知識要點與學法指導(dǎo)：
分數(shù)四則混合運算中，既要按照四則運算的順序進行計算，同時又要依據(jù)數(shù)據(jù)的特點，靈活運用四則運算的定律、性質(zhì)及和、差、積、商的變化規(guī)律使計算簡便合理。有時還要運用一些計算技巧達到簡算的目的。本講重點介紹的簡算技法有：
1. 定律、性質(zhì)法：直接運用一些定律、性質(zhì)、規(guī)律使計算變得簡便。
2. 數(shù)字變形法：從數(shù)字特點出發(fā)，通過聯(lián)想變形，巧妙運用運算性質(zhì)、規(guī)律達到簡算目的。
3. 約分法：提取分子、分母中相同的因數(shù)進行約分，從而使計算簡便。
例1 計算：(1)2003÷2003 EQ \F(2003,2004) (2) EQ \F(498×381+382,382×498－116)
【分析與解】
觀察這兩道題的數(shù)字特點，第(1)題中的2003 EQ \F(2003,2004) 化為假分數(shù)時，把分子用兩個數(shù)相乘的形式表示，則便于約分和計算，另外，本題還可以利用商不變的性質(zhì)，把被除數(shù)、除數(shù)同時縮小203倍，計算更簡便。第(2)題可以考慮將分子變形，498×381＋382＝498×(382－1)＋382＝498×382－498＋382＝498×382－116，這樣使原式的分子、分母相同，從而簡化計算。
(1) 解法一： 2003÷2003 EQ \F(2003,2004)
＝ 2003÷ EQ \F(2003×2004+2003,2004)
＝ 2003× EQ \F(2004,2003×2005)
＝ EQ \F( 2004, 2005)
解法二： 2003÷2003 EQ \F(2003,2004)
＝（2003÷2003）÷（2003 EQ \F(2003,2004) ÷2003）
＝1÷1 EQ \F(1,2004)
＝ EQ \F( 2004, 2005)
（2） EQ \F(498×381+382,382×498－116)
＝ EQ \F(498×(382－1)+382,382×498－116)
＝ EQ \F(498×382－498+382,382×498－116)
＝ EQ \F(498×382－116,382×498－116)
＝ 1
想一想：第(2)題中可以將分母變形嗎？
試一試1
計算：(1)2007÷2007 EQ \F(2007,2008) (2) EQ \F(2005+2004×2006,2005×2006－1)
例2 計算下面各題。
（1） EQ \F(454545×454454,545545×545454) （2）246× EQ \F(321963, 123369)
【分析與解】
這兩道題，構(gòu)思巧妙，要仔細觀察，抓住數(shù)字有規(guī)律地重復(fù)這這一特點，利用分解法巧妙解答。
（1） EQ \F(454545×454454,545545×545454)
＝ EQ \F(45×10101×454×1001,545×1001×54×10101)
＝ EQ \F(45×454,545×54)
＝ EQ \F(227,327)
（2）246× EQ \F(321963, 123369)
＝2×123× EQ \F(321×1003, 123×1003)
＝642
試一試2
（1） EQ \F(1,21) ＋ EQ \F(202,2121) ＋ EQ \F(50505,212121) ＋ EQ \F(13131313,21212121) （2） EQ \F(373737,737373) ×511
例3 計算1 EQ \F(1,3) － EQ \F(7,12) ＋ EQ \F(9,20) － EQ \F(11,30) ＋ EQ \F(13,42) － EQ \F(15,56)
【分析與解】
因為 EQ \F(7,12) ＝ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ， EQ \F(9,20) ＝ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ， EQ \F(11,30) ＝ EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,6) ……
所以
原式＝1 EQ \F(1,3) －（ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ）＋（ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）－（ EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,6) ）＋（ EQ \F(1,6) ＋ EQ \F(1,7) ）－（ EQ \F(1,7) ＋ EQ \F(1,8) ）
＝1 EQ \F(1,3) － EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) － EQ \F(1,5) － EQ \F(1,6) ＋ EQ \F(1,6) ＋ EQ \F(1,7) － EQ \F(1,7) － EQ \F(1,8)
＝1－ EQ \F(1,8)
＝ EQ \F(7,8)
試一試3
1 EQ \F(1,4) － EQ \F(9,20) ＋ EQ \F(11,30) － EQ \F(13,42) ＋ EQ \F(15,56)
例4 計算： EQ \F(1,1×2×3) ＋ EQ \F(1,2×3×4) ＋……＋ EQ \F(1,8×9×10) ＋ EQ \F(1,9×10×11)
【分析與解】
這道題同樣可以利用裂項法把每個加數(shù)分解成兩個分數(shù)之差，并且前一個數(shù)裂項后的減數(shù)與后一個數(shù)裂項后的被減數(shù)相同，這樣可以前后抵消，化繁為簡。
因為 EQ \F(1,1×2×3) ＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,1×2) － EQ \F(1,2×3) )
EQ \F(1,2×3×4) ＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,2×3) － EQ \F(1,3×4) )
EQ \F(1,8×9×10) ＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,8×9) － EQ \F(1,9×10) )
EQ \F(1,9×10×11) ＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,9×10) － EQ \F(1,10×11) )
這樣就達到了裂項簡算的目的。
EQ \F(1,1×2×3) ＋ EQ \F(1,2×3×4) ＋……＋ EQ \F(1,8×9×10) ＋ EQ \F(1,9×10×11)
＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,1×2) － EQ \F(1,2×3) )＋ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,2×3) － EQ \F(1,3×4) )＋……＋ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,8×9) － EQ \F(1,9×10) )＋ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,9×10) － EQ \F(1,10×11) )
＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,1×2) － EQ \F(1,2×3) ＋ EQ \F(1,2×3) － EQ \F(1,3×4) ＋……＋ EQ \F(1,8×9) － EQ \F(1,9×10) ＋ EQ \F(1,9×10) － EQ \F(1,10×11) )
＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,1×2) － EQ \F(1,10×11) )
＝ EQ \F(27,110)
一般地，分母是三個連續(xù)自然數(shù)a、b 、c的乘積時（且a＜b＜c)我們通常先把它們裂項為分母是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積的形式：
EQ \F(1,a×b×c) ＝ EQ \F(1,2) ×( EQ \F(1,a×b) － EQ \F(1,b×c) )
試一試4
計算： EQ \F(1,2×3×4) ＋ EQ \F(1,3×4×5) ＋……＋ EQ \F(1,8×9×10)
練習十
1． （ EQ \F(2,29) ＋ EQ \F(3,23) ）×29×23
2．2008÷2008 EQ \F(2008,2009)
3．198÷198 EQ \F(198,199) ＋ EQ \F(1,200)
4． EQ \F(987×655－321,666+987×654)
5． EQ \F(1988+1989×1987,1988×1989－1)
6．4.44÷4 EQ \F(5,8) ＋ EQ \F(31,37) ÷ EQ \F(25,111) ＋ EQ \F(36,37) ×4 EQ \F(11,25)
7． EQ \F(252525×252252,525525×525252)
8． EQ \F(123+123123+123123123,234+234234+234234234)
9．1 EQ \F(3,4) ＋［2 EQ \F(3,14) －（2 EQ \F(3,14) －1.875）］× EQ \F(7,15)
10．1－ EQ \F(5,6) ＋ EQ \F(7,12) － EQ \F(9,20) ＋ EQ \F(11,30) － EQ \F(13,42) ＋ EQ \F(15,56) － EQ \F(17,72) ＋ EQ \F(19,90)
11．1 EQ \F(1,3) － EQ \F(7,12) ＋ EQ \F(9,20) － EQ \F(11,30) ＋ EQ \F(13,42) － EQ \F(15,56) ＋ EQ \F(17,72)
12． EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(3,4) ＋ EQ \F(2,5) ＋ EQ \F(5,7) ＋ EQ \F(7,8) ＋ EQ \F(9,20) ＋ EQ \F(10,21) ＋ EQ \F(11,24) ＋ EQ \F(19,35)
13．計算： EQ \F(3,2) － EQ \F(5,6) ＋ EQ \F(7,12) － EQ \F(9,20) ＋ EQ \F(11,30) － EQ \F(13,42)
14．計算： EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,6) ＋ EQ \F(1,12) ＋ EQ \F(1,20) ＋ EQ \F(1,30) ＋ EQ \F(1,42) ＋ EQ \F(1,7)
15．計算： EQ \F(2,3) ＋ EQ \F(2,15) ＋ EQ \F(2,35) ＋ EQ \F(2,63) ＋ EQ \F(2,99) ＋ EQ \F(2,143)
16．計算：1＋2 EQ \F(1,6) ＋3 EQ \F(1,12) ＋4 EQ \F(1,20) ＋5 EQ \F(1,30) ＋6 EQ \F(1,42) ＋7 EQ \F(1,56) ＋8 EQ \F(1,72) ＋9 EQ \F(1,90)
17．計算：1＋ EQ \F(1,1×2) ＋2＋ EQ \F(1,2×3) ＋3＋ EQ \F(1,3×4) ＋……＋98＋ EQ \F(1,98×99)
18．計算：
（1） EQ \F(1,1×2×3) ＋ EQ \F(1,2×3×4) ＋ EQ \F(1,3×4×5) ＋……＋ EQ \F(1,18×19×20)
（2） EQ \F(2,1×2×3) ＋ EQ \F(2,2×3×4) ＋ EQ \F(2,3×4×5) ＋……＋ EQ \F(2,28×29×30)
（3） EQ \F(1,1×2×3×4) ＋ EQ \F(1,2×3×4×5) ＋……＋ EQ \F(1,11×12×13×14)

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