?第一篇 解三角形
專題04 解三角形中的中線、垂線、角平分線
常見考點
考點一 中線問題
典例1．中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且．
（1）求的大??；
（2）若的周長為，求邊上中線的長度．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再由角的范圍可求得答案；
（2）設(shè)，根據(jù)三角形的周長可求得，再在中，運(yùn)用余弦定理，可求得中線的長.
（1）
解：因為，
所以由正弦定理邊角互化得：，
因為，
所以，所以
因為，所以，，
所以，即，
所以
（2）
解：由（1）得為等腰三角形，設(shè)，
故，代入數(shù)據(jù)解得：，
因為的周長為，所以，解得，
所以,,
在中，，
所以，即，解得，
所以邊上中線的長度為.
變式1-1．已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且.
（1）求的大小；
（2）若的面積為，求邊上中線的長度.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再由角的范圍可求得答案；
（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式可求得，再在中，運(yùn)用余弦定理，可求得中線的長.
（1）
解：由正弦定理得，，R為外接圓半徑且 ，，，
因為，所以，所以，得，
所以，又，則，所以，得，所以；
（2）
解：由（1）得為等腰三角形，設(shè)，
則，解得，則，在中，，所以，即，解得，
所以邊上中線的長度為.
變式1-2．在中，，，分別是角，，的對邊，且.
（1）求；
（2）若，求的中線長度的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理可得，結(jié)合三角恒等變換可得結(jié)果；
（2）由題意可得，即，結(jié)合余弦定理及均值不等式可得結(jié)果.
（1）
因為，
所以，
即，
整理得，
因為，為三角形內(nèi)角，所以，，所以，，
所以，即，
又因為，所以；
（2）
因為，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，即，
所以，即，
即長度的最小值為.
變式1-3．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，點M是BC的中點.
（1）求A的值；
（2）若a＝，求中線AM長度的最大值.
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和三角恒等變換化簡b＝acos C＋csin A即得解；
（2）由余弦定理和基本不等式得b2＋c2≤6，由已知得＝，平方后利用基本不等式即得解.
（1）
解：因為b＝acos C＋csin A，
根據(jù)正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，
所以sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Csin A，
所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A，
所以cos Asin C＝sin Csin A.
因為sin C≠0，所以tan A＝.
又0＜A＜π，所以A＝.
（2）
解：在中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.
因為bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，
所以b2＋c2≤6.
因為AM是BC邊上的中線，
所以＝，兩邊平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時，中線AM的長度取得最大值.


考點二 垂線問題
典例2．設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若邊上的高為，求．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解.
（1）
解：由余弦定理，得， 所以，，
所以，，
又因為，所以，，則，
，因此，.
（2）
解：因為的面積，則，
由余弦定理，得，
所以，， 所以，.
變式2-1．在△ABC中內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.
（1）求角.
（2）若，求邊上的高.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理邊化角得，進(jìn)而得，故；
（2）由余弦定理得，再根據(jù)等面積法求解即可.
（1）
解：由題知，，
由正弦定理知，，
即.
又，且.
所以，
由于.
所以.
（2）
解：由余弦定理得：，解得.
又，，
所以.
變式2-2．在中，角，，的對邊分別為，，，且，三角形三邊上的高之比為.
（1）求的值；
（2）若為邊上一點，，，求的長.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
由于，則三邊，，上的高之比為，根據(jù)
，得出，并利用余弦定理求出的值；
利用中的值求出的值，進(jìn)而利用正弦定理求出的長.
（1）
解：由于，則三邊，，上的高之比為.
又因為，則.
設(shè)，則，，.
在中，由余弦定理得
.
（2）
解：將代入，得，
又，則.
在中，由正弦定理得，
則.
變式2-3．中，角，，的對邊分別為，，，邊上的高為.
（1）求；
（2）若的周長為4，求邊的長.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用等面積法，結(jié)合三角形的面積公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系，即可容易求得；
（2）由余弦定理，結(jié)合已知條件，即可容易求得.
（1）
由，可得，故，
又，解得：，又，
故.
（2）
若的周長為4，即可得：，又，
由余弦定理得：
解得：.

考點三 角平分線問題
典例3．在①②③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面橫線上，并解決問題.
問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足___________.
（1）求角A；
（2）若A的角平分線AD長為1，且，求的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）選①，先用正弦定理，再求解角；選②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；選③，先用正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式，再根據(jù)特殊三角函數(shù)值求解.
（2）由面積公式得，再用余弦定理得，再由轉(zhuǎn)化計算即可求解.
（1）
選①得，.
即，
則（舍）或
所以；
選②得，
即
由，
又，所以；
選③.得，
即，
因為，所以
又，所以.
（2）
由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值為.
變式3-1．已知在平面四邊形中，，，為的角平分線
（1）若，求的面積;
（2）若，求長.
【答案】
（1）
（2）6
【分析】
（1）根據(jù)題意，在三角形中由正弦定理得，進(jìn)而結(jié)合題意，在三角形中由余弦定理解得，在根據(jù)三角形面積公式計算即可；
（2）設(shè)，由于，故在三角形和三角形中，結(jié)合余弦定理解方程得.
（1）
解：在三角形中，由得
由正弦定理可得，即
所以
因為為的角平分線，所以，
因為，故為銳角，故為銳角，
故
在三角形中由余弦定理得
所以，解得或（舍） .
所以
（2）
解：設(shè)，則
在三角形中由余弦定理可得
在三角形中由余弦定理可得
因為
所以，解得或（舍）
綜上所述的長為6.
變式3-2．在△ABC中，點D在邊BC上，AD為∠A的角平分線，，.
（1）求的值；
（2）求邊AB的長.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用余弦定理可求，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式和倍角公式可求.
（2）利用可得關(guān)于的方程，從而可求邊AB的長.
（1）

在中，由余弦定理可得，
而為三角形內(nèi)角，故，
因為AD為∠A的角平分線，故.
（2）
因為，
所以，
故，
解得.
變式3-3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.
（1）求角C的大?。?br /> （2）設(shè)AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）先通過正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合兩角和與差的正弦公式將式子化簡，然后求得答案；
（2）在和中，分別運(yùn)用正弦定理，進(jìn)而求出，然后在中再次運(yùn)用正弦定理得到，最后通過三角形面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.
（1）
根據(jù)題意，由正弦定理可知：，則，因為，所以，則，而，于是.
（2）
由（1）可知，，在中，設(shè)，則，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.
于是，.即△ABC的面積的最小值為.


鞏固練習(xí)
練習(xí)一 中線問題
1．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的周長為，求邊上的中線的長.
【答案】
（1）或；
（2）﹒
【分析】
(1)結(jié)合正弦定理邊化角即可求解；
(2)求出△ABC的邊長，解△ACD即可﹒
（1）
∵，又由正弦定理得，∴，
則或；
（2）
∵C，∴，∴，
作于H，∵△ABC是等腰三角形，∴H為AB中點，CH為∠ACB平分線，
∴，設(shè)，
∴|，
∴，
取BC中點為D，在△ACD中，由余弦定理得，
即，解得，
∴BC邊上的中線長為﹒

2．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，S是該三角形的面積，且?
（1）求角A的大??；
（2）若角A為銳角，，求邊BC上的中線AD的長.
【答案】（1）（2）
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，降冪公式，二倍角公式將題中式子化簡為，再根據(jù)為三角形內(nèi)角即可求出；（2）根據(jù)角為銳角和（1）可得，然后根據(jù)三角形的面積公式再結(jié)合條件可求出的值，而求邊上中線的長有兩種思路，法一：由于為邊上的中線，則根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，然后兩邊平方即可求出也即為的長；法二 ：先根據(jù)利用余弦定理求出的值，再在和中兩次利用余弦定理即可求出的值.
試題解析：（1）原式?
???
??? ?
?? ?因?
?? （2）因A為銳角，則
??? 而面積?
??? 解法一：又由余弦定理，
??? 又，
??? 即?
??? 解法二：作CE平行于AB，并延長AD交CE地E，
??? 在△ACE中，
??? 又
??? 即
??? 這樣
3．在中，內(nèi)角的對邊長分別為，若.
（1）求角的大?。?br /> （2）若，求邊上的中線的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知等式可推導(dǎo)得到，由此可求得；
（2）在中，利用余弦定理和基本不等式可求得；在中，利用余弦定理可化簡整理得到，由可求得最大值.
【詳解】
（1），，又，；
（2）在中，由余弦定理得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），；
又，
在中，由余弦定理得：，
，
，即中線的最大值為.

4．在中，角，，所對的邊分別為，，，．
（1）求；
（2）若，求的中線的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1)先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理計算即得；
(2)用表示出，借助向量模的計算公式及均值不等式推理計算即得.
【詳解】
（1）在中，由正弦定理化為，即，
由余弦定理得，而，則，
所以；
（2）因是的中線，則，由(1)知，
于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取“=”，則，
所以的中線的最小值為.


練習(xí)二 垂線問題
5．在中，角，，的對邊分別為，，..
（1）求角；
（2）若，，求邊上的高.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理角化邊得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；
（2）由正弦定理得，再利用余弦定理求出，即得邊上的高．
【詳解】
（1）因為.
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以；
（2）由，得，
由余弦定理，得，因為，
解得，所以邊上的高為.
6．已知銳角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)=
（1）求證: tanA=2tanB
（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高CD.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）利用兩角和差的正弦公式求得，再結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合同角的基本關(guān)系求出，利用（1）的結(jié)論與兩角和的正切公式即可求出的值，然后結(jié)合平面圖形的幾何性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）證明：因為sin(A+B)=，sin(A- B)=，
所以,
，
所以，即；
（2）因為三角形ABC為銳角三角形，所以，又因為sin(A+B)=，所以，因此，所以，結(jié)合，因為，解得，又因為，又因為AB=3，所以，故AB邊上的高CD為.
7．在①；②；③
這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．
在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．且滿足．
（1）求；
（2）已知，的外接圓半徑為，求的邊上的高．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）（2）.
【分析】
選擇條件①：
（1）根據(jù)，由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角結(jié)合兩角和的正弦公式得到求解；
（2）結(jié)合（1）利用正弦定理得到c，再利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式求解．
選擇條件②：
（1）根據(jù)，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角結(jié)合兩角和的正弦公式得到求解；
（2）結(jié)合（1）利用正弦定理得到c，再利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式求解．
選擇條件③：
（1）根據(jù)，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角結(jié)合兩角和的正弦公式得到求解；
（2）結(jié)合（1）利用正弦定理得到c，再利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式求解．
【詳解】
選擇條件①：
（1）因為，
所以由正弦定理得，，
即，
故．
又，所以，所以，所以．
由，可得．
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得．
于是得的面積為，
所以．
選擇條件②：
（1）因為，
由正弦定理得，
即，于是
在中，，所以，
由，可得．
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得．
于是得的面積為，
所以．
選擇條件③：
（1）因為，
所以由正弦定理得，，
所以，
因為，所以，
所以，
由，可得．
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得．
于是得的面積為，
所以．
8．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．且滿足．
（1）求角的大??；
（2）已知，，求的邊上的高．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理將化為，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡可求出角，
（2）由余弦定理結(jié)合已知條件可得，再利用等面積法可求出的邊上的高
【詳解】
（1）因為，
由正弦定理得，
即，
因為，所以，
又，所以．
（2）由已知，，
由余弦定理得，
所以．
于是得的面積，
所以.

練習(xí)三 角平分線問題
9．已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，滿足.
（1）求；
（2）若，，角的角平分線交邊于點，求的長.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式以及三角形的內(nèi)角和即可求得角；
（2）利用余弦定理可得的值，進(jìn)而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解.
【詳解】
（1）由正弦定理化邊為角可得：
，
即
所以，
因為，所以
即.
因為，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入數(shù)據(jù)可得：即.
解得：或(舍).
所以，所以，
在中，由是的角平分線，得，
則，
在中，由正弦定理得：即，
可得：.
10．在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，角C的角平分線交AB于點D，且，，
（1）求角C；
（2）求c的值
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先用正弦定理把角化為邊，再用余弦定理即可求解；
（2）由可得，，然后與已知條件聯(lián)立求解，再用余弦定理即可求解
【詳解】
（1）因為，由正弦定理可得：
，即
由余弦定理可得：
，
因為，
所以；
（2）由，有
，
得，
由，解得，
由余弦定理得：


11．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求角；
（2）若角的角平分線交于點，，，求和的長度.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）由正弦定理得，結(jié)合為三角形內(nèi)角可得答案；
（2）到，的距離相等，設(shè)為，由，得，
由角平分線性質(zhì)得，由余弦定理得，再利用可得答案.
【詳解】
（1）由及正弦定理得
，
，
得，因為，
所以，
由為三角形內(nèi)角得；
（2）因為平分，則到，的距離相等，設(shè)為，
因為，
所以，
由角平分線性質(zhì)得，
所以，
因為，，
由余弦定理得，解得，
所以，
因為，
，
解得.

12．在中，角的對邊分別為，的面積為，且滿足.
（1）求角的大?。?br /> （2）設(shè)的角平分線交于，且，求線段的長.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理以及三角形的面積公式即可求解；
（2）在中求出角，再由正弦定理求出邊、，再由結(jié)合三角形的面積公式即可求解.
【詳解】
（1）在中，由余弦定理可得，所以
由三角形的面積公式可得，
因為，所以，
整理可得：，即，
因為，所以
（2）由（1）知：，為的角平分線，
所以，由可得
在中，由正弦定理可得：，即，
因為，
所以，，
由可得：

整理可得：，解得：，
所以線段的長為.




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