注意事項(xiàng)：
1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．
2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．
第 ＝ 1 \* ROMAN I卷（選擇題 共60分）
一?單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，則A∪B＝
A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞)
2．若(2＋i)z＝i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知a，b為單位向量．若|a－2b|＝eq \r(5)，則|a＋2b|＝
A．eq \r(3)B．eq \r(5)C．eq \r(7)D．5
4．利用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°~90°之間角的三角函數(shù)值，而這個(gè)范圍內(nèi)的三角函數(shù)值又可以通過(guò)查三角函數(shù)表得到．下表為部分銳角的正弦值，則tan1600°的值為(小數(shù)點(diǎn)后保留2位有效數(shù)字)
A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.42
5．已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周均在球O的球面上．若該圓錐的底面半徑為2eq \r(3)，高為6， 則球O的表面積
為
A．32π B．48π C．64π D．80π
6．泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列為P(X＝k)＝eq \f(λk,k!)e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值．已知某種商品每周銷售的件數(shù)相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為λ（λ＞0）的泊松分布．若每周銷售1件該商品與每周銷售2件該商品的概率相等，則兩周共銷售2件該商品的概率為
A．eq \f(2,e4)B．eq \f(4,e4)C．eq \f(6,e4)D．eq \f(8,e4)
7．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與直線AB交于點(diǎn)P．若線段OP的中點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的離心率為
A． eq \f(eq \r(7)－1,2) B． eq \f(eq \r(7)－1,3) C．eq \f(eq \r(5)－1,2) D．eq \f(eq \r(5)－1,3)
8．已知實(shí)數(shù)a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則
A．1＜b＜aB．a(chǎn)＜b＜2aC．2a＜b＜eaD．ea＜b＜e2a
二?多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．我國(guó)居民收入與經(jīng)濟(jì)同步增長(zhǎng)，人民生活水平顯著提高．“三農(nóng)”工作重心從脫貧攻堅(jiān)轉(zhuǎn)向全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，穩(wěn)步實(shí)施鄉(xiāng)村建設(shè)行動(dòng)，為實(shí)現(xiàn)農(nóng)村富強(qiáng)目標(biāo)而努力．2017年~2021年某市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比上年增長(zhǎng)率如下圖所示．根據(jù)下面圖表，下列說(shuō)法一定正確的是
A．該市農(nóng)村居民年人均可支配收入高于城鎮(zhèn)居民
B．對(duì)于該市居民年人均可支配收入比上年增長(zhǎng)率的極差，城鎮(zhèn)比農(nóng)村的大
C．對(duì)于該市居民年人均可支配收入比上年增長(zhǎng)率的中位數(shù)，農(nóng)村比城鎮(zhèn)的大
(第9題圖)
D．2021年該市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
10．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交拋物線于另一點(diǎn)P，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，下列說(shuō)法正確的是
A．若O為線段PQ中點(diǎn)，則PF＝2B．若PF＝4，則OP＝2eq \r(5)
C．存在直線l，使得PF⊥QFD．△PFQ面積的最小值為2
11．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋eq \s\d1(\f(π,3)))，ω＞0，下列說(shuō)法正確的是
A．當(dāng)ω＝2時(shí)，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \s\d1(\f(π,12))對(duì)稱
B．當(dāng)ω＝eq \s\d1(\f(1,2))時(shí)，f(x)在[0，eq \s\d1(\f(π,2))]上是增函數(shù)
C．若f(x)在[0，π]上的最小值為－2，則ω的取值范圍為ω≥eq \f(7,6)
D．若f(x)在[－π，0]上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為ω≥eq \f(4,3)
12．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點(diǎn)，則
A．AG⊥平面PBD
B．直線FG和直線AB所成的角為eq \f(π,4)
C．當(dāng)點(diǎn)T在平面PBD內(nèi)，且TA＋TG=2時(shí)，點(diǎn)T的軌跡為一個(gè)橢圓
D．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與四棱錐P－ABCD表面交線的周長(zhǎng)為2eq \r(2)＋eq \r(6)
第 ＝ 2 \* ROMAN II卷(非選擇題 共90分)
三?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．實(shí)數(shù)a，b滿足lga＋lgb＝lg(a＋2b)，則ab的最小值為eq \(,______)．
14．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國(guó)人民的喜愛．某商店有4個(gè)不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個(gè)不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺(tái)上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法種數(shù)為eq \(,______)．（用數(shù)字作答）
15．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足 f(1－x) ＋ f(1＋x)＝2，當(dāng)x∈ [0，1]時(shí)，f(x)＝2x－x2．
若f(x) ≥x＋b對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)b的最大值為eq \(,______)．
h
(第16題圖)
16．某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生需測(cè)量某零件中圓弧的半徑．如圖，將三個(gè)半徑為20cm的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左、右兩個(gè)小球與中間小球相切．利用“十”字尺測(cè)得小球的高度差h為8cm，則圓弧的半徑為eq \(,______)cm．
四?解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
在平面四邊形ABCD中，已知∠ABC＝eq \f(2π,3)，∠ADC＝eq \f(π,6)，AC平分∠BAD．
（1）若∠BAD＝eq \f(π,3)，AC＝2，求四邊形ABCD的面積；
（2）若CD＝2eq \r(3)AB，求tan∠BAC的值．
18．(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{an}，當(dāng)n∈[2k－1，2k)時(shí)，an＝2k， k∈N*．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．
（1）求a2，a20；
（2）求使得Sn＜2022成立的正整數(shù)n的最大值．
19．(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PD⊥AB，PD＝eq \r(6)．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求平面PAB和平面PCD所成銳二面角的大小．
A
C
D
B
P
(第19題圖)
20．(本小題滿分12分)
最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且試驗(yàn)成功的概率為p(0＜p＜1)．現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)不成功，則繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)10次．記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，且每次試驗(yàn)的成本為a(a＞0)元．
（1）①寫出X的分布列；
②證明：E(X)＜eq \f(1,p)；
（2）某公司意向投資該產(chǎn)品．若p＝0.25，且試驗(yàn)成功則獲利5a元，則該公司如何決策投資，并說(shuō)明理由.
21．(本小題滿分12分)
雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq \r(3)，1)，且漸近線方程為y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）點(diǎn)A，B，D是雙曲線C上不同的三點(diǎn)，且B，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，△ABD的外接圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．
求證：直線AB與圓x2＋y2＝1相切．
22．(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)＝aex＋sinx－3x－2，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a≤0，求證：函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍．
南京市、鹽城市2022屆高三年級(jí)第二次模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．C2．A3．B4．B5．C6．D7．A8．D
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．BCD10．AD11．AC12．ABD
三?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．814．14415．－eq \f(1,4)16．120
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本題滿分10分)
解：（1）因?yàn)椤螧AD＝eq \f(π,3)，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD＝eq \f(π,6)．
在△ABC中，因?yàn)椤螦BC＝eq \f(2π,3)，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，
又因?yàn)锳C＝2，由eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，得AB＝eq \f(2eq \r(3),3)，2分
所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝eq \f(eq \r(3),3)．
在△ACD中，因?yàn)椤螦DC＝∠CAD＝eq \f(π,6)，所以CA＝CD＝2，
所以S△ACD＝eq \f(1,2)CA·CDsin∠ACD＝eq \r(3)，
所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(4eq \r(3),3)．4分
（2）因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD，
在△ACD中，由∠ADC＝eq \f(π,6)， eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，得AC＝eq \f(1,2)·eq \f(CD,sin∠CAD) ． ①
在△ABC中，由∠ABC＝eq \f(2π,3)， eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，得AC＝eq \f(\r(3),2)·eq \f(AB,sin∠ACB)． ②6分
由①②得eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(eq \r(3)AB,sin∠ACB)．
又因?yàn)镃D＝2eq \r(3)AB，所以2sin∠ACB＝sin∠CAD．
設(shè)∠BAC＝θ，則sinθ＝2sin(eq \f(π,3)－θ)，8分
所以sinθ＝2×(eq \f(\r(3),2)csθ－eq \f(1,2)sinθ)，即2sinθ＝eq \r(3)csθ．
因?yàn)棣取?0，eq \f(π,3))，所以csθ≠0，
所以tanθ＝eq \f(eq \r(3),2)，即tan∠BAC＝eq \f(eq \r(3),2)．10分
18．(本題滿分12分)
解：（1）因?yàn)?∈[21，22)，所以a2＝22＝4，2分
因?yàn)?0∈[24，25)，所以a20＝25＝32．4分
（2）an＝2k的項(xiàng)數(shù)為2k－2k－1＝2k－1．6分
又因?yàn)?0＋21＋22＋…＋2k－1＝2k－1，所以數(shù)列{an}的前2k－1項(xiàng)和為
Seq \s\d4(2k－1)＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k×2k－1
＝21＋23＋25＋…＋22k－1
＝eq \s\d1(\f(2,3))(4k－1)．8分
當(dāng)k＝5時(shí)，S31＝eq \s\d1(\f(2,3))(45－1)＝682＜2022，
S51＝S31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，10分
S52＝S51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．
又因?yàn)镾n＋1＞Sn，
所以使得Sn＜2022成立的正整數(shù)n的最大值為51．12分
E
AA
CC
DD
BB
PP
(第19題圖)
19．(本題滿分12分)
解：（1）取AB中點(diǎn)E，連接PE，DE．
因?yàn)椤鱌AB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
所以AB⊥PE，PE＝eq \r(3)，AE＝1．
又因?yàn)镻D⊥AB，PD∩PE＝P，PD，PE?平面PDE，
所以AB⊥平面PDE．2分
因?yàn)镈E?面PDE，所以AB⊥DE．
在Rt△AED中，AD＝2，AE＝1，所以DE＝eq \r(3)．
在△PDE中，PD＝eq \r(6)，DE＝eq \r(3)，PE＝eq \r(3)，所以PE2＋DE2＝PD2，所以DE⊥PE．4分
又因?yàn)锳B∩PE＝E，AB，PE?平面PAB，
所以DE⊥平面PAB．
又因?yàn)镈E?平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD．6分
（2）由（1）知，以{ eq \(EA,\s\up8(→))， eq \(EP,\s\up8(→))， eq \(ED,\s\up8(→))}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E－xyz，
則E(0，0，0)，D(0，0，eq \r(3))，C(－2，0，eq \r(3))，P(0，eq \r(3)，0)．
則 eq \(DC,\s\up8(→))＝(－2，0，0)， eq \(PD,\s\up8(→))＝(0，－eq \r(3)，eq \r(3))．8分
(第19題圖)
y
x
z
P
A
D
E
C
B
設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{(\a\al(n· eq \(DC,\s\up8(→))＝0，, n· eq \(PD,\s\up8(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\al(－2x＝0，,－eq \r(3)y＋eq \r(3)z＝0．))
取x＝0，y＝1，z＝1．
所以n＝(0，1，1)是平面PCD的一個(gè)法向量．……………10分
因?yàn)镈E⊥平面PAB，
所以 eq \(ED,\s\up8(→))＝(0，0，eq \r(3))為平面PAB的一個(gè)法向量．
所以cs＜n， eq \(ED,\s\up8(→))＞＝eq \f(n· eq \(ED,\s\up8(→)),│n││ eq \(ED,\s\up8(→))│)＝eq \f(\r(2),2)，
所以平面PAB和平面PCD所成銳二面角的大小為eq \f(π,4)．12分
20．(本題滿分12分)
解：（1）①當(dāng)1≤X≤9時(shí)，P(X＝i)＝(1－p)i－1p，i＝1，2，…，9．
當(dāng)X ＝10時(shí)，P(X＝10)＝(1－p)9．
所以P(X＝i)＝eq \b\lc\{(\a\al((1－p)i－1p ，i＝1，2，…，9，,(1－p)9 ，i＝10．))4分
②E(X)＝ eq \(∑,\s\up6(9),\s\d6(i＝1))i(1－p)i－1p＋10(1－p)9＝p eq \(∑,\s\up6(9),\s\d6(i＝1))i(1－p)i－1＋10(1－p)9．
令S＝ eq \(∑,\s\up6(9),\s\d6(i＝1))i(1－p)i－1，則E(X)＝pS＋10(1－p)9．
則S＝1＋2(1－p)＋3(1－p)2＋…＋8(1－p)7＋9(1－p)8，
(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋7(1－p)7＋8(1－p)8＋9(1－p)9，
兩式相減，得pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)7＋(1－p)8－9(1－p)96分
＝eq \f(1－(1－p)9,p)－9(1－p)9，
所以E(X)＝eq \f(1－(1－p)9,p)＋(1－p)9＝eq \f(1,p)[1－(1－p)10]．
因?yàn)?＜p＜1，所以0＜1－(1－p)10＜1，
所以E(X)＜eq \f(1,p)．9分
（2）當(dāng)p＝0.25時(shí)，由（1）得E(X)＜4， 則a×E(X) ＜4a＜5a，
即試驗(yàn)結(jié)束后的平均成本小于試驗(yàn)成功的獲利，
所以該公司可以考慮投資該產(chǎn)品．12分
21．(本題滿分12分)
解：（1）因?yàn)殡p曲線C漸近線方程為y＝±x，所以eq \f(b,a)＝1．
又因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq \r(3)，1)，所以eq \f(3,a2)－eq \f(1,b2)＝1．2分
解得a＝b＝eq \r(2)．4分
（2）方法1
當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，由雙曲線對(duì)稱性知AD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)與題意不符．
設(shè)AB方程為y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)E(x3，y3)，則D(－x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\al(y＝kx＋m，, eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，))消去x，得 (1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2km, 1－k2)，x1x2＝－eq \f(m2＋2,1－k2)eq \f(,)，6分
則x3＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(km, 1－k2)，y3＝kx3＋m＝eq \f(m, 1－k2)，則AB的中垂線方程為y－eq \f(m, 1－k2)＝－eq \f(1,k)(x－eq \f(km, 1－k2))，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝eq \f(2m,1－k2)．
因?yàn)锽，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則△ABD的外接圓圓心在y軸上，
記圓心為點(diǎn)F，則F(0，eq \f(2m,1－k2))．8分
因?yàn)椤鰽BD的外接圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則OF＝FA，即|eq \f(2m,1－k2)|＝eq \r(x12＋(y1－eq \f(2m,1－k2))2)．
又因?yàn)閑q \f(x12,2)－eq \f(y12,2)＝1，所以y12－eq \f(2m,1－k2) y1＋1＝0．
同理，由OF＝FB，得y22－eq \f(2m,1－k2) y2＋1＝0，
所以y1，y2是方程y2－eq \f(2m,1－k2)y＋1＝0的兩個(gè)根，所以y1y2＝1．10分
則(kx1＋m)(kx2＋m)＝1，即k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1，所以k2×(－eq \f(m2＋2,1－k2))＋km×eq \f(2km, 1－k2)＋m2＝1，
化簡(jiǎn)得k2＋1＝m2，
所以原點(diǎn)O到直線AB距離d＝eq \f(|m|,eq \r(k2＋1))＝1，
所以直線AB與圓x2＋y2＝1相切．12分
方法2
設(shè)直線AB方程為x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(－x2，y2)．
又因?yàn)锽，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則△ABD的外接圓的圓心在y軸上，設(shè)為P(0，t)，
則PA＝PB，即eq \r(x12＋(y1－t)2)＝eq \r(x22＋(y2－t)2)．
由eq \f(x12,2)－eq \f(y12,2)＝1，eq \f(x22,2)－eq \f(y22,2)＝1，化簡(jiǎn)得t＝y(tǒng)1＋y2．6分
因?yàn)椤鰽BD的外接圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，所以PA＝PO＝|t|，即eq \r(x12＋[y1－(y1＋y2)]2)＝|y1＋y2|，
化簡(jiǎn)得y1y2＝1．8分
聯(lián)立直線AB及雙曲線方程eq \b\lc\{(\a\al(x＝my＋n，,eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，))消去x，得 (m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，
所以y1y2＝eq \f(n2－2,m2－1)．10分
又因?yàn)閥1y2＝1，所以eq \f(n2－2,m2－1)＝1，即m2＋1＝n2，
所以原點(diǎn)O到直線AB距離d＝eq \f(|n|,eq \r(m2＋1))＝1，
所以直線AB與圓x2＋y2＝1相切．12分
22．(本題滿分12分)
解：（1）由f(x)＝aex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝aex＋csx－3．
因?yàn)閍≤0，所以f'(x)＝aex＋csx－3≤csx－3＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減．2分
又因?yàn)閒(0)＝a－2＜0，f(a－2)＝aea－2＋sin(a－2)－3a＋4＞a(ea－2－3)≥0，
因此f(x)有唯一的零點(diǎn)．4分
（2）由（1）知，a≤0符合題意．
（i）當(dāng)a＝2時(shí)，
由f(x)＝2ex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝2ex＋csx－3．
當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)≤2ex－2＜0，所以f(x)單調(diào)遞減；6分
當(dāng)x＞0時(shí)，f''(x)＝2ex－sinx≥2ex－1＞0，所以f'(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
從而，當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)＞f'(0)＝0，所以f(x)單調(diào)遞增，
于是f(x)≥f(0)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，
故此時(shí)f(x)有唯一的零點(diǎn)x＝0．8分
（ii）當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＞2ex＋sinx－3x－2≥0，此時(shí)f(x)無(wú)零點(diǎn)；9分
（iii）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，
首先證明：當(dāng)x≥0時(shí)，ex＞eq \F(x2,2)．
設(shè)g(x)＝ex－eq \F(x2,2)，x≥0，
則g'(x)＝ex－x，g''(x)＝ex－1≥0，所以g'(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故g'(x)≥g'(0)＝1＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
因此g(x)≥g(0)＝1＞0，即當(dāng)x≥0時(shí)，ex＞eq \F(x2,2)．10分
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥aex－3x－3＞eq \F(a,2)x2－3x－3，
令eq \F(a,2)x2－3x－3＝0，得x＝eq \F(3±eq \R(,9＋6a),a)．
取x0＝eq \F(3＋eq \R(,9＋6a),a)＞0，則f(x0)＞0．
又f(0)＝a－2＜0，f(－1)＝ae－1＋1－sin1＞0，
因此，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
綜上，a＝2或a≤0．12分
α
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
sinα
0.1736
0.3420
0.5000
0.6427
0.7660
0.8660
0.9397
0.9848

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