?北師大版七年級數(shù)學下冊《第1章整式的乘除》2021年暑假復(fù)習鞏固
優(yōu)生提升訓(xùn)練1（附答案）
1．如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么這個正整數(shù)就稱為“智慧數(shù)”，例如：5＝32﹣22，5就是一個智慧數(shù)，則下列各數(shù)不是智慧數(shù)的是（　?。?br /> A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．若x滿足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，則（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（　?。?br /> A．﹣1006 B．﹣1007 C．﹣1008 D．﹣1009
3．納米（nm）是長度的單位，1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，如果將在2022年底攻克20nm工藝芯片技術(shù)的難關(guān)，其中20nm等于（　?。?br /> A．2.0×10﹣5mm B．2.0×10﹣6mm C．2.0×10﹣7mm D．20×10﹣5mm
4．要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展開式中不含x2項，則a的值等于（　?。?br /> A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14
5．已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，則用x表示y的結(jié)果正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．7﹣x
6．在矩形ABCD內(nèi)將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（圖1和圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2．當AD﹣AB＝4時，S2﹣S1的值為（　　）

A．4a B．4b C．4a﹣4b D．5b
7．有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖甲，將A，B并排放置后構(gòu)造新的正方形如圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為和，則正方形A，B的面積之和為（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
8．如圖，矩形ABCD的周長是10cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2，那么矩形ABCD的面積是（　?。?br />
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
9．若4x2﹣（k﹣1）xy+9y2是關(guān)于x的完全平方式，則k＝　 ?。?br /> 10．若a+b＝1，則a2﹣b2+2b﹣2＝　 ?。?br /> 11．已知，則（a+3b﹣1）3的值為 　 ?。?br /> 12．已知6x＝192，32y＝192，則（﹣6）（x﹣1）（y﹣1）+2的值為　 ?。?br /> 13．計算：已知10x＝20，10y＝50﹣1，求4x÷22y＝　 ?。?br /> 14．已知x2n＝3，則（x3n）2﹣（x2）2n的值為　 ?。?br /> 15．設(shè)M＝（x﹣2）（x﹣5），N＝（x﹣3）（x﹣4），則M　 　N．（填＜，＝，＞）
16．若（a﹣3）a+1＝1，則a＝　 ?。?br /> 17．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2021年1月的日歷，我們?nèi)我膺x擇其中如圖所示的方框部分，將每個方框部分中4個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，結(jié)果都是一個常數(shù)，這個常數(shù)是　 　．

18．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是　 　．


19．先化簡，再求值：[（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a，其中a＝2021，b＝1．

20．觀察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根據(jù)上面各式的規(guī)律可得（　 ?。拢▁﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用規(guī)律完成下列問題：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝　 　；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．

21．（1）先化簡，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2019，y＝2020；
（2）已知（2a﹣1）2+|b+3|＝0，求[（a2+b2）﹣（a﹣b）2+2b（a﹣b）]÷（﹣2b）的值．


22．乘法公式的探究及應(yīng)用．

（1）如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個長方形，面積是　 ??；如圖2，陰影部分的面積是　 ?。槐容^圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到公式　 ?。?br /> （2）運用你所得到的公式，計算下列各題：
①10.2×9.8；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．


23．（閱讀理解）“若x滿足（70﹣x）（x﹣20）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值”．
解：設(shè)（70﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
則（70﹣x）（x﹣20）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
那么（70﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝502﹣2×30＝2440．
（解決問題）
（1）若x滿足（40﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（40﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
（3）如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝14，CG＝30，長方形EFGD的面積是500，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）．

24．探究活動：

（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是　 　（寫成兩數(shù)平方差的形式）；
（2）如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是　 　（寫成多項式乘法的形式）；
（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式　 　．
知識應(yīng)用：運用你得到的公式解決以下問題：
（4）計算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．

25．閱讀：若x滿足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：設(shè)（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，則（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝　 　，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝　 　，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝　 　．
請仿照上例解決下面的問題：
（1）補全題目中橫線處；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（3）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（x﹣2020）的值；
（4）如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝25，長方形EFGD的面積是400，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．


參考答案
1．解：除1外，所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)，所以，B，D選項都是智慧數(shù)，不符合題意；
除4外，所有的能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)，所以A選項是智慧數(shù)，不符合題意，C選項不是智慧數(shù)，符合題意．
故選：C．
2．解：設(shè)2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，則（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，
所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（12﹣2019）＝﹣1009；
故選：D．
3．解：因為1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，
所以20nm＝20×10﹣3×10﹣3＝2.0×10﹣5nm．
故選：A．
4．解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）
＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20
＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，
∵展開式中不含x2項，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
故選：A．
5．解：∵x＝1+7n，
∴7n＝x﹣1，
∴y＝1+
＝1+
＝，
故選：C．
6．解：由圖可得，
S1＝AD?AB﹣a2﹣b（AD﹣a），
S2＝AD?AB﹣a2﹣b（AB﹣a），
S2﹣S1
＝[AD?AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD?AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]
＝AD?AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD?AB+a2+b（AD﹣a）
＝﹣b?AB+ab+b?AD﹣ab
＝b（AD﹣AB），
∵AD﹣AB＝4，
∴b（AD﹣AB）＝4b，
即S2﹣S1＝4b，
故選：B．
7．解：設(shè)A的邊長為x，B的邊長為y，
由甲、乙陰影面積分別是、可列方程組，
將②化簡得2xy＝③，
由①得，將③代入可知x2+y2＝3.5．
故選：B．
8．解：設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，
∵正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周長是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面積為：xy＝4cm2，
故選：B．
9．解：∵4x2﹣（k﹣1）xy+9y2＝（2x）2﹣（k﹣1）xy+（3y）2，
∴（k﹣1）xy＝±2×2x×3y，
解得k﹣1＝±12，
∴k＝13，k＝﹣11．
故答案為：13或﹣11．
10．解：∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b﹣2
＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2
＝a﹣b+2b﹣2
＝a+b﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案為：﹣1．
11．解：∵8b＝（23）b＝23b＝，2a＝5，
∴2a+3b＝2a?23b＝5×＝＝2﹣1，
∴a+3b＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣1）3＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案為：﹣8．
12．解：∵6x＝192，
∴（6x）y＝192y．
即6xy＝192y①．
∵32y＝192，
∴（32y）x＝192x．
即32xy＝192x②．
①，②的兩邊分別相乘得：
6xy?32xy＝192y?192x．
∴（6×32）xy＝192x+y．
∴192xy＝192x+y．
∴xy＝x+y．
∴（﹣6）（x﹣1）（y﹣1）+2
＝（﹣6）（x﹣1）（y﹣1）×（﹣6）2
＝（﹣6）xy﹣（x+y）+1×36
＝（﹣6）×36
＝﹣216．
故答案為：﹣216．
13．解：∵10x＝20，10y＝50﹣1，
∴10x÷10y＝20÷50﹣1，
即10x﹣y＝1000＝103，
∴x﹣y＝3，
∴4x÷22y＝4x﹣y＝43＝64，
故答案為：64．
14．解：原式＝x6n﹣x4n
＝（x2n）3﹣（x2n）2
＝33﹣32
＝27﹣9
＝18．
故答案為：18．
15．解：M＝x2﹣5x﹣2x+10
＝x2﹣7x+10，
N＝x2﹣4x﹣3x+12
＝x2﹣7x+12，
M﹣N
＝（x2﹣7x+10）﹣（x2﹣7x+12）
＝x2﹣7x+10﹣x2+7x﹣12
＝﹣2＜0，
∴M＜N．
故答案為：＜．
16．解：當a+1＝0，a﹣3≠0時，a＝﹣1；
當a﹣3＝1時，a＝4；
當a﹣3＝﹣1時，a＝2，此時a+1＝3，不符合題意；
綜上，a＝﹣1或4．
故答案為：﹣1或4．
17．解：設(shè)四個數(shù)為a﹣7，a﹣6，a，a+1，
則（a﹣7）（a+1）﹣a（a﹣6）
＝a2+a﹣7a﹣7﹣a2+6a
＝﹣7，
a（a﹣6）﹣（a﹣7）（a+1）＝7，
故這個常數(shù)是7或﹣7，
故答案為：7或﹣7．
18．解：設(shè)大正方形的邊長為a，小正方形的面積為b，
根據(jù)題意得a2﹣b2＝40，
∴（a+b）（a﹣b）＝40；
∵S陰＝S△ACD﹣S△CDE，
∴S陰＝×CD×AB﹣×CD×BE
＝（a+b）a﹣（a+b）b
＝（a+b）（a﹣b）
∵（a+b）（a﹣b）＝40，
∴S陰＝×40
＝20．
故答案為：20．
19．解：[（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a
＝（a2﹣2ab+b2+a2﹣b2）÷2a
＝（2a2﹣2ab）÷2a
＝a﹣b，
當a＝2021，b＝1時，原式＝2021﹣1＝2020．
20．解：由題意得：xn+1﹣1；
（1）將x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1＝＝．
（2）將x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
＝＝．
21．解：（1）（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy
＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy
＝x2+y2﹣2xy
＝（x﹣y）2，
當x＝2019，y＝2020時，原式＝（2019﹣2020）2＝1；
（2）[（a2+b2）﹣（a﹣b）2+2b（a﹣b）]÷（﹣2b）
＝（a2+b2﹣a2+2ab﹣b2+2ab﹣2b2）÷（﹣2b）
＝（﹣2b2+4ab）÷（﹣2b）
＝b﹣2a，
∵（2a﹣1）2+|b+3|＝0，
∴2a﹣1＝0且b+3＝0，
解得：a＝，b＝﹣3，
當a＝，b＝﹣3時，原式＝﹣3﹣2×＝﹣4．
22．解：（1）圖1這個長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），面積為（a+b）（a﹣b）；
圖2陰影部分的面積為a2﹣b2；
根據(jù)圖1，圖2陰影部分的面積相等，可以得到公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案為：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①10.2×9.8
＝（10+0.2）×（10﹣0.2）
＝102﹣0.22
＝100﹣0.04
＝99.96；
②原式＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
23．解：（1）設(shè)（40﹣x）＝m，（x﹣10）＝n，
∴（40﹣x）（x﹣10）＝mm＝﹣10，
∴m+n＝（40﹣x）+（x﹣10）＝30，
∴（40﹣x）2+（x﹣10）2，
＝m2+n2，
＝（m+n）2﹣2mm，
＝302﹣2×（﹣10）
＝920；
（2）設(shè)2021﹣x＝c，2020﹣x＝d，
∴c2+d2＝（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，
∴c﹣d＝（201﹣x）﹣（2020﹣x）＝1，
∴2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4320，
∴cd＝2160，
即（2021﹣x）（2020﹣x）＝2160．
（3）∵正方形ABCD的邊長為x，AF＝14，CG＝30，
∴DE＝x﹣14，DG＝x﹣30，
∴（x﹣14）×（x﹣30）＝500，
設(shè)x﹣14＝a，x﹣30＝b，
∴ab＝500，a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30＝16，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝162+4x500＝2256，
.陰影部分的面積為：2256．
24．解：（1）陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2；
故答案為：a2﹣b2；
（2）拼成的長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），所以面積為（a+b）（a﹣b）；
故答案為：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]
＝（a+b）2﹣（2c）2
＝a2+2ab+b2﹣4c2；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）
＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]
＝b2﹣（2a﹣3c）2
＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．
25．解：（1）設(shè)（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，
則（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，
所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝400﹣60＝340；
故答案為：30，20，340；
（2）設(shè)30﹣x＝a，x﹣20＝b，則ab＝﹣10，a+b＝10，
∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣10）＝120；
（3）設(shè)2021﹣x＝m，2020﹣x＝n，則m2+n2＝2019，m﹣n＝1，
∵（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，
∴1＝2019﹣2mn，
∴mn＝1009，即（2021﹣x）（x﹣2020）＝﹣1009；
（4）由題意得：DE＝x﹣10，DG＝x﹣25，則（x﹣10）（x﹣25）＝400，
設(shè)a＝x﹣10，b＝x﹣25，則a﹣b＝15，ab＝400，
∴S陰＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝152+4×400＝1825

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