清單19平面向量的坐標運算及數(shù)量積一、知識與方法清單1.向量的坐標和這個向量的終點的坐標不一定相同．當且僅當向量的起點在原點時，向量的坐標才和這個終點的坐標相同．在平面直角坐標系中，平面內(nèi)的點、以原點為起點的向量、有序?qū)崝?shù)對三者之間建立一一對應(yīng)關(guān)系．關(guān)系圖如圖所示：【對點訓(xùn)練1】已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點B的坐標為(　　)A．(7,4)   B．(7,14)C．(5,4)   D．(5,14)2.向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模的坐標運算設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.【對點訓(xùn)練2】已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量等于(　　)A．(－7，－4)   B．(7,4)C．(－1,4)   D．(1,4)3.向量坐標的求法(1)若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.【對點訓(xùn)練3】已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為________．4.平面向量共線的坐標表示(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共線?x1y2－x2y1＝0.(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，則a∥b?＝.解讀：(1)用面向量共線的坐標表示解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)的個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點，程序化的特征.(2)兩向量的相應(yīng)坐標成比例，通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤.(3)已知兩個向量共線，求點或向量的坐標，求參數(shù)的值，求軌跡方程．要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).【對點訓(xùn)練4】已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝________.5.向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．【對點訓(xùn)練5】已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為________．6.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積 解讀：向量的數(shù)量積是一種新的乘法，和向量的線性運算有著顯著的區(qū)別，兩個向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量．學(xué)習(xí)時必須透徹理解數(shù)量積概念的內(nèi)涵．【對點訓(xùn)練6】已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　)A．－ B.C. D.7.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.【對點訓(xùn)練7】已知向量⊥，||＝3，則·＝________.8.平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數(shù))；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.【對點訓(xùn)練8】已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b夾角的正弦值為(　　)A．－B．－C.D.9.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離AB＝||＝.(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cosθ＝＝.【對點訓(xùn)練9】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a＝(－1,2)，又點A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤)．(1)若⊥a，且||＝||，求向量；(2)若向量與向量a共線，當k>4，且tsinθ取最大值4時，求·.10.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線．【對點訓(xùn)練10】若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________________．11.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.【對點訓(xùn)練11】若向量a，b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a＋b|等于(　　)A．2 B．2C．4 D．1212.利用求最值或范圍【對點訓(xùn)練12】若非零向量滿足,則的最小值為.13.建立直角坐標系求數(shù)量積的最值或范圍【對點訓(xùn)練13】已知平行四邊形中,,分別在邊上,,求的最大值與最小值14．轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求與數(shù)量積有關(guān)的最值或范圍【對點訓(xùn)練14】△ABC中,△ABC的外接圓O的半徑為1,若求的取值范圍.15．構(gòu)造幾何圖形求與數(shù)量積有關(guān)的最值或范圍【對點訓(xùn)練15】已知單位向量a,b滿足ab＝－,向量滿足,求的最大值.16.利用基本不等式求與數(shù)量積有關(guān)的最值或范圍17.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．【對點訓(xùn)練17】在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值．18.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【對點訓(xùn)練18】三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，延長BE交AC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠FDC.19. 用向量法處理有關(guān)直線平行、垂直、線段相等、點共線、線共點以及角度等問題時有獨到之處，且解法思路清晰、簡潔直觀．其基本方法是：(1)要證明線段AB＝CD，可轉(zhuǎn)化為證明||＝||.(2)要證明AB∥CD，只需證明存在一個不為零實數(shù)λ，使得＝λ，且A、B、C、D不共線即可．(3)要證明A、B、C三點共線，只需證明∥或∥.(4)要證明AB⊥CD，只需證明·＝0，或若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則用坐標證明x1x2＋y1y2＝0即可．【對點訓(xùn)練19】已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，上頂點為，若，.（1）求的標準方程；（2）若直線交于，兩點，設(shè)中點為，為坐標原點，，過點作，求證：為定值.20.向量有豐富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解決涉及上述物理量的合成與分解時，實質(zhì)就是向量的線性運算．物理上力的做功就是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一個實數(shù)，它可正可負，也可以為零．力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它實質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積．【對點訓(xùn)練20】質(zhì)量m＝2.0 kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿傾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距離．(1)分別求物體所受各力對物體所做的功；(2)在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數(shù)和是多少？二、跟蹤檢測一、單選題1．（2021屆江西省奉新縣高三三模）已知向量，，若向量與向量共線，則（    ）A． B． C． D．2．（2021屆山西省晉城市高三三模）若向量，，則（    ）A．-8 B．10 C．8 D．-103．（2022屆河南省九師聯(lián)盟高三6月摸底）已知平面向量，滿足，，與的夾角為60°，則（    ）A． B．3 C． D．54．（2021屆河北省高三鴻浩超級聯(lián)考）在菱形中，，，設(shè)，則（    ）A． B． C． D．05．已知非零向量滿足，向量的夾角為，且，則向量與的夾角為（    ）A． B． C． D．6．（2021屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三二模）在平行四邊形ABCD中，已知兩鄰邊滿足AD＝2AB＝2，且，E為BC的中點，是中點，則（    ）A．1 B． C． D．37．（2021屆重慶市第八中學(xué)高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試）如圖，在平面四邊形中，.若點E為邊上的動點，則的最小值為（    ）A． B．2 C． D．8．（2021屆重慶市第一中學(xué)高三下學(xué)期第二次月考）設(shè)G為△ABC的重心，若，則的取值范圍為（    ）A．（－80，160） B．（－80，40）C．（－40，80） D．（－160，80）9．已知向量，夾角為，向量滿足且 ，則下列說法正確的是（    ）A． B． C． D．10．（2021屆寧夏中衛(wèi)市高三第二次優(yōu)秀生聯(lián)考）已知，且，的夾角為，若向量，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．11．（2021屆浙江省寧波市高三5月仿真測試）已知平面非零向量滿足，則對于任意的使得（    ）A．恒有解 B．恒有解C．恒無解 D．恒無解二、多選題12．（2021屆遼寧省實驗中學(xué)高三考前模擬）已知平面向量，，且，的夾角是鈍角，則可以是（    ）A．-1 B． C． D．213．（2021屆福建省寧德市高三三模）已知向量，，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則（    ）A． B． C． D．14．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知為坐標原點，點，，，，則（    ）A． B．C． D．15．（2021屆河北省唐山市高三下學(xué)期3月調(diào)研）圖（1）是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的，如圖（2）所示，其中，，則（    ）A．B．C．與的夾角為D．16．已知P，Q分別為曲線和上的動點，且P，Q不重合．O為坐標原點，．記，則下列選項正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．當t取得最小值時，D．當取得最小值時，四邊形為正方形17．（2021屆山東省青島市高三三模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，為軸上的動點，則下列說法正確的是（    ）A．的最小值為2B．若，則的面積等于4C．若，則的最小值為5D．若，且與的夾角，則三、填空題18．已知平面向量，若向量在向量方向上的投影為，向量在向量方向上的投影為，且，則__________．19．設(shè)為單位向量，它們的夾角為，， (x，y∈R)，若，則的最小值為________．20．（2021屆上海市普陀區(qū)高三下學(xué)期高考調(diào)研）已知向量的夾角為銳角，且滿足?，若對任意的，都有|x+y|≤1成立，則的最小值為___________.四、解答題21．已知的角所對的邊分別是，設(shè)向量，，．（1）若∥，求角B的大?。?/span>（2）若，邊長，求的面積的最大值．22．已知空間向量列，如果對于任意的正整數(shù)n，均有，則稱此空間向量列為“等差向量列”，稱為“公差向量”；空間向量列，如果且對于任意的正整數(shù)n，均有，則稱此空間向量列為“等比向量列”，常數(shù)稱為“公比”．（1）若是“等比向量列”，為單位向量，求（用表示）（2）若是“等差向量列”，“公差向量”；是“等比向量列”，“公比”．求．23．在平面直角坐標系內(nèi)，已知拋物線的焦點為，為平面直角坐標系內(nèi)的點，若拋物線上存在點，使得，則稱為的一個“垂足點”.（1）若點有兩個“垂足點”為和，求點的坐標；（2）是否存在點，使得點有且僅有三個不同的“垂足點”，且點也是雙曲線上的點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
 

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