?河南省鄭州市金水區(qū)實驗中學2020-2021學年八年級下學期期中數(shù)學試題
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．
【詳解】解：A、是中心對稱圖形，故此選項合題意；
B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，是旋轉對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，是旋轉對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
2. 已知，則下列結論不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式的性質1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；根據(jù)不等式的性質逐一判斷各選項即可解題．
【詳解】A.
，
正確，故A不符合題意；
B.
，
錯誤，故B符合題意；
C.


正確，故C不符合題意；
D.

正確，故D不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查不等式的性質，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
3. 下列命題正確的是（ ）
A. 等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合
B. 在角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
C. 有一個角是60°的三角形是等邊三角形
D. 有兩邊及一邊的對角對應相等的兩個三角形全等
【答案】B
【解析】
【分析】由三線合一的條件可知A不正確，由三角形角平分線的性質可知B正確，由等邊三角形的判定可知C錯誤，根據(jù)全等三角形的判定判斷D錯誤，可得出答案．
【詳解】解：A. 等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的角平分線互相重合，原說法錯誤；
B. 在角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，原說法正確；
C. 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，原說法錯誤；
D. 有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，原說法錯誤．
故選：B．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質、角平分線的判定和三角形全等的判定．
4. 如圖，在中，已知點D在上，且，則點D在（ ）

A. 的垂直平分線上 B. 的平分線上
C. 的中點 D. 的垂直平分線上
【答案】A
【解析】
【分析】因為，，所以，點在的垂直平分線上，據(jù)此作答．
【詳解】解：∵，，
，
∴點在的垂直平分線上，
故選：A．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定，正確理解線段垂直平分線的判定定理是解此題的關鍵．
5. 下列因式分解正確的是（ ）
A. 3p2-3q2=（3p+3q）（p-q） B. m4-1=（m2+1）（m2-1）
C. 2p+2q+1=2（p+q）+1 D. m2-4m+4=（m-2）2
【答案】D
【解析】
【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分別因式分解分析得出答案．
【詳解】解：選項A：3p2?3q2＝3（p2?q2）＝3（p＋q）（p?q），不符合題意；
選項B：m4?1＝（m2＋1）（m2?1）＝m4?1＝（m2＋1）（m＋1）（m?1），不符合題意；
選項C：2p＋2q＋1不能進行因式分解，不符合題意；
選項D：m2?4m＋4＝（m?2）2，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
6. 不等式組的解集在數(shù)軸表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解每個不等式，然后把每個解集在數(shù)軸上表示出來．
【詳解】解：
解不等式①得：x≤2
解不等式②得：x＞-1
∴等式組的解集在數(shù)軸上表示為

故選：D．
【點睛】本題考查了不等式組的解法，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
7. 如圖，P（m，n）為△ABC內一點，△ABC經(jīng)過平移得到△A′B′C′，平移后點P與其對應點P'關于x軸對稱，若點B的坐標為（﹣2，1），則點B的對應點B′的坐標為（ ）

A. （﹣2，1﹣2n） B. （﹣2，1﹣n） C. （﹣2，﹣1） D. （m，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)P點坐標變化得到平移坐標公式，然后可以得到解答．
【詳解】解：由題意可得P'坐標為（m，-n），
∴平移坐標公式為：，
∴點B的對應點B'的坐標為：，
故選A ．
【點睛】本題考查平移的坐標變換，根據(jù)P點坐標的變換得到坐標平移公式是解題關鍵．
8. 如圖，在中，，是的平分線，若，，則為(? ? ? ? )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過D作于，根據(jù)角平分線的性質得出＝，再根據(jù)三角形的面積公式求出和的面積，最后求出答案即可.
【詳解】解：過點作于,
∵平分，（即），
∴，
設，
在中，，，，
∴，
∴，，
∴：,
故選：B.

【點睛】本題考查了角平分線性質和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質求出＝是解此題的關鍵.
9. 若m－n=－2，mn=1，則m3n+mn3=（　?。?br /> A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【詳解】試題解析：∵m?n=?2，mn=1，


則

故選A.
10. 如圖，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的動點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接BE，則BE的最小值是（ ）

A. -1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】過點C作CK⊥AB于點K，將線段CK繞點C逆時針旋轉90° 得到CH，連接HE,延長HE交AB的延長線于點J；通過證明△CKD≌△CHE (ASA)，進而證明所構建的四邊形CKJH是正方形，所以當點E與點J重合時，BE的值最小，再通過在Rt△CBK中已知的邊角條件，即可求出答案.
【詳解】如圖,過點C作CK⊥AB于點K，將線段CK繞點C逆時針旋轉90° 得到CH，連接HE,延長HE交AB的延長線于點J；

∵將線段CD繞點C逆時針旋轉90° ,得到線段CE
∴∠DCE=∠KCH = 90°
∵∠ECH=∠KCH - ∠KCE，∠DCK =∠DCE-∠KCE
∴∠ECH =∠DCK
又∵CD= CE，CK = CH
∴在△CKD和△CHE中

∴△CKD≌△CHE (ASA)
∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK
∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90°
∴四邊形CKJH正方形
∴CH=HJ=KJ=C'K
∴點E在直線HJ上運動，當點E與點J重合時，BE的值最小
∵∠A= 30°
∴∠ABC=60°
在Rt△CBK中， BC= 2,
∴CK = BCsin60°=，BK=BCcos60° = 1
∴KJ = CK =
所以BJ = KJ-BK=；
BE的最小值為.
故選A.
【點睛】本題主要考查了以線段旋轉為載體的求線段最短問題，正方形的構建是快速解答本題的關鍵.
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 當x _______時，分式有意義．
【答案】≠1
【解析】
【分析】要使分式有意義，分母不為0.
【詳解】當時，分母為0，無意義，所以要使分式有意義，.
12. 若關于 x 的二次三項式 x2+ (m + 1) x + 16 可以用完全平方公式進行因式分解，則m =_________
【答案】7 或-9
【解析】
【分析】根據(jù)完全平方公式，第一個數(shù)為x，第二個數(shù)為4，中間應加上或減去這兩個數(shù)積的兩倍．
【詳解】依題意，得
（m+1）x=±2×4x，
解得：m=7或-9．
故答案為7或-9．
【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式的結構特點是解題的關鍵．
13. 若關于x的不等式組的整數(shù)解共有3個，則m的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分別求出不等式組中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式組的解集，根據(jù)解集中整數(shù)解有3個，即可得到m的范圍．
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
∵不等式組的整數(shù)解有3個，
∴不等式組的整數(shù)解為4、5、6，
則．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，表示出不等式組的解集，根據(jù)題意找出整數(shù)解是解本題的關鍵．
14. 已知一個等腰三角形，其中一條腰上的高與另一條腰的夾角為25°，則該等腰三角形的頂角為________．
【答案】65°或115°
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)．
【詳解】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，


∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，即頂角的度數(shù)為65°．
②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，


∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BAC＝115°．
故答案為：65°或115°．
【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，等腰三角形的性質，關鍵在于正確的畫出圖形，認真的進行計算．
15. 如圖，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），以O旋轉中心，將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的倍，得到線段OP1；又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的倍，得到線段OP2；如此下去，得到線段OP3，OP4，…OPn（n為正整數(shù)），則點P2021的坐標是_______．

【答案】（-21010，-21010）
【解析】
【分析】根據(jù)各象限點的坐標特征和坐標軸上點的坐標特征，由 得到點P1的坐標為（1，1），由OP2=2得到點P2的坐標為（0，2），同樣由 得點P3的坐標為（-2，2），由OP4=4，則點P4的坐標為（-4，0），由 得到點P5的坐標為（-4，-4），每8個點一循環(huán)，由于2020=252×8+5，則點P2021的坐標特征與點P5一樣，然后利用OP2021=21010，易得點P2021的坐標．
【詳解】解：∵P0的坐標為（1，0），
∴OP0=1．
∴．
∴P1的坐標為（1，1）．
同理：OP2=2，
P2的坐標為（0，2）．，
P3的坐標為（-2，2）．
OP4=4，
P4的坐標為（-4，0）．，
點P5的坐標為（-4，-4），
而2021=252×8+5，
所以點P2021的坐標特征與點P5一樣，
而OP2021=21010，
所以點P2021的坐標為（-21010，-21010）．
故答案為（-21010，-21010）．
【點睛】此題主要考查了坐標的旋轉問題；得到相應的旋轉規(guī)律及OPn的長度的規(guī)律是解決本題的關鍵．
三、解答題（共8道小題，共55分）
16. 聰聰解不等式的步驟如下：
3（3x-1）+1≥2（4x+2），…①
9x-3+1≥8x-4，…②
9x-8x≥4+3-1，…③
x≥6，…④
（1）聰聰解不等式時從第 步開始出錯誤（只填寫序號）．聰聰由原不等式化為第一步所依據(jù)的數(shù)學原理是 ．
（2）完成此不等式的正確求解過程．
【答案】（1）①；不等式的基本性質2；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性質2可判定第一步錯誤；
（2）先去分母、去括號得到9x﹣3+6≥8x+4，然后移項、合并，最后把x的系數(shù)化為1即可．
【詳解】解：（1）聰聰?shù)慕獯疬^程是從第一步開始出錯的，出錯原因是去分母時漏乘常數(shù)項；聰聰由原不等式化為第一步所依據(jù)的數(shù)學原理是：不等式的性質2．
故答案為：一；不等式的性質2
（2）正確解答為：
1，
3（3x﹣1）+6≥2（4x+2）．
9x﹣3+6≥8x+4．
9x﹣8x≥4+3﹣6．
x≥1．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式：根據(jù)不等式的性質解一元一次不等式．
17. 求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．根據(jù)條件和結論，結合圖形，用符號語言補充寫出“已知”和“求證”．

已知：在中，為銳角，，______．
求證：______．
證明：______．
【答案】，，證明見解析．
【解析】
【分析】題目的已知條件是已知部分，題目的結論是求證部分，過點作于點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質解得，再利用同角的余角相等解題即可．
【詳解】解：已知：在中，為銳角，，．
求證：．
證明：過點作于點，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

【點睛】本題考查推理論證，涉及等腰三角形三線合一、等角的余角相等，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
18. 如圖，在直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．

（1）畫出△ABC關于原點O的中心對稱圖形△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞原點逆時針方向旋轉90°后的圖△A2B2C2．
（3）求△A2B2C2的面積．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；
（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出A、B、C的對應點A2、B2、C2即可；
（3）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△A2B2C2的面積．
【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；

（3）△A2B2C2的面積＝2×32×12×13×1．
【點睛】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．
19. 如圖，一次函數(shù)l1：y=2x-2的圖象與x軸交于點D，一次函數(shù)l2：y=kx+b的圖象與x軸交于點A，且經(jīng)過點B（3，1），兩函數(shù)圖象交于點C（m，2）．

（1）求m，k，b的值；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出1＜kx+b＜2x-2的解集．
【答案】（1）m=2；；（2）2＜x＜3．
【解析】
【分析】（1）點C在直線l1上，將點C（m，2）代入一次函數(shù)l1：y=2x-2即可求得，將點C（2，2）、B（3，1）代入直線解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求得的值；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出直線l1在直線l2上方部分x的取值范圍，結合l1．的函數(shù)值大于1的部分．
【詳解】解：（1）∵點C在直線l1：y=2x-2上，
∴2=2m-2，
解得m=2；
∵點C（2，2）、B（3，1）在直線l2上，
∴，解得：；
（2）圖象可得，
兩函數(shù)圖象交于點C（2，2）;
不等式組kx+b＜2x-2的解集為，
由（1）可知由直線l2的解析式為 ，
當時，，
1＜kx+b＜2x-2的解集為．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)交點問題及不等式，數(shù)形結合是解決此題的關鍵．
20. 先閱讀下面的解法，然后解答問題．
例：已知多項式3x3-x2+m分解因式的結果中有一個因式是（3x+1），求實數(shù)m．
解：設3x3-x2+m=（3x+1）?K（K為整式）
令（3x+1）=0，則x=-，得3（-）3-（-）2+m=0，∴m=
這種方法叫特殊值法，請用特殊值法解決下列問題．
（1）若多項式x2+mx-8分解因式的結果中有一個因式為（x-2），則實數(shù)m= ；
（2）若多項式x3+3x2+5x+n分解因式的結果中有一個因式為（x+1），求實數(shù)n的值；
（3）若多項式x4+mx3+nx-14分解因式的結果中有因式（x+1）和（x-2），求m，n的值．
【答案】（1）2；（2）n=3；（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干中的例題，因式分解，然后由特殊值法求得的值；
（2）根據(jù)題干中的例題，寫成因式分解的形式，然后由特殊值法求得的值；
（3）根據(jù)題干中的例題，寫成因式分解的形式，然后由特殊值法求得關于的方程組，求解方程組即可求得的值．
【詳解】解：（1）由題意得，x2+mx-8=（x-2）?K（K整式），
令x-2=0，則x=2，
把x=2代入x2+mx-8=0，
得，m=2，
故答案為：2；
（2）設：x3+3x2+5x+n=（x+1）?A（A為整式），
若x3+3x2+5x+n=（x+1）?A=0，則x+1=0或A=0，
當x+1=0時，x=-1．
則x=-1是方程x3+3x2+5x+n=0的解，
∴（-1）3+3×（-1）2+5×（-1）+n=0，即-1+3-5+n=0，
解得，n=3；
（3）設x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）?B（B為整式），
若x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）?B=0，則x+1=0或x-2=0或B=0，
當x+1=0時，即x=-1，
∴（-1）4+m?（-1）3+n?（-1）-14=0，
即m+n=-13①，
當x-2=0時，即x=2，
∴24+m?23+n?2-14=0，
即4m+n=-1②，
聯(lián)立①②解方程組得：．
【點睛】本題考查了方程的根的定義，因式分解的定義，解二元一次方程組，理解題意，運用特殊值法解決是解題的關鍵．
21. 如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．

（1）當∠BDA=115°時，∠BAD= °；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變 （填“大”或“小”）；
（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）25°；小．（2）當DC等于2時，△ABD≌△DCE；（3）當∠ADB=110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角形內角和定理，將已知數(shù)值代入即可求出∠BAD，根據(jù)點D的運動方向可判定∠BDA的變化情況．
（2）假設△ABD≌△DCE，利用全等三角形的對應邊相等得出AB=DC=2，即可求得答案．
（3）假設△ADE是等腰三角形，分為三種情況：①當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，根據(jù)∠AED＞∠C，得出此時不符合；②當DA=DE時，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BDA即可；③當EA=ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ADB．
解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；
從圖中可以得知，點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變??；

故答案為25°；?。?br /> （2）當△ABD≌△DCE時．
DC=AB，
∵AB=2，
∴DC=2，
∴當DC等于2時，△ABD≌△DCE；
（3）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此時不符合；
②當DA=DE時，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，
∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠BAD=100°﹣70°=30°；
∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；
③當EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°﹣40°=60°，
∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；
∴當∠ADB=110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定．
22. 某水果商行計劃購進A、B兩種水果共200箱，這兩種水果的進價、售價如下表所示：
價格
類型
進價（元/箱）
售價（元/箱）
A
60
70
B
40
55
（1）若該商行進貸款為1萬元，則兩種水果各購進多少箱？
（2）若商行規(guī)定A種水果進貨箱數(shù)不低于B種水果進貨箱數(shù)的，應怎樣進貨才能使這批水果售完后商行獲利最多？此時利潤為多少？
【答案】（1）A種水果進貨100箱，B種水果進貨100箱；（2）進貨A種水果50箱，B種水果150箱時，獲取利潤最大，此時利潤為2750元．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意可以得到相應的方程，從而可以得到兩種水果各購進多少箱；
（2）根據(jù)題意可以得到利潤與甲種水果的關系式和水果A與B的不等式，從而可以解答本題．
試題解析：解：（1）設A種水果進貨x箱，則B種水果進貨（200﹣x）箱，60x+40（200﹣x）=10000，解得，x=100，200﹣x=100，即A種水果進貨100箱，B種水果進貨100箱；
（2）設A種水果進貨x箱，則B種水果進貨（200﹣x）箱，售完這批水果的利潤為w，則w=（70﹣60）x+（55﹣40）（200﹣x）=﹣5x+3000，∵﹣5＜0，∴w隨著x的增大而減小，∵x≥（200-x），解得，x≥50，當x=50時，w取得最大值，此時w=2750，即進貨A種水果50箱，B種水果150箱時，獲取利潤最大，此時利潤為2750元．
23. （1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，填空：當點A位于 時，線段AC的長取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）
（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=4，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①求證：BE=CD
②直接寫出線段BE長的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=3，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①見解析；②5；（3）+3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質得到CD＝BE；②由于線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結論即可得到結果；
（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質得到PN＝PA＝3，BN＝AM，根據(jù)當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為3＋3；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
故答案為：CB的延長線上，a+b；
（2）①證明：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD與△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，
由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，
∴最大值為BD+BC=AB+BC=5；
（3）如圖3-1中，連接BM，

∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=3，BN=AM，
∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，
∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，（如圖3-2中）

最大值=AB+AN，
∵AN=AP=，
∴最大值為+3．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，最大值問題，旋轉的性質．正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．



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