高三數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容；高考全部內(nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（    ）A．       B．       C．       D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限       B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限3．若雙曲線的一條漸近線方程為，則（    ）A．       B．       C．       D．4．某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年底余額（單位：億元）如圖所示，下列判斷一定不正確的是（    ）    A．城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年底余額逐年增長B．農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升C．到2019年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額D．城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降5．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為（    ）A．       B．2       C．0       D．46．在中，的對邊分別是，且，則邊上的高線的長為（    ）A．       B．       C．       D．7．如圖，在中，為中點，與相交于，若，則（    ）A．4       B．       C．       D．8．如圖，在正方體中，分別是的中點，有下列四個結(jié)論：①與是異面直線；②相交于一點；③；④平面．其中所有正確結(jié)論的編號是（    ）A．①④       B．②④       C．①③④       D．②③④9．已知是曲線上一點，則的最小值為（    ）A．1       B．       C．       D．10．“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)，因為斐波那契以兔子繁殖為例子而提出，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足．如圖是輸出斐波那契數(shù)列的一個算法流程圖，現(xiàn)要輸出斐波那契數(shù)列的前50項，則圖中的空白框應(yīng)填入（    ）A．       B．       C．       D．11．已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍是（    ）A．              B．C．              D．12．點是拋物線上一點，斜率為的直線交拋物線于點，且，設(shè)直線的斜率分別為，則（    ）A．              B．C．直線過點              D．直線過點第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知函數(shù)則的值為________．14．設(shè)為銳角，若，則________．15．某縣城中學(xué)安排5位教師（含甲）去3所不同的村?。ê?/span>小學(xué)）支教，每位教師只能支教一所村小學(xué)，且每所村小學(xué)都有老師支教．甲不去小學(xué)，則不同的安排方法數(shù)為________．16．一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60°，若該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐外接球的表面積為________．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（一）必考題：共60分．17．（12分）在公比大于0的等比數(shù)列中，已知，且成等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）已知，試問當(dāng)為何值時，取得最大值，并求的最大值．18．（12分）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，第一次檢測廠家的每件產(chǎn)品合格的概率為0.5，如果合格，則可以出廠；如果不合格，則進(jìn)行技術(shù)處理，處理后進(jìn)行第二次檢測．每件產(chǎn)品的合格率為0.8，如果合格，則可以出廠，不合格則當(dāng)廢品回收．（1）求某件產(chǎn)品能出廠的概率；（2）若該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為800元/件，出廠價格為1500元/件，每次檢測費為100元/件，技術(shù)處理每次100元/件，回收獲利100元/件．假如每件產(chǎn)品是否合格相互獨立，記為任意一件產(chǎn)品所獲得的利潤，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）在三棱錐中，，平面平面，點在棱上．（1）若為的中點，證明：．（2）若與平面所成角的正弦值為，求．20．（12分）已知橢圓上的點到左、右焦點的距離之和為，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，求面積的最大值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)；（2）若的最小值為，求的取值范圍．（二）選考題：共10分請考生在第22、23兩題中任選一題作答如果多做則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，極點為，一條封閉的曲線由四段曲線組成：，，，．（1）求該封閉曲線所圍成的圖形面積；（2）若直線與曲線恰有3個公共點，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得關(guān)于的方程恰有一個實數(shù)根，求的取值范圍．高三數(shù)學(xué)試卷參考答案（理科）1．B  【解析】本題考查集合的交集運算，考查運算求解能力因為，所以．2．A  【解析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查運算求解能力．，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第一象限．3．D  【解析】本題考查雙曲線的漸近線，考查運算求解能力．由題意知雙曲線的漸近線方程為可化為，則，解得．4．C  【解析】本題考查統(tǒng)計圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)分析能力以及運算求解能力．到20l9年在城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年底總余額中，農(nóng)村居民儲蓄存款所占的比例仍然小于城鎮(zhèn)居民儲蓄存款所占的比例，因此農(nóng)村居民的存款年底總余額仍然少于城鎮(zhèn)居民的存款總額，選項C說農(nóng)村居民的存款年底總余額已經(jīng)超過了城鎮(zhèn)居民的存款總額顯然是錯誤的．5．B  【解析】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的思想以及運算求解能力．由題可知，再畫出可行域知（圖略），當(dāng)平移到過點時，取得最大值，最大值為2．6．A  【解析】本題考查余弦定理以及三角形面積公式，考查運算求解能力．因為b，所以由余弦定理，可得，整理可得，又，所以，，所以邊上的高線的長為．7．D  【解析】本題考查平面向量基本定理，考查邏輯推理的能力．由．因為三點共線，所以，解得，同理可得，所以．8．B  【解析】本題考查了空間中點、線、面的位置關(guān)系，考查空間想象能力．因為，所以與是相交直線，又，所以相交于一點，則①不正確．②正確．③令，因為分別是，的中點，所以，則為平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面，則③不正確，④正確．綜上所述，②④正確，故選B．9．C  【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，可得過的切線的斜率為，當(dāng)垂直于切線時．取得最小值，可得，則，因為單調(diào)遞增，且，所以，所以的最小值為．10．A  【解析】本題考查數(shù)學(xué)文化在算法中的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．執(zhí)行第1次，，循環(huán)，因為第二次應(yīng)該計算，，循環(huán)，執(zhí)行第3次，因為第三次應(yīng)該計算，由此可得圖中的空白框應(yīng)填入．11．D  【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想及邏輯推理能力．，若，則，∴，則，又，解得．又解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得．∴．12．C  【解析】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想及運算求解能力．設(shè)，則，，所以，直線的方程為，因為，所以，即，代入方程得，則直線過點．13．2  【解析】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．因為，所以．14．  【解析】本題主要考查二倍角公式，兩角和與差的正弦公式，考查運算求解能力．因為為銳角，所以，則，，所以．15．100  【解析】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，考查分類討論的思想與邏輯推理能力．小學(xué)若安排3人，則有種，小學(xué)若安排2人，則有種，小學(xué)安排1人，則有種，故共有100種．l6．  【解析】本題考查圓錐以及球的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力及運算求解能力．如圖，設(shè)，則．設(shè)，則底面圓的直徑為，該圓錐的側(cè)面積為，解得，高，設(shè)圓錐外接球的半徑為，所以，解得，則外接球的表面積為．17．解：（1）設(shè)的公比為，由，得，                 1分因為成等差數(shù)列，所以，則，           3分解得，．                   5分所以．              6分（2），                    9分當(dāng)或4時，取得最大值，．               12分評分細(xì)則：（1）第一問中若利用等比數(shù)列的通項公式列出關(guān)系式得3分，解出各得1分，求出通項公式得1分．（2）第二問未說明當(dāng)或4時，取得最大值，扣2分．18．解：（1）設(shè)事件為“某件產(chǎn)品第一次檢驗合格”，事件為“某件產(chǎn)品第二次檢驗合格”，則，，                        2分所以某件產(chǎn)品能夠出廠的概率，               4分（2）由已知，若該產(chǎn)品不合格，則，         5分該產(chǎn)品經(jīng)過第二次檢驗才合格，則，           6分該產(chǎn)品第一次檢驗合格，則，                       7分所以的所有可能取值為，400，600，，                  8分，                  9分．                 10分的分布列為4006000.10.40.5元．               12分評分細(xì)則：（1）第一問求出事件的概率分別得1分．（2）第一問沒有取事件名，計算得4分，算錯不得分．（3）第二問中未列出分布列扣2分．19．（1）證明：取的中點，連接，，因為，所以，           1分又因為平面平面，且相交于，所以平面，         2分所以，因為，所以，              3分所以．所以，            4分所以，且為的中點，所以．            5分（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，                     6分．設(shè)則，               7分設(shè)平面的法向量為，由，得可取，                 9分所以，                  10分解得（舍去），，                         11分所以．             12分評分細(xì)則：（1）第一問也可以先建立空間直角坐標(biāo)系．用向量方法證明，證出得滿分．（2）第二問中，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)得1分，計算出平面的法向量得2分．（3）若用傳統(tǒng)做法，作出二面角得2分，簡單證明得2分，整個試題完全正確得滿分．20．解：（1），所以，                2分，所以，所以，                 4分橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                        5分（2）由題可知直線的斜率必存在，又，設(shè)直線的方程為，，，，                         6分聯(lián)立直線與橢圓的方程化簡得，所以，                 7分，            9分，                  10分，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，           11分所以面積的最大值為，                   12分評分細(xì)則：（1）第一問得出各得2分，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得1分．（2）第二問未說明直線的斜率存在扣1分．（3）若采用其他方法解題，按步驟相應(yīng)給分．21．解：（1）的定義域為，，                      1分令，解得或，                     2分令，則，故在上單調(diào)遞增．              3分當(dāng)或時，只有一個零點；                    4分當(dāng)或時，有兩個零點．                5分（2）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得最小值且最小值為，符合題意．         7分當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，則必存在正數(shù)使得．     8分若，則，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故不符合題意．                     9分若，則，所以，在上單調(diào)遞增，又，故不符合題意．        10分若，則，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，與的最小值為矛盾．            11分綜上，的取值范圍為．              12分評分細(xì)則：（1）第一問求導(dǎo)正確得1分．未考慮只有一個零點，扣1分．（2）若采用其他方法解題，按步驟相應(yīng)給分．22．解：（1）以極點為坐標(biāo)原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，，              2分．               4分曲線由弧，弧，弧，弧四段圓弧組成，每段圓弧均在半徑為2的圓上，則該封閉曲線所圍成的圖形面積．                 6分（2）直線的直角坐標(biāo)方程為，即．        7分當(dāng)直線經(jīng)過點時，，                8分當(dāng)直線經(jīng)過點時，，               9分故的值為．                  10分評分細(xì)則：（1）第一問求出曲線的直角坐標(biāo)方程共得4分，每一段曲線分別得1分，求出封閉曲線所圍成的圖形面積得2分．（2）第一問分情況討論，每種情況得2分．（3）若采用其他方法解題，按步驟相應(yīng)給分．23．解：（1）①當(dāng)時，得，解得，所以；               2分②當(dāng)時，得，解得，所以；              3分③當(dāng)時，得，解得，所以．        4分綜上．不等式的解集為，                    5分（2）                      6分若關(guān)于的方程恰有一個實數(shù)根，則有解，               8分又，所以．           10分評分細(xì)則：（1）第一問中，分類討論不分先后順序，每答對一個得1分，最終答案未寫成解集形式，不扣分．（2）第二問求出的解析式得1分，說明的值域可得1分，得出關(guān)系有解得1分．

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