大聯(lián)考2021—2022學(xué)年（下）高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.  B.  C.  D. 2. 已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的周長(zhǎng)為（）A. 9 B. 10 C. 12 D. 143. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. 1 B.  C.  D. 4. 一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為10，底面邊長(zhǎng)為，該四棱錐截去一個(gè)小四棱錐后得到一個(gè)正四棱臺(tái)，正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為5，則正四棱臺(tái)的高為（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 25. 已知為實(shí)數(shù)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件6. 如圖所示，已知是圓O的直徑，且，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）
 A. l B. 2 C. 4 D. 67. 半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖是一個(gè)半正多面體，它的表面由正方形和等邊三角形組成，它可由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到，且所有頂點(diǎn)都在該正方體的棱上，從正面觀察該圖形，得到的平面圖形為（）A.  B.  C.  D. 8. 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）①各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；②各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；④底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐．A B.  C.  D. 9. 下列命題正確是（）①若復(fù)數(shù)z滿足，則；②若復(fù)數(shù)z滿足，則z是純虛數(shù)；③若復(fù)數(shù)，滿足，則；④若復(fù)數(shù)，滿足且，則．A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③10. 如圖，一座垂直建于地面的信號(hào)發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點(diǎn)觀察該信號(hào)塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點(diǎn)觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計(jì)，則他的步行速度為（）A B.  C.  D. 11. 設(shè)平面向量滿足與的夾角為，則的最大值為（）A B.  C.  D. 12. 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，則球O的表面積為（）A.  B.  C.  D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，則的取值范圍是____________14. 有一塊空地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形（如圖所示），//，則這塊空地的實(shí)際面積為_______．15. 已知向量滿足，，則_______．16. 如圖所示，在平面四邊形中，已知，則的最大值為_______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17. 已知向量滿足與的夾角為．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求與的夾角的余弦值．19. 如圖，在中，，以C為圓心的圓弧與相切于點(diǎn)D，將陰影部分繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．20. 已知復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)滿足．（1）求z；（2）若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求復(fù)數(shù)的模．22. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B為銳角，且．（1）求B；（2）若的面積為，求外接圓的半徑．24. 如圖所示，正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為4和8．（1）若其側(cè)棱所在直線與上、下底面中心的連線夾角為，求該四棱臺(tái)的表面積；（2）若其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求該四棱臺(tái)的體積．參考公式：上下底面面積分別為，高為，26. 在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）證明：；（2）若，求面積的最大值． 
  
【1題答案】【答案】A【2題答案】【答案】B【3題答案】【答案】C【4題答案】【答案】B【5題答案】【答案】C【6題答案】【答案】D【7題答案】【答案】A【8題答案】【答案】D【9題答案】【答案】B【10題答案】【答案】D【11題答案】【答案】B【12題答案】【答案】D【13題答案】【答案】【14題答案】【答案】##【15題答案】【答案】-2【16題答案】【答案】56【17題答案】【答案】（1）（2）小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴，且，∴.【小問(wèn)2詳解】由題意得，∴，∴．∴，設(shè)與的夾角為，則．【19題答案】【答案】表面積為，體積為【詳解】如圖，連接，因?yàn)?/span>D是切點(diǎn)，是半徑，所以，由已知可得．陰影部分繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體，可以看作是一個(gè)圓錐挖去一個(gè)半球所得的幾何體，圓錐的底面半徑為2，高為，挖去的半球的半徑為．該幾何體的表面包含一個(gè)圓錐側(cè)面，一個(gè)半球面和一個(gè)圓環(huán)，所以其表面積，體積.【20題答案】【答案】（1）；（2）1.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，，所以，即，所以.【小問(wèn)2詳解】將代入已知方程可得，整理可得，所以，解得，所以，又，所以復(fù)數(shù)的模為1.【22題答案】【答案】（1）；（2）.【小問(wèn)1詳解】解：由，得．因?yàn)?/span>B為銳角，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由條件得，得，由余弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以，解得，設(shè)外接圓的半徑為R，則，所以.【24題答案】【答案】（1）；（2）.【小問(wèn)1詳解】設(shè)分別為正四棱臺(tái)上、下底面的中心，連接，過(guò)作于E，過(guò)E作于F，連接，如圖，則，為正四棱臺(tái)的斜高，依題意，在中，，，在等腰中，，在中，斜高，于是得正四棱臺(tái)側(cè)面積，而正四棱臺(tái)的上下底面面積分別為，，所以正四棱臺(tái)的表面積.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，解得，又，因此，，即四棱臺(tái)的高，所以正四棱臺(tái)的體積.【26題答案】【小問(wèn)1詳解】，即，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴，∴，即.【小問(wèn)2詳解】由已知得，,∴的面積，由余弦定理知，整理得，∴.當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．     

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