二次函數(shù)中線段和周長(zhǎng)問題
解決線段最值的方法：
首先設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)（通常是一個(gè)與所求線段關(guān)系密切的點(diǎn)的橫坐標(biāo)），通過題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）表示出有關(guān)線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段的長(zhǎng)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，進(jìn)而得到線段的最大值或最小值.
解決周長(zhǎng)問題的方法：
求線段和的最小值或周長(zhǎng)最小值時(shí)常想到用“對(duì)稱性質(zhì)”，主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形，解決兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問題.
例1.1如圖，拋物線 y=x2+bx＋c 過點(diǎn) A(3，0)，B(1，0)， 交 y 軸于點(diǎn) C，點(diǎn) P 是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 從 C 點(diǎn)沿拋物線向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) P 不與點(diǎn) A 重合)，過點(diǎn) P 作 PD∥y 軸交直線 AC 于點(diǎn) D.（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn) P 在運(yùn)動(dòng)的過程中線段 PD 長(zhǎng)度的最大值；（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使∣MA-MC∣最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
例1.2如圖，拋物線 的圖象過點(diǎn) A(4，0)，B(－4，－4)，且拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C，連接 AB，BC，AC.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn) P 是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，求△PBC 周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（3）若E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過E作y軸的平行線，分別交拋物線及x軸于F、D兩點(diǎn).請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)E，使DE=2DF？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
練1.1經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）的拋物線y=ax2+bx與x軸交于點(diǎn)B（4，0）和原點(diǎn)O，點(diǎn)P為二次函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D(a，0)(a>0)，并與直線OA交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上方時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的平行線與線段OA相交于點(diǎn)E，求△PCE周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)PC＝CO時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).．
練1.2 已知直線y=5x＋5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2＋4x＋c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)連接BC，點(diǎn)N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線段ND長(zhǎng)度的最大值;(3)若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2＋4x＋c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4，m)是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)F、E的坐標(biāo).
探究二次函數(shù)中的面積倍數(shù)的存在性問題，一般的解題步驟如下：
1.確定已知三角形的面積；2.假設(shè)點(diǎn)存在，用參數(shù)確定這個(gè)點(diǎn)與已知點(diǎn)圍成的三角形的面積關(guān)系；3.根據(jù)題目設(shè)倍數(shù)關(guān)系列方程；4.若方程有解，求解這個(gè)方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程無解，則不存在這樣的點(diǎn).
例2.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+2ax＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)△CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1∶2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
練2.1如圖，已知拋物線與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．(1)求拋物線的解析式； (2)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C、B不重合)過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S.①求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式及自變量 m的取值范圍；②當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，并求這個(gè)最大值；③直線BC能否把△BDF分成面積之比為2∶ 3的兩部分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
二次函數(shù)中特殊三角形存在性問題
1.探究直角三角形的存在性問題，具體做法如下：
（1）觀察圖形，判斷頂點(diǎn)是否確定，若不確定，則需分類討論；（2）結(jié)合題干，在圖中找出所有滿足條件的頂點(diǎn)，并畫出圖形；（3）設(shè)出含有題目參數(shù)的三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)或二次函數(shù)解析式使其含有一個(gè)參數(shù)；（4）根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中與線段的關(guān)系，表示出相關(guān)直角三角形每條邊的長(zhǎng)度，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出關(guān)系式，一般利用勾股定理或相似三角形建立等量關(guān)系，求出參數(shù).
2.探究等腰三角形存在性的解題方法一般為：
（1）用點(diǎn)坐標(biāo)表示三角形三邊長(zhǎng)的平方；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分別令三邊長(zhǎng)中兩兩相等，得到三個(gè)方程；（3）分別解這三個(gè)方程，若能得到方程有解，則這個(gè)解即為所求；若方程無解，在不存在這樣的三角形.
例3.1如圖，拋物線 與x軸交于A(－1，0)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D.（1）求拋物線的解析式；（2）求sin∠ABC的值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
例3.2如圖，已知拋物線 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線 x＝－1，且經(jīng)過 A(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B.（1）若直線 y＝mx＋n 經(jīng)過 B，C 兩點(diǎn)，求拋物線和直線 BC 的解析式； （2）在拋物線的對(duì)稱軸 x＝－1 上找一點(diǎn) M，使點(diǎn) M 到點(diǎn) A 的距離與到點(diǎn) C 的距離之和最小，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn) P 為拋物線的對(duì)稱軸 x＝－1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC 為直角三角形的點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
練3.1如圖，已知二次函數(shù) y＝－x2＋bx＋c(c>0)的圖象與x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)(點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè))，與 y 軸交于點(diǎn) C， 且 OB＝OC＝3，頂點(diǎn)為 M.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn) P 為線段 BM 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 PQ， 垂足為 Q，若 OQ＝m，四邊形 ACPQ 的面積為 S，求 S 關(guān)于m 的函數(shù)解析式，并寫出 m 的取值范圍；（3）探索：線段BM 上是否存在點(diǎn)N，使△NMC 為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
練3.2如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為D.（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖①，在x軸上找一點(diǎn)E，使得△CDE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖②，F(xiàn)為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題
探究平行四邊形的存在性問題，具體做法如下：
（1）假設(shè)結(jié)論成立；（2）找點(diǎn)：探究平行四邊形的存在性問題，一般是已知兩定點(diǎn)求未知點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí) 可以分兩種情況，以這兩點(diǎn)所構(gòu)成的線段為邊和對(duì)角線來討論：①以這兩點(diǎn)所構(gòu)成的線段為邊時(shí)，可以利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等，畫出符合題意的圖形；②以這兩點(diǎn)所構(gòu)成的線段為對(duì)角線時(shí)，則該線段的中點(diǎn)為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，畫出符合題意的圖形；（3）建立關(guān)系式并計(jì)算.根據(jù)以上分類畫出所有符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也可以利用拋物線的對(duì)稱性、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要具體情況具體分析，有時(shí)也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解.
例4.1如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，拋物線的對(duì)稱軸x＝1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E.（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使四邊形ABFC的面積為17？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）平行于DE的一條直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
練4.1如圖，拋物線 y＝－x2＋bx＋c 經(jīng)過 A(－1，0)，B(3， 0)兩點(diǎn)，且與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸 DE 交 x 軸于點(diǎn) E，連接 BD.（1）求經(jīng)過 A，B，C 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn) P 是線段 BD 上一點(diǎn)，當(dāng) PE＝PC 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （3）在(2)的條件下，過點(diǎn) P 作 PF⊥x 軸于點(diǎn) F，G 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，N 為直線 PF 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 F、M、N、G 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)．
二次函數(shù)中相似三角形存在性問題
探究相似三角形的存在性問題時(shí)，要具備分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，具體步驟如下：
（1）假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論，剔除不符合的情況.探究三角形相似時(shí)，當(dāng)沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，就要根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論：在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三組對(duì)應(yīng)角來分類討論，剔除不符合的對(duì)應(yīng)形式；（2）設(shè)未知量，求邊長(zhǎng).在每種情況下，直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并用所設(shè)的點(diǎn)坐標(biāo)表示出所求三角形的邊長(zhǎng)；（3）建立關(guān)系式，并計(jì)算.由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來（其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得未知量的值，再通過計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
例5.1如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐分別為(－1，0)、(0，－3)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，且DC＝DE，求點(diǎn) D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，直線DE上是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
練5.1如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，連接BC.點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，交直線BC于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)P在y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥直線l，垂足為F.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PC，PB.請(qǐng)問△PBC的面積S能否取得最大值？若能，請(qǐng)求出最大面積S，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
二次函數(shù)中與角度有關(guān)問題
探究角度問題，關(guān)鍵點(diǎn)往往是如何將角度問題轉(zhuǎn)化，一般我們通過銳角三角函數(shù)，相似或者特殊角的三角函數(shù)值及等腰三角形的性質(zhì)（等角對(duì)等邊），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為我們比較常見的類型來解答
例6.1拋物線 y＝－x2＋2x＋3 與 x 軸交于點(diǎn) A，B(A 在 B的左側(cè))，與 y 軸交于點(diǎn) C. （1）求直線 BC 的解析式； （2）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn) P，使∠APB＝∠ABC，利用圖①求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （3）點(diǎn) Q 在 y 軸右側(cè)的拋物線上，利用圖②比較∠OCQ 與∠OCA 的大小，并說明理由．
練6.1在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-6，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，-8），直線 與x、y軸交于點(diǎn)D、E．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直角三角形ODE的兩個(gè)銳角平分線的交點(diǎn)，求證：∠PDO+∠PEO=45°；（3）若在x軸上有一點(diǎn)H，滿足2∠HEB=∠DEO，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
1.已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為M（1，9），經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和直線AB的解析式．（2）在拋物線上A、M兩點(diǎn)之間的部分（不包含A、M兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2.如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點(diǎn)E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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