?2022年廣東省廣州市天河區(qū)華南師大附中中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，滿分30分）
1．（3分）下列四個(gè)選項(xiàng)中，為無理數(shù)的是（　?。?br /> A．0 B．13 C．?3 D．﹣3
2．（3分）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a+b＝0，若|a﹣b|＝6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（　?。?br />
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
3．（3分）方程1x+3=2x的解為（　　）
A．x＝6 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣6
4．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．16=±4 B．（﹣2）0＝1 C．2+5=7 D．39=3
5．（3分）下列命題是真命題的是（　　）
A．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形
B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
6．（3分）一個(gè)布袋里裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是（　　）
A．13 B．15 C．38 D．58
7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，若BC＝4cm，tan∠BAC=33，則劣弧BD的長(zhǎng)為（　　）

A．3π3cm B．3π2cm C．23π3cm D．3πcm
8．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，﹣5），則當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為（　?。?br /> A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，使點(diǎn)C恰好落在A′B上，則tan∠A′AC的值為（　?。?br />
A．13 B．14 C．15 D．34
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)y=?kx（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，BC＝3BD，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（　?。?br />
A．32 B．2 C．52 D．3
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）使式子x?4有意義的條件是 　 ?。?br /> 12．（3分）方程x2﹣2x＝0的實(shí)數(shù)解是 　 　．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，線段AB的垂直平分線ED分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連接BD．若CD=3，則AD的長(zhǎng)為 　 　．

14．（3分）一元二次方程x2+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y=mx上的兩個(gè)點(diǎn)，若x1＜x2＜0，則y1　 　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．（3分）正方形ABCD中，△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ABM，點(diǎn)M、B、E、C在一條直線上，且△AEM與△AEF恰好關(guān)于AE所在直線成軸對(duì)稱，已知EF＝5，正方形邊長(zhǎng)為6．那么△EFC的面積是 　 ?。?br />
16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有 　 　（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）
17．（4分）解方程組：x?y=1x+3y=9．
18．（4分）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求證：BC＝EF．

19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+1x?1）?x2?1x，其中x=3?1．
20．（6分）爭(zhēng)創(chuàng)全國文明城市，從我做起，某學(xué)校在七年級(jí)開設(shè)了文明禮儀校本課程，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校隨機(jī)抽取一部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試．整理測(cè)試成績(jī)，得到如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖：
成績(jī)（分）
頻數(shù)
頻率
A組：75＜x≤80
6
0.15
B組：80＜x≤85
a
0.2
C組：85＜x≤90
16
0.4
D組：90＜x≤95
6
0.15
E組：95＜x≤100
4
b
其中最低分為76分，滿分率為5%，
C組成績(jī)?yōu)?9，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87
回答下列問題：
（1）學(xué)校共抽取了 　 　名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，他們的成績(jī)的眾數(shù)為 　 　，極差為 　 　；
（2）其中頻數(shù)分布表中a＝　 　，b＝　 　，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）若成績(jī)大于85分為優(yōu)秀，估計(jì)該校七年級(jí)1500名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)．

21．（8分）為慶祝偉大的中國共產(chǎn)黨成立100周年，發(fā)揚(yáng)紅色傳統(tǒng)，傳承紅色精神，某學(xué)校舉行了主題為“學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行”的黨史知識(shí)競(jìng)賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)扣1分，不答得0分．
（1）若某參賽同學(xué)只有一道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學(xué)一共答對(duì)了多少道題？
（2）若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”，則參賽者至少需答對(duì)多少道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”？
22．（10分）如圖，已知銳角△ABC中，AC＝BC．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則sinB＝　 　．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）
23．（10分）如圖，一次函數(shù)y=3x+b的圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（﹣23，0）與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，△OAB的外接圓的圓心為點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求∠BAO的大小；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．

24．（12分）等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足AE＝CF，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AF＝BE；
（2）若AE＝2，試求AP?AF的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．

25．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3的最大值為4，且該拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C，D的坐標(biāo)．
（Ⅱ）點(diǎn)P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，
①求PD﹣PC的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②設(shè)Q（0，2t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y＝a|x|2﹣2a|x|+3的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

2022年廣東省廣州市天河區(qū)華南師大附中中考數(shù)學(xué)一模試卷
答案與詳解
一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，滿分30分）
1．（3分）下列四個(gè)選項(xiàng)中，為無理數(shù)的是（　　）
A．0 B．13 C．?3 D．﹣3
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．
【解答】解：0，13，﹣3都是有理數(shù)，?3是無理數(shù)，
故選：C．
2．（3分）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a+b＝0，若|a﹣b|＝6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，由a+b＝0，得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故|a﹣b|＝b+（﹣a）＝6．進(jìn)而推斷出a＝﹣3．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a與b互為相反數(shù)．
又∵|a﹣b|＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣3．
故選：A．
3．（3分）方程1x+3=2x的解為（　　）
A．x＝6 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣6
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝2（x+3），
解得：x＝﹣6，
檢驗(yàn)：把x＝﹣6代入得：x（x+3）≠0，
∴分式方程的解為x＝﹣6．
故選：D．
4．（3分）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．16=±4 B．（﹣2）0＝1 C．2+5=7 D．39=3
【分析】根據(jù)相關(guān)概念和公式求解，選出正確答案即可．
【解答】解：16的算術(shù)平方根為4，即16=4，故A不符合題意；
根據(jù)公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合題意；
2、5無法運(yùn)用加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，故2+5≠7，故C不符合題意；
9=3，故D不符合題意；
故選：B．
5．（3分）下列命題是真命題的是（　　）
A．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形
B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【分析】根據(jù)平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相等的四邊形也可能是等腰梯形等四邊形，故A不符合題意；
B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，若對(duì)角線再相等，則四邊形是矩形，故B符合題意；
C、對(duì)角線互相垂直的四邊形不能判定是平行四邊形，也就不能判定是菱形，故C不符合題意；
D、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，不能判斷它的內(nèi)角有直角，故D不符合題意；
故選：B．
6．（3分）一個(gè)布袋里裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是（　?。?br /> A．13 B．15 C．38 D．58
【分析】用紅球的個(gè)數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：∵布袋里裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球，共有8個(gè)球，
∴任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是38．
故選：C．
7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，若BC＝4cm，tan∠BAC=33，則劣弧BD的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．3π3cm B．3π2cm C．23π3cm D．3πcm
【分析】連接BD，可判斷∠ADB＝90°，根據(jù)BC是⊙O的切線，BC＝4cm，tan∠BAC=33，可知AB＝43，∠BAD＝30°，∠BOD＝60°，則劣弧BD的長(zhǎng)為圓的周長(zhǎng)的16．
【解答】解：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵BC是⊙O的切線，BC＝4cm，tan∠BAC=33，
∴∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝8cm，
∴AB=AC2?BC2=43cm，
∵OB＝OD，
∴∠BOD＝60°，OB＝OD＝23，
∴圓的周長(zhǎng)為：2π×OB＝43π，
∴劣弧BD的長(zhǎng)為：60°360°×43π=233π，
故選：C．
8．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，﹣5），則當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【分析】根據(jù)拋物線與x軸兩交點(diǎn)，及與y軸交點(diǎn)可畫出大致圖象，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可求y＝﹣5．
【解答】解：如圖

∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，﹣5），
∴可畫出上圖，
∵拋物線對(duì)稱軸x=?1+32=1，
∴點(diǎn)（0，﹣5）的對(duì)稱點(diǎn)是（2，﹣5），
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為﹣5．
故選：A．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，使點(diǎn)C恰好落在A′B上，則tan∠A′AC的值為（　　）

A．13 B．14 C．15 D．34
【分析】先利用勾股定理求出AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝A′B＝5，從而求出A′C，然后在Rt△ACA′中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC=AB2?BC2=52?42=3，
由旋轉(zhuǎn)得：
AB＝A′B＝5，
∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，
在Rt△ACA′中，tan∠A′AC=A'CAC=13，
故選：A．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)y=?kx（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，BC＝3BD，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（　?。?br />
A．32 B．2 C．52 D．3
【分析】作BE⊥x軸于E，則AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由題意得出CFBE=DFDE=21，即可得出CF＝2BE，DF＝2DE，設(shè)B（kb，b），則C（1，﹣2b），代入y=?kx（x＞0）即可求得k＝2b，從而求得B的坐標(biāo)為2．
【解答】解：作BE⊥x軸于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴CFBE=DFDE=CDBD，
∵BC＝3BD，
∴CFBE=DFDE=21，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
設(shè)B（kb，b），
∴C（1，﹣2b），
∵函數(shù)y=?kx（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，
∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝2b，
∴B的橫坐標(biāo)為kb=2bb=2，
故選：B．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）使式子x?4有意義的條件是 　x≥4?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，可得出關(guān)于x的不等式，解出即可得出答案．
【解答】解：∵式子x?4有意義，
∴x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案為：x≥4．
12．（3分）方程x2﹣2x＝0的實(shí)數(shù)解是 　x1＝0，x2＝2?。?br /> 【分析】方程左邊分解因式后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程變形得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故答案為：x1＝0，x2＝2．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，線段AB的垂直平分線ED分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連接BD．若CD=3，則AD的長(zhǎng)為 　2?。?br />
【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，CD=3，
∴BC＝1，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2．
故答案為：2．
14．（3分）一元二次方程x2+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y=mx上的兩個(gè)點(diǎn)，若x1＜x2＜0，則y1　＜　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】由一元二次方程根的情況，求得m的值，確定反比例函數(shù)y=mx圖象經(jīng)過的象限，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論．
【解答】解：∵一元二次方程x2+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝0﹣4m＞0，
解得m＜0，
∵m＜0，
∴反比例函數(shù)y=mx圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2，
故答案為：＜．
15．（3分）正方形ABCD中，△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ABM，點(diǎn)M、B、E、C在一條直線上，且△AEM與△AEF恰好關(guān)于AE所在直線成軸對(duì)稱，已知EF＝5，正方形邊長(zhǎng)為6．那么△EFC的面積是 　6?。?br />
【分析】由旋轉(zhuǎn)可得，S△ADF＝S△ABM，由對(duì)稱可得，ME＝EF＝5且S△AEF＝S△AEM，得到五邊形ABEFD的面積是30，正方形ABCD的面積是36，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可得，S△ADF＝S△ABM，
由對(duì)稱可得，ME＝EF＝5且S△AEF＝S△AEM，
∴S△AEF＝S△AEM=12ME?AB=12×5×6=15，
∵S△ADF＝S△ABM，
∴五邊形ABEFD的面積是15+15＝30，
而正方形ABCD的面積是6×6＝36，
∴△EFC的面積是36﹣30＝6．
故答案為：6．
16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有 　①④?。ㄌ钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)）

【分析】①正確，證明△ADM≌△DCN（SAS），可得結(jié)論．
②③錯(cuò)誤，利用反證法證明即可．
④正確，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出PQ，可得結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
AD=DC∠ADM=∠DCNDM=CN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，故①正確，
不妨假設(shè)∠MAN＝∠BAN，
在△APN和△ABN中，
∠APN=∠ABN=90°∠PAN=∠BANAN=AN，
∴△PAN≌△ABN（AAS），
∴AB＝AP，
∵這個(gè)與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤，
不妨假設(shè)△PQN≌△BQN，
則∠ANP＝∠ANB，同法可證△APN≌△ABN，
∴AP＝AB，
∵這個(gè)與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤，
∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，
∴BN＝6，
∵∠ABN＝90°，
∴AN=AB2+BN2=82+62=10，
∵∠APN＝90°，AQ＝QN，
∴PQ=12AN＝5．故④正確，
故答案為：①④．

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）
17．（4分）解方程組：x?y=1x+3y=9．
【分析】運(yùn)用加減消元解答即可．
【解答】解：x?y=1①x+3y=9②，
②﹣①得，4y＝8，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程組的解為x=3y=2．
18．（4分）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求證：BC＝EF．

【分析】根據(jù)線段的和差得到AB＝DE，由平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠EDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC與△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+1x?1）?x2?1x，其中x=3?1．
【分析】根據(jù)分式的加法和乘法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．
【解答】解：（1+1x?1）?x2?1x
=x?1+1x?1?x2?1x
=xx?1?(x+1)(x?1)x
＝x+1，
當(dāng)x=3?1時(shí)，原式=3?1+1=3．
20．（6分）爭(zhēng)創(chuàng)全國文明城市，從我做起，某學(xué)校在七年級(jí)開設(shè)了文明禮儀校本課程，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校隨機(jī)抽取一部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試．整理測(cè)試成績(jī)，得到如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖：
成績(jī)（分）
頻數(shù)
頻率
A組：75＜x≤80
6
0.15
B組：80＜x≤85
a
0.2
C組：85＜x≤90
16
0.4
D組：90＜x≤95
6
0.15
E組：95＜x≤100
4
b
其中最低分為76分，滿分率為5%，
C組成績(jī)?yōu)?9，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87
回答下列問題：
（1）學(xué)校共抽取了 　40　名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，他們的成績(jī)的眾數(shù)為 　89　，極差為 　24　；
（2）其中頻數(shù)分布表中a＝　8　，b＝　0.1　，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）若成績(jī)大于85分為優(yōu)秀，估計(jì)該校七年級(jí)1500名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表中C組頻數(shù)和頻率可得學(xué)校共抽取的人數(shù)，再將C組成績(jī)從低到高排列后即可得眾數(shù)和極差；
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）利用樣本估計(jì)總體的方法即可估計(jì)該校七年級(jí)1500名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：16÷0.4＝40，
所以學(xué)校共抽取了40名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，
因?yàn)镃組有16人，成績(jī)從低到高為：86，86，87，88，88，88，89，89，89，89，89，89，89，89，89，90，
眾數(shù)為89，極差為100﹣76＝24．
故答案為：40、89、24；

（2）a＝40×0.2＝8，b＝4÷40＝0.1，
如圖即為補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖，

故答案為：8，0.1，

（3）0.65×1500＝975（人）．
答：該校七年級(jí)1500名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的975人．
21．（8分）為慶祝偉大的中國共產(chǎn)黨成立100周年，發(fā)揚(yáng)紅色傳統(tǒng)，傳承紅色精神，某學(xué)校舉行了主題為“學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行”的黨史知識(shí)競(jìng)賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)扣1分，不答得0分．
（1）若某參賽同學(xué)只有一道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學(xué)一共答對(duì)了多少道題？
（2）若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”，則參賽者至少需答對(duì)多少道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”？
【分析】（1）設(shè)該參賽同學(xué)一共答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了（25﹣1﹣x）道題，根據(jù)總得分＝4×答對(duì)題目數(shù)﹣1×答錯(cuò)題目數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)參賽者需答對(duì)y道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”，則答錯(cuò)了（25﹣y）道題，根據(jù)總得分＝4×答對(duì)題目數(shù)﹣1×答錯(cuò)題目數(shù)，結(jié)合總得分大于或等于90分，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該參賽同學(xué)一共答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了（25﹣1﹣x）道題，
依題意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，
解得：x＝22．
答：該參賽同學(xué)一共答對(duì)了22道題．
（2）設(shè)參賽者需答對(duì)y道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”，則答錯(cuò)了（25﹣y）道題，
依題意得：4y﹣（25﹣y）≥90，
解得：y≥23．
答：參賽者至少需答對(duì)23道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”．
22．（10分）如圖，已知銳角△ABC中，AC＝BC．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則sinB＝　45?。ㄈ缧璁嫴輬D，請(qǐng)使用圖2）
【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ACB的角平分線CD，作線段AC的垂直平分線交CD于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O即可．
（2）連接OA，設(shè)射線CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，射線CD，⊙O即為所求．

（2）連接OA，設(shè)射線CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB=245，
∴OE=OA2?AE2=52?(245)2=75，
∴CE＝OC+OE＝5+75=325，
∴AC＝BC=AE2+EC2=(245)2+(325)2=8，
∴sinB=ECBC=3258=45．
故答案為：45．
23．（10分）如圖，一次函數(shù)y=3x+b的圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（﹣23，0）與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，△OAB的外接圓的圓心為點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求∠BAO的大?。?br /> （2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．

【分析】（1）首先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代人函數(shù)的解析式求得b的值，然后令y＝0可求A點(diǎn)坐標(biāo)，令x＝0可求B點(diǎn)坐標(biāo)，再由A，B的坐標(biāo)求得線段OA，OB的長(zhǎng)，利用直角三角形的邊角關(guān)系可求∠BAO得大小；
（2）連接OC，陰影部分的面積等于扇形CAO的面積減去△CAO的面積，分別計(jì)算扇形CAO的面積和△CAO的面積，陰影部分面積可求．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=3x+b的圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（﹣23，0），
∴0=3×（﹣23）+b，
∴b＝6，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），
∴OB＝6，
在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO=BOAO=623=3，
∴∠BAO＝60°；
（2）連CO，

∵△AOB為直角三角形，AC＝CB，
∴C為斜邊AB的中點(diǎn)．
∴OC=12AB．
∵AB=AO2+OB2=(23)2+62=43，
∴AC＝BC＝23．
∴∠CAO＝∠COA＝60°．
∴∠ACO＝60°．
∴S陰影＝S扇形﹣S△ACO=60π×(23)2360?12×23×3＝2π﹣33．
24．（12分）等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足AE＝CF，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AF＝BE；
（2）若AE＝2，試求AP?AF的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．

【分析】（1）證明△ABE≌△CAF，由全等三角形的性質(zhì)可得到答案；
（2）利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得AP?AF的值，即可以得到答案．
（3）當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．
【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
AB=AC∠BAE=∠ACFAE=CF，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF＝BE；
（2）解：∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴APAC=AEAF，
即AP6=2AF，
∴AP?AF＝12；
（3）解：如圖1所示：當(dāng)AE＝CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段?。?br />
當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，
∴∠AOB＝120°，
又∵AB＝6，
∴OA＝23．
∴點(diǎn)P的路徑是l=nπr180=120π×23180=43π3．
25．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3的最大值為4，且該拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C，D的坐標(biāo)．
（Ⅱ）點(diǎn)P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，
①求PD﹣PC的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②設(shè)Q（0，2t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y＝a|x|2﹣2a|x|+3的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）可用對(duì)稱軸公式直接求出y＝ax2﹣2ax+3的對(duì)稱軸，然后寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2﹣2ax+3即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅱ）①求出直線CD的解析式，再求出CD與x軸交點(diǎn)即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，CD的長(zhǎng)度即為PD﹣PC的最大值；
②根據(jù)題意畫出圖形，分別表示出關(guān)鍵點(diǎn)即拋物線與x軸交點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)的圖象，由圖象即可看出t的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3中，
∵x=??2a2a=1，
∴y＝ax2﹣2ax+3的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∵y＝ax2﹣2ax+3的最大值為4，
∴拋物線的頂點(diǎn)D（1，4），
將D（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+3中，
得a＝﹣1，
∴該二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；

（Ⅱ）①∵|PC﹣PD|≤CD，
∴當(dāng)P，C，D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，|PC﹣PD|取得最大值，
如圖1，連接DC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，

將點(diǎn)D（1，4），C（0，3）代入y＝kx+b，
得k+b=4b=3，
解得k＝1，b＝3，
∴yCD＝x+3，
當(dāng)y＝0時(shí)，
x＝﹣3，
∴P（0，﹣3），
CD=12+(4?3)2=2，
∴PD﹣PC的最大值為2，P（﹣3，0）；
②y＝a|x|2﹣2a|x|+3可化為y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)，
將P（t，0），Q（0，2t）代入y＝kx+b，
得tk+b=0b=2t，
解得：k＝﹣2，b＝2t，
∴yPQ＝﹣2x+2t，
情況一：如圖2﹣1，當(dāng)線段PQ過點(diǎn)（﹣3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（﹣3，0）重合時(shí)，線段PQ與函數(shù)y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t＝﹣3，
綜合圖2﹣1，圖2﹣2，所以當(dāng)t≤﹣3時(shí)，線段PQ與函數(shù)y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；


情況二：如圖2﹣3，當(dāng)線段PQ過（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，線段PQ與函數(shù)y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=32，
如圖2﹣4，當(dāng)線段PQ過點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)A（3，0）重合時(shí)，t＝3，此時(shí)線段PQ與函數(shù)y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)，的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，
綜合圖2﹣3，圖2﹣4，所以當(dāng)32≤t＜3時(shí)，線段PQ與函數(shù)y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；


情況三：如圖2﹣5，將y＝﹣2x+2t代入y＝﹣x2+2x+3（x≥0），
整理，得x2﹣4x+2t﹣3＝0，
△＝16﹣4（2t﹣3）＝28﹣8t，
令28﹣8t＝0，
解得t=72，
∴當(dāng)t=72時(shí)，線段PQ與與函數(shù)y=?x2+2x+3(x≥0)?x2?2x+3(x＜0)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；

綜上所述，t的取值范圍為t≤﹣3或32≤t＜3或t=72．

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