第七屆湖北省高三（4月）調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試卷2022.4本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定住置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上時(shí)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 設(shè)，則（）A.  B. C.  D. 【1題答案】【答案】B2. 若復(fù)數(shù)z的滿足(是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部是（）A. 1 B. 2 C. i D. 【2題答案】【答案】A3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式是（）
 A.  B. C.  D. 【3題答案】【答案】D4. 已知平行四邊形中，，則（）A. 9 B.  C. 18 D. 【4題答案】【答案】D5. 已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式中的系數(shù)為（）A160 B.  C. 60 D. 【5題答案】【答案】B 6. 在四棱錐中，平面，點(diǎn)M是矩形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，直線與平面所成的角為．記點(diǎn)M的軌跡長度為，則（）A.  B. 1 C.  D. 2【6題答案】【答案】C7. 已知、是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A.  B.  C.  D. 3【7題答案】【答案】C8. 已知函數(shù)，則使不等式成立的x的取值范圍是（）A.  B. C.  D. 【8題答案】【答案】D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知甲、乙兩個(gè)水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計(jì)如圖所示，則下列說法正確的是（）A. 甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差B. 若甲，乙兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)分別為，則C. 若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則D. 甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)【9題答案】【答案】BD 10. 定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（）A.  B. C. 若，則 D. 【10題答案】【答案】BD 11. 設(shè)動(dòng)直線交圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)C為圓心），則下列說法正確的有（）A. 直線l過定點(diǎn)B. 當(dāng)取得最小值時(shí)，C. 當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D. 的最大值為24【11題答案】【答案】AD 12. 在棱長為1的正方體中，已知為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別滿足，，其中，，，則（）A. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B. 當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C. 若直線與平面所成角的正弦值為，則D. 存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得平面【12題答案】【答案】ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若隨機(jī)變量，且，則等于_________．【13題答案】【答案】##14. 九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)．若，且則解下6個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為_________．【14題答案】【答案】6415. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B．設(shè)與相交于點(diǎn)D．若，且的面積為，則直線的斜率________，拋物線的方程為________．【15題答案】【答案】    ①.     ②. 16. 已知函數(shù)，若，則的最大值為_________．【16題答案】【答案】 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 如圖，在平面四邊形中，．（1）若，求；（2）若，求四邊形的面積．【17題答案】【答案】（1）（2） 19. 已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意均有恒成立，求的最小值．【19題答案】【答案】（1）（2）最小值為 21. 某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢．已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為．（1）求該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)人第四道工序前的次品率；（2）如果第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行人工抽查檢驗(yàn)．在芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為90%的條件下，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率．【21題答案】【答案】（1）（2） 23. 如圖在斜三棱柱中，，側(cè)面底面，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【23題答案】【答案】（1）證明見解析（2） 25. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知．①求證：直線恒過x軸上一定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為，求的最大值．【25題答案】【答案】（1）（2）①證明見解析；②2 27. 已知函數(shù)．（1）若不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：．【27題答案】【答案】（1）1 （2）證明見解析【分析】(1) 令，根據(jù)的范圍，求導(dǎo)得到，故只需討論的正負(fù)性，即可判斷的單調(diào)性(2)由（1）得，要證要證明，只需證，即證，再利用放縮，證明出，進(jìn)而把要證明的問題轉(zhuǎn)化為證明成立，最后再經(jīng)過放縮，把問題轉(zhuǎn)化為證明成立，最后，通過導(dǎo)數(shù)的方法，證明以上等式成立.【小問1詳解】令，則，設(shè)，則對(duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，存在唯一實(shí)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以．因?yàn)?/span>，所以，且．所以，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減所以，而依題意必有，所以，此時(shí)，所以若不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的值為1．【小問2詳解】方法一：借助第（1）問結(jié)論由（1）得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則．所以要證明，只需證，即證．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．所以，即．所以只需證，即證．①當(dāng)時(shí)，，不等式成立．②當(dāng)時(shí)，，不等式成立．所以，證畢，方法二：分別放縮設(shè)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，，所以．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，，所以，所以，即．所以當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?/span>，所以      

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