圖，點Q在過點Q0，且與BD夾角為45°的線段EF上運動，
當點P與點B重合時，點Q與點F重合，此時，CF＝4﹣3＝1
當點P與點D重合時，點Q與點E重合，此時，CE＝4+3＝7
∴EF＝==5
過點C做CH⊥EF于點H
由面積法可知
CH＝==
∴CQ的取值范圍為：≤CQ≤7
【點睛】
本題是幾何綜合題，考查了三角形全等、勾股定理、切線性質(zhì)以及三角形相似的相關知識，應用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．
24、（1）證明見解析；（2）tan∠CBG=．
【解析】
（1）連接OD，CD，根據(jù)圓周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得D為AB的中點，所以OD是中位線，由三角形中位線性質(zhì)得：OD∥AC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）如圖，連接BG，先證明EF∥BG，則∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．
【詳解】
解：（1）證明：連接OD，CD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位線
∴OD∥AC，
∵DF為⊙O的切線，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如圖，連接BG，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
∵S△ABC=，即6×4=5BG，
∴BG=，
由勾股定理得：CG=，
∴tan∠CBG=tan∠E=.

【點睛】
本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)及勾股定理的應用；把所求角的正切進行轉(zhuǎn)移是基本思路，利用面積法求BG的長是解決本題的難點．

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