特殊平行四邊形是歷年中考必考內(nèi)容之一，題型以選擇題、填空題為主，更多以證明題、求值計(jì)算題及探索性問(wèn)題、幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題呈現(xiàn)，試題強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，突出能力，源于教材，變中求新，考察學(xué)生發(fā)散思維能力。
1．定義：有一個(gè)角是________的平行四邊形是矩形．2．性質(zhì)：(1)矩形的四個(gè)角都是________；(2)矩形的對(duì)角線互相平分且________；(3)矩形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是________對(duì)稱(chēng)圖形， 它有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，它的對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn)．3．判定：(1)有一個(gè)角是________的平行四邊形是矩形；(2)有_____個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(3)對(duì)角線________的平行四邊形是矩形．
考點(diǎn)一 矩形的定義、性質(zhì)和判定
考點(diǎn)二 菱形的定義、性質(zhì)和判定1．定義：有一組鄰邊________的平行四邊形是菱形． 2．性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都________，對(duì)角線互相________，并且每條對(duì)角線________一組對(duì)角；(2)菱形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．3．判定：(1)有一組鄰邊________的平行四邊形是菱形；(2) 四條邊都________的四邊形是菱形；(3)對(duì)角線互相________的平行四邊形是菱形．
1．定義： 有一個(gè)角是________的菱形是正方形或有一組鄰邊相等的________是正方形．2．性質(zhì)： (1)正方形四個(gè)角都是________，四條邊都________； (2)正方形兩條對(duì)角線________，并且互相________， 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角． (3)正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．3．判定： (1)有一個(gè)角是________的菱形是正方形； (2)有一組鄰邊________的矩形是正方形.
考點(diǎn)三 正方形的定義、性質(zhì)和判定：
考點(diǎn)四：矩形、菱形、正方形與平行四邊形的關(guān)系：
有一角為 且一組鄰邊
1.從定義揭示其聯(lián)系與區(qū)別：
2.從圖形來(lái)理解矩形、菱形、正方形與平行四邊形的包含關(guān)系：
1.矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.平行四邊形及特殊平行四邊形的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)比較多，要做到準(zhǔn)確而不混淆就要從“邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱(chēng)性”四個(gè)方面來(lái)研究它們的性質(zhì)和判定，多用數(shù)形結(jié)合法，熟練掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系，把握它們的特征是關(guān)鍵。
典例1　(矩形的判定與性質(zhì))如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.???
(1)求證：四邊形ABCD是矩形；∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB︰∠ODC＝4︰3，求∠ADO的度數(shù)．∠ADO＝36°.
典例2　(菱形的性質(zhì)與判定)如圖，將△ABC沿著AC邊翻折，得到△ADC，且AB∥CD.???
(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；四邊形ABCD是菱形．
(2)若AC＝16，BC＝10，求四邊形ABCD的面積．
典例3　如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn)．
(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說(shuō)明理由；四邊形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE，又∵∠DAF＋∠FAB＝90°，∴∠BAE＋∠FAB＝90°，∴∠FAE＝90°，在四邊形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的長(zhǎng)．DH＝17.
5．如圖，AD∥FE，點(diǎn)B，C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.(1)求證：四邊形BCEF是菱形；
(2)若AB＝BC＝CD，求證：△ACF≌△BDE.
　　　　　6．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿(mǎn)足PE＋PF＝9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是(　 )???A．0B．4 C．6D．8
例1. (1)下列命題中是真命題的是(　　)A ．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B ．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C ．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D ．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
【點(diǎn)撥】本組題綜合考查矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定
(3)如圖，在菱形ABCD中，AB＝15，∠ADC＝120°，則B、D兩點(diǎn)之間的距離為(　　)A．15　　　　　 B.C．7.5　　　　 D．15
例2．如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD.(1)試判斷四邊形OCED的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若AB＝6，BC＝8，求四邊形OCED的面積．
解：(1)四邊形OCED是菱形．理由：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形．又∵在矩形ABCD中，OC＝OD.∴四邊形OCED是菱形．
【點(diǎn)撥】本題綜合考查菱形的判定和面積的計(jì)算
【解答】(1)在等邊△ABC中，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝60°－30°＝30°.
例3.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE.(1)求∠CAE的度數(shù)；(2)取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形
【點(diǎn)撥】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)和矩形的判定
(2)由(1)知，∠EAF＝90°.由F為AB的中點(diǎn)∠CFA＝90°，∴CF∥EA.在等邊三角形ABC中，CF＝AD.在等邊三角形ADE中，AD＝EA，∴CF＝EA.∴四邊形AFCE為平行四邊形．又∵∠CFA＝90°，∴四邊形AFCE為矩形．
1.如圖，將邊長(zhǎng)為8 cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)度為(　　)A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
【點(diǎn)撥】本題綜合考查正方形、圖形折疊及直角三角形的性質(zhì)
2．如圖，在邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______cm(結(jié)果不取近似值)．
【點(diǎn)撥】本題綜合考查軸對(duì)稱(chēng)、正方形的對(duì)稱(chēng)性及直角三角形的性質(zhì)
【點(diǎn)撥】本題綜合考查菱形的判定和全等三角形的判定
3.如圖，AD∥FE，點(diǎn)B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.(1)求證：四邊形BCEF是菱形；(2)若AB＝BC＝CD，求證：△ACF≌△BDE
（1)證明：∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1，∴BF＝EF.∵BF＝BC，∴BC＝EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形．又∵BF＝BC，∴平行四邊形BCEF是菱形．
(2)證明：∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE.∴四邊形ABEF、四邊形CDEF均為平行四邊形．∴AF＝BE，F(xiàn)C＝ED，又∵AC＝2BC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SSS)．
4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：EO＝FO；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．(3)在(2)的條件下，當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？
證明：(1)∵M(jìn)N∥BC，∴∠FEC＝∠BCE.∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE，∴OE＝OC.同理可證OF＝OC，∴OE＝FO.
(2)解：當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．證明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝90°.由(1)得OE＝OF，又∵O為AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO.∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形．
解：(3)當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°時(shí)，在(2)的條件下，四邊形AECF是正方形．
【點(diǎn)撥】本題綜合考查矩形、正方形的判定
如圖所示，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)AE、CF.(1)求證：AF＝CE；(2)若AC＝EF，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論
扎實(shí)基礎(chǔ) 強(qiáng)化訓(xùn)練提高能力 中考必勝

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