數(shù)學試卷
考試時間：120分鐘 滿分150分
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．將4張相同的博物館的參觀票分給5名同學，每名同學至多1張，并且票必須分完，那么不同的分法的種數(shù)為（ ）
A．54 B．5 C．5×4×3×2 D．45
過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（ ）
4．已知橢圓的離心率，則的值為（ ）
C． D．或
5．已知，，，若向量共面，則實數(shù)等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則該項式的展開
式中常數(shù)項為（ ）
A．90B．-90C．180D．-180
7．已知正四面體中，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．已知是雙曲線上的三個點，經(jīng)過原點，經(jīng)過右焦點，若且，則該雙曲線的離心率是( )
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知直線：和圓：，則（ ）
A．直線恒過定點
B．若，則直線被圓截得的弦長為
C．存在使得直線與直線：垂直
D．直線與圓相交
10．對任意實數(shù)，有.則下列結論成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正方體的棱長為，下列四個結論中正確的是（ ）
A．直線與直線所成的角為
B．直線與平面所成角的余弦值為
C．平面
D．點到平面的距離為
12．已知橢圓的左?右焦點分別為，為橢圓上不同于左右頂點的任意一點，則下列說法正確的是（ ）
A．的周長為B．面積的最大值為
C．的取值范圍為D．的取值范圍為
三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分．
13．若拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是___________.
14．電影院一排10個位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，且每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為___________.
15．已知半徑為2的球有一內(nèi)接正四面體，________.
16．點P為拋物線y2＝x上的動點，過點P作圓M：(x－3) 2＋y2＝1的一條切線，切點為A，則·的最小值為________．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.（本小題滿分10分）已知圓C的圓心在x軸上，并且過，兩點.
（1）求圓C的方程；
（2）若P為圓C上任意一點，定點，點Q滿足，求點Q的軌跡方程.
18．（本小題滿分12分）如圖.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，且，.
（1）求異面直線PC與AD所成角的余弦；
（2）求點A到平面PCD的距離.
19．（本小題滿分12分）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，為直角三角形，過點的直線l與橢圓交于M，N兩點，當直線l垂直于x軸時，．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若的中點的橫坐標為，求．
20．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點為，過點作傾斜角為45°的直線與拋物線交于兩點，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）設為拋物線上不同的三點，且，若點的橫坐標為8，證明：直線過定點.
21.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點，是的中點．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值．
22.（本小題滿分12分）已知橢圓C：，F(xiàn)為左焦點，上頂點P到F的距離為2，且離心率為﹒
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設斜率為k的動直線l與橢圓C交于M，N兩點，且，求k的取值范圍﹒
數(shù)學考試答案
單項選擇題：
1．D 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8. B
二、多項選擇題：
9．CD 10．BCD 11．ABC 12．BCD
三、填空題：
13．5 14．120 15．-4 16．
四、解答題：
17．（1）；（2）.
解：（1）由題可知，的中點為，，
所以的中垂線方程為，它與x軸的交點為圓心，
又半徑，
所以圓C的方程為分
（2）設點，，由得
∴，∴，又點P在圓C上，故
所以，化簡得點Q的軌跡方程為分
18．（1）（2）
（1）因為平面ABCD，平面ABCD
所以，，，因為，故以A為坐標原點，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，因為過點C作CE⊥AD于點E，則CE=AB=2，AE=BC=1，因為，所以DE=CE=2，故，，，，，，設異面直線PC與AD所成角為，所以，異面直線PC與AD所成角的余弦值為分（幾何法相應給分）
（2），，設平面PCD的法向量為，則，即，令，解得：，，故，設點A到平面PCD的距離為，則分
19．（1）；（2）.
（1）因為為直角三角形，所以，從而．
當直線l垂直于x軸時，，所以橢圓經(jīng)過點，
所以．
所以，
故橢圓C的標準方程為；分
（2）設直線l的方程為，
聯(lián)立方程組得，
則．
因為，所以．
因為，
所以．分
20．（1）；（2）證明見解析.
（1）解：由題意知，直線的直線方程為，
由，得，
設，則，
∴，∴，
∴拋物線的方程為分
（2）解：由(1)可得點，設，
則，同理可得，
∵，
∴，即，
即①，(也可由得到)
由題意得直線的斜率一定存在，設直線方程為，
聯(lián)立，得，
則，得，，
帶入①式得，即，符合，
所以直線方程為，
所以直線過定點(－8，16)．分
21．(1)證明見解析;(2)
(1)證明：取的中點，連接，，
，是的中點．
，
，，
因為在底面的射影為的中點，
所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因為，
所以平面；分
(2)解：如圖，以為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建系，
則，
則，，
，，
設平面的法向量為，
則，得，
取，得，
因為面，
所以即為平面的一個法向量，
則，
所以二面角的平面角的余弦值為，正弦值為，
故二面角的平面角的正切值．分
22．（1）；（2）﹒
解：（1）由上頂點P到F的距離為2，可得，
又，故，從而﹒
∴橢圓C的標準方程為﹒分
（2）當時，由橢圓的對稱性，顯然成立﹒
當時，設直線l為，
聯(lián)立，得，
則，即(*)，
設，，則，
，
故線段MN的中點為，
從而直線PQ的斜率為，
由，得，即，即，
故﹒
由(*)式，即，可得，
即，故，解得，且﹒
綜上所述，k的取值范圍為﹒分

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