2022年河南省開封市高考數(shù)學二模試卷（理科） 設x，，集合，，若，則A.  B.  C.  D. 命題：，的否定為A. ， B. ，
C. ， D. ，設復數(shù)z滿足，且在復平面內(nèi)z對應的點位于第一象限，則A.  B.  C.  D. 已知，，則A.  B.  C.  D. 7設A，F分別是雙曲線C：的一個頂點和焦點，過A，F分別作C的一條漸近線的垂線，垂足分別為，，若，則C的漸近線方程為A.  B.  C.  D. 溶液酸堿度是通過pH計算的，pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的pH是參考數(shù)據(jù)：A.  B.  C.  D. 已知公差為1的等差數(shù)列中，，若該數(shù)列的前n項和，則A. 10 B. 11 C. 12 D. 13若表示不超過x的最大整數(shù)，例如，則如圖中的程序框圖運行之后輸出的結果為A. 102
B. 684
C. 696
D. 708
  已知函數(shù)的圖象過點，現(xiàn)將的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)圖象也過點P，則A. 的最小值為2 B. 的最小值為6 C. 的最大值為2 D. 的最大值為6已知是圓C：上一點，則連接橢圓C的四個頂點構成的四邊形的面積A. 有最小值4 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最大值16騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛．如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓前輪，圓后輪的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形，設點P為后輪上一點，則在騎行該自行車的過程中，達到最大值時點P到地面的距離為A.  B.  C.  D. 如圖，將一塊直徑為的半球形石材切割成一個正四棱柱，則正四棱柱的體積取最大值時，切割掉的廢棄石材的體積為
 A.  B.  C.  D. 已知兩個單位向量的夾角為，則_______.在的展開式中，常數(shù)項為______.若函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為______.如圖，某直徑為海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距為5海里，則小島B與小島D之間的距離為______海里；小島B，C，D所形成的三角形海域BCD的面積為______平方海里．已知數(shù)列的前n項和為，，且
證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
選取數(shù)列的第項構造一個新的數(shù)列，求的前n項和






 如圖，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，圓柱OQ的側面積為，點P在圓柱OQ的底面圓周上，且是邊長為的等邊三角形，點G是DP的中點．
若G是DP的中點，求證：；
若，求GB與平面ABCD所成角的正弦值．

  






 已知拋物線C：的焦點為F，為C上一點，直線l交C于M，N兩點與點S不重合
若l過點F且傾斜角為，在第一象限，求C的方程；
若，直線SM，SN分別與y軸交于A，B兩點，且，判斷直線l是否恒過定點？若是，求出該定點；若否，請說明理由．






 某企業(yè)對生產(chǎn)設備進行優(yōu)化升級，升級后的設備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立．當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設備正常運行，否則設備停止運行，記設備正常運行的概率為例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設備正常運行的概率
若，當時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望，并求；
已知設備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是8元．記設備升級后單位時間內(nèi)的利潤為單位：元
請用表示；
設備升級后，若將該設備的控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分析是否能夠提高






 已知函數(shù)
當時，求在處的切線與y軸的交點坐標；
已知，若時，恒成立，求m的取值范圍．






 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，為參數(shù)，直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，
將C的參數(shù)方程化為普通方程，并求出與的夾角；
已知點，M，N分別為，與曲線C相交所得弦的中點，且的面積為，求的值．






 已知a，b，，且
求證：；
若，求a的最小值．







答案和解析 1.【答案】C
 【解析】解：，，且，
，即，則，
可得，，

故選：
由已知可得，得到x值，進一步得到y值，再由并集運算得答案．
本題考查交集與并集運算，考查集合中元素的特性，是基礎題．
 2.【答案】C
 【解析】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，
命題：，的否定為：，
故選：
利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，求解即可．
本題考查了含有量詞的命題的否定，要掌握其否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，屬于基礎題．
 3.【答案】B
 【解析】解：設，
，
，解得，，
在復平面內(nèi)z對應的點位于第一象限，
，，

故選：
根據(jù)已知條件，結合復數(shù)模公式，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查復數(shù)模公式，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
 4.【答案】D
 【解析】解：，，可得，
，
則，
故選：
由同角的基本關系式和兩角差的正切公式可得所求值．
本題考查兩角差的正切公式和同角的基本關系式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．
 5.【答案】A
 【解析】解：設，，雙曲線的一條漸近線為，
由，即，
可得，
即為，
則，
所以雙曲線的漸近線方程為，即，
故選：
設，，雙曲線的一條漸近線為，由點到直線的距離公式推得，再由a，b，c的關系可得雙曲線的漸近線方程．
本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．
 6.【答案】C
 【解析】解：由可得，
故選：
由已知結合對數(shù)的運算性質(zhì)即可直接求解．
本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)在實際問題中的應用，屬于基礎試題．
 7.【答案】D
 【解析】解：公差，，該數(shù)列的前n項和，
，，
解得，
故選：
利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
 8.【答案】C
 【解析】解：由程序圖可知，最終輸出的，
從到共10項，均為0，
從到共10項，均為1，
，
從到共10項，均為11，
從到共3項，均為12，
故
故選：
由程序圖可知，最終輸出的，再結合取整的定義，以及等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解．
本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．
 9.【答案】A
 【解析】解：函數(shù)的圖象過點，
所以，
故；
當函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，
由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
所以，
故的最小值為
故選：
直接利用函數(shù)的圖象的平移變換的應用求出結果．
本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的變換，函數(shù)的圖象的平移變換，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．
 10.【答案】B
 【解析】解：因為是橢圓C：上的點，
所以，
所以當且僅當，即時，取等號，
所以，即，
所以連接連接橢圓C的四個頂點構成的四邊形的面積為，
所以連接橢圓C的四個頂點構成的四邊形的面積的最小值為8，
故選：
把點代入橢圓C方程，則，由基本不等式可得當且僅當，即時，取等號，進而可得連接連接橢圓C的四個頂點構成的四邊形的面積為，即可得出答案．
本題考查橢圓的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
 11.【答案】B
 【解析】解：建立如圖所示平面直角坐標系，則，，圓D的方程為，
設，則，，


，
當僅當時取“=”，此時，
則，
所以點P到地面的距離為，
故選：
建立如圖所示平面直角坐標系，設，求出，，利用向量的數(shù)量積，結合兩角和與差的三角函數(shù)，求解函數(shù)的最值即可．
本題考查向量的數(shù)量積的求法與應用，三角函數(shù)的化簡求值，是中檔題．
 12.【答案】A
 【解析】解：設正四棱柱的底面正方形邊長為a，高為h，
則底面正方形的外接圓半徑，，，
正四棱柱體積，
，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
又半球的體積為，
切割掉的廢棄石材的體積為
故選：
利用正四棱柱底面正方形外接圓半徑、高與半球的半徑構成直角三角形可得到正四棱柱底面邊長和高的關系，由此得到正四棱柱體積，利用導數(shù)可求得，結合半球體積可求得結果．
本題主要考查立體幾何的實際應用，立體幾何中的最值問題等知識，屬于中等題．
 13.【答案】
 【解析】【分析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與模長公式，求出結果即可．本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與模長公式的應用問題，是基礎題目．
【解答】
解：兩個單位向量，的夾角為，
，


，

故答案為  14.【答案】
 【解析】解：的展開式的通項公式為，
令，則，
所以常數(shù)項為
故答案為：
先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可得解．
本題考查二項式定理，牢記二項式定理的通項公式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題．
 15.【答案】
 【解析】解：函數(shù)為奇函數(shù)，
可得，即，解得，
即有，
，可得為奇函數(shù)，
由，可得在R上單調(diào)遞增，
則不等式等價為，
可得，解得，
可得所求解集為
故答案為：
由題意可得，求得a，再求的導數(shù)，判斷的單調(diào)性，將原不等式去掉兩邊的“f”，由對數(shù)不等式的解法可得所求解集．
本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用，以及對數(shù)不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想、運算能力和推理能力，屬于中檔題．
 16.【答案】  15
 【解析】解：圓的內(nèi)接四邊形對角互補，，
C為銳角，，
在三角形BCD中，由正弦定理得，可得，
在三角形BCD中，由余弦定理得，
整理得，可得，解得負根舍去，
所以平方海里．
故答案為：，
先求得，，利用正弦定理求得BD，利用余弦定理求得CD，從而求得三角形BCD的面積．
本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 17.【答案】證明：數(shù)列的前n項和為，，且，
，即，
數(shù)列為等差數(shù)列；
解：由知，，
，即，


 【解析】把已知數(shù)列遞推式變形，可得，即可得到數(shù)列為等差數(shù)列；
由知，，即，再由數(shù)列的分組求和及等比數(shù)列的前n項和公式求解．
本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等比數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，是中檔題．
 18.【答案】證明：設圓柱OQ的底面半徑為r，高為
因為三角形OPB是邊長為的等邊三角形，所以
因為圓柱OQ的側面積為，所以，解得：
在底面圓中，，，所以
因為圓柱 OQ 的母線底面 APB，所以，
因為，所以，又，所以面
因為面APD，所以
在三角形DAP 中，，G是DP的中點，所以
又，所以面
因為面 PBD，所以
解：在底面內(nèi)過O作，連結以O為原點，分別為x，y、z軸正方向建立空間直角坐標系．

則所以
因為，所以，
所以
顯然，x軸的單位向量是平面ABCD的一個法向量．
設GB與平面ABCD所成角，則
 【解析】設圓柱OQ的底面半徑為r，高為求出先證明出，，利用線面垂直的判定定理證明出面 BPD，即可證明；
在底面內(nèi)過O作，連結以O為原點，分別為x，y、軸正方向建立空間直角坐標系．用向量法求解．
本題考查線面垂直及利用向量法求空間角的大小，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：拋物線C：的焦點為，
因為過點F且傾斜角為，所以，
聯(lián)立，可得，
解得或，
又M在第一象限，所以，
因為，所以，
解得，
所以拋物線C的方程為；
解：由已知可得拋物線C的方程為，點，
設直線l的方程為，點，
將直線l的方程與拋物線C：聯(lián)立得，
所以，，，
直線SM的方程為，
令求得點A的縱坐標為，同理求得點B的縱坐標為，
由，化簡得，
將上面式代入得，即，
所以直線l的方程為，即，
所以直線l過定點
 【解析】由已知條件，利用點斜式寫出直線的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，求出M點的橫坐標，進而根據(jù)焦半徑公式即可求解；
設直線l的方程為，點，將直線l的方程與拋物線C：聯(lián)立，根據(jù)已知條件及韋達定理找到m、n之間的關系即可求解．
本題考查了拋物線的定義和方程以及直線恒過定點問題，屬于中檔題．
 20.【答案】解：因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，
因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，
所以，
，
，
，
所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列為： X 0 1 2 3 P    控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的數(shù)學期望為，
設備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間內(nèi)的利潤為，所以Y的分布列為： Y 10a 0 設備運行概率  所以
若控制系統(tǒng)增加2個元件，則至少要有個元件正常工作，設備才能正常工作，
設原系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)為，
第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，
其概率為；
第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，
其概率為；
第三類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，
其概率為，
所以，
所以，
所以當時，，單調(diào)遞增，即增加2個相同元件，設備正常工作的概率變大，
當時，，即增加2個相同元件，設備正常工作的概率沒有變大，
因為，
所以當時，提高；當時，沒有提高．
 【解析】結合二項分布的知識求得分布列、數(shù)學期望，從而求得；
求得Y的分布列，從而求得，
通過差比較法，對p進行分類討論，來分析能否提高
本題考查了利用二項分布求分布列和均值的實際應用，屬于中檔題．
 21.【答案】解：當時，，
，，
故切線方程為，
即，當時，，
所以在處的切線與y軸的交點坐標為；
依題意，當時，恒成立，
即恒成立，
即時，恒成立，
取代入，則，此時，
取代入，則，此時，
所以；
下面證明，當時，恒成立，
構造函數(shù)，
也即是證明在區(qū)間上恒成立．
下面分兩種情形進行討論：
情形一：當時，有，
此時，
因為，
所以，即；
情形二，當時，，
此時，
設，
則，
當時，，此時，
所以在上遞減，所以，
當時，，，遞增，
所以，
所以此時，在上遞增，
所以，
結合情形一和情形二得到，當時，對任意，都有，
綜上所述，m的取值范圍是
 【解析】將代入中，求導后求出切線的斜率，再得到切線方程；
由得，先利用，時不等式成立求得
，然后根據(jù)的符號進行分類討論，結合導數(shù)來確定m的取值范圍．
本題考查了利用導數(shù)求曲線的切線方程，關鍵點是兩個：一個是切點的坐標，另一個是切線的斜率；切點即在切線上，也在曲線上，切線的斜率可通過導數(shù)來進行求解，屬于難題．
 22.【答案】解：曲線C的參數(shù)方程為，
，
故C的普通方程為，
由直線與的參數(shù)方程可知，兩直線斜率分別為，，
則，即，
故與的夾角為
和均經(jīng)過橢圓C內(nèi)部的點，
，與橢圓C分別交于兩點，
將代入 可得，，
設，是方程的兩根，
則，
是與橢圓C相交弦中點，
，
將為為參數(shù)，代入，同理可得，，
，解得或舍去，
，
，
或
 【解析】根據(jù)參數(shù)方程與普通方程互化可得C普通方程，并確定直線與的斜率，即可求解．
將，的參數(shù)方程代入C的普通方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，以及三角形面積公式，即可求解．
本題主要考查參數(shù)方程的應用，考查計算能力，屬于中檔題．
 23.【答案】證明：，
，
當且僅當時等號成立．
；
已知a，b，，且
所以，當且僅當時，等號成立，
所以，即，
故a的最小值為，此時
 【解析】由已知可得，再由基本不等式證明；
根據(jù)已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解．
本題考查不等式的證明，考查基本不等式的應用，考查推理論證能力與運算求解能力，是中檔題．
 

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