山西省晉中市2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期3月適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份山西省晉中市2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期3月適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試題含答案，共15頁。試卷主要包含了已知，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
晉中市2021年3月高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）（本試卷考試時間120分鐘，滿分150分）★?？荚図樌?/span>注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案用0.5毫米及以上黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．參考公式：錐體的體積公式：（其中S為錐體的底面積，h為錐體的高）．一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，則等于（    ）A．    B．    C．    D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A．    B．    C．3    D．3．已知向量，且，則m的值為（    ）A．    B．2    C．4    D．或44．魔方又叫魯比克方塊（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克·艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議．三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從這些小正方體中任取一個，恰好抽到邊緣方塊的概率為（    ）A．    B．    C．    D．5．如圖，一個四棱柱形容器中盛有水，在底面中，,，，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時，水面恰好過的中點，那么當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時，水面高為（    ）A．2    B．    C．3    D．6．已知，則（    ）A．    B．    C．    D．7．已知點F是拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線E上的兩點，滿足則（    ）A．1    B．2    C．3    D．48．定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，恒有，則關(guān)于x的不等式的解集為（    ）A．    B．    C．    D．9.已知長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是的中點，則三棱錐的外接球的表面積為（    ）A．    B．    C．    D．10．已知雙曲線的右焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線的漸近線交于點A（A在第一象限內(nèi)），以為直徑的圓與雙曲線的另一條漸近線交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（    ）A．    B．    C．    D．211．設(shè)，其中，若對任意的恒成立，則下列說法正確的是（    ）A．B．對任意的有成立C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．存在經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交12．若存在實數(shù)x，y滿足，則（    ）A．    B．0    C．1    D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)x，y滿足則的最小值是_______，最大值是_________．14．曲線與直線相切，則______．15．過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則_______．16．如圖所示，在平面四邊形中，，在中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，若，則的面積為__________．三、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題（共60分）17．（12分）設(shè)是各項都為正的單調(diào)遞增數(shù)列，已知，且滿足關(guān)系式：，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）現(xiàn)有兩個全等的等腰直角三角板，直角邊長為2，將它們的一直角邊重合，若將其中一個三角板沿直角邊折起形成三棱錐，如圖所示，其中，點E，F，G分別是的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）為了促進電影市場快速回暖，各地紛紛出臺各種優(yōu)惠措施．某影院為回饋顧客，擬通過抽球兌獎的方式對觀影卡充值滿200元的顧客進行減免，規(guī)定每人在裝有6個白球、2個紅球的抽獎箱中有放回的抽球，每次抽取一個，最多抽取3次．已知抽出1個白球減10元，抽出1個紅球減30元，如果前兩次減免之和超過30元即停止抽獎，否則抽取第三次．（1）求某顧客所獲得的減免金額為40元的概率；（2）求某顧客所獲得的減免金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）設(shè)橢圓，O為原點，點是x軸上一定點，已知橢圓的長軸長等于，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓C交于兩個不同點M，N，已知M關(guān)于y軸的對稱點為，N關(guān)于原點O的對稱點為，若滿足，求證：直線l經(jīng)過定點．21．（12分）已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若在內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）時，計論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．（二）選考題（共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分）22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）點P的極坐標(biāo)為，設(shè)直線l與曲線C的交點為A，B，且的中點為Q，求線段的長．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．  2021年3月高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）答案題號123456789101112答案DDDCBADBBABC1．解析：由題意得集合或，又因為，所以或，故選D．答案：D2．解析：因為，所以．故選D．答案：D3．解析：根據(jù)題意，得，由，得，解得或．故選D．答案：A4．解析：沿等分線把正方體切開得到同樣大小的小正方體共有27個，其中有3個面涂色的小正方體共有8個，只有2個面涂色的小正方體共有12個，只有1個面涂色的小正方體共有6個，所以恰好抽到只有2個面有色的小正方體的概率為．故選C．答案：C5．解析：設(shè)四棱柱的底面梯形的高為的中點分別為，所求的水面高為h，則水的體積，所以，故選B．6．解析：因為，所以，從而可得，故選A．答案：A7．解析：設(shè)，則，①由，知，所以，②聯(lián)立①②解得，故選D．答案：D8．解析：設(shè)，則為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以不等式等價于，即，亦即，可得，解得，故選B．答案：B9．解析：如圖，因為在三棱錐中，平面且為直角三角形，所以外接球球心是的中點，不妨設(shè)球的半徑為R，則，所以球的表面積.故選B．答案：B10．解析：如圖，因為，所以點F在圓上，又，所以，而，所以是等腰三角形，所以，所以，所以，故選A．答案：A11．解析：，又，由題意對任意的恒成立，且，所以對任意的恒成立，即恒成立，由基本不等式可知，所以，此時，所以．對于A選項，，，所以，故A錯誤；對于B選頊，因為，所以不妨令，解得，當(dāng)時，，所以是的對稱中心，故B正確；對于C選項，由，知，故C不正確；對于D選項，由題知，要使經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交，則此直線與橫軸平行，又的振幅為，所以直線必與的圖象有交點，故D不正確．答案：B12．解析：令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，所以．答案：C13．解析：如圖所示，不等式組滿足的平面區(qū)域為陰影部分所示區(qū)域，設(shè)，當(dāng)經(jīng)過點時，取到最小值；當(dāng)經(jīng)過點時，取到最大值．答案：14．解析：設(shè)切點為，則，切線的斜率，解得．答案：115．解析：由得，所以圓心，半徑為1，所以，所以．答案：16．解析：∵，∴在等腰直角中，在中，由余弦定理得，又已知，∴，又∵，∴，∴，作分別交于點F，E（圖略），∵，E，F分別為線段的中點，∴，∴．答案：17．解：（1）因為，所以，即，又是各項為正的單調(diào)遞增數(shù)列，所以，                 3分所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以．           6分（2），            8分所以               10分．                  12分18．解：（1）證明：根據(jù)已知得，又G為的中點，所以，         1分因為，G為的中點，所以，           2分又，所以平面．          3分又因為，所以平面．         4分（2）因為，所以平面，取中點H，連接，則平面，又，所以以H為原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，           5分則，所以．        6分設(shè)平面的法向量為，則即令，得．          8分設(shè)平面的法向量為，則即令，得．        10分所以，所以二面角的余弦值為．       12分19．解：（1）若顧客所獲得的減免金額為40元，則第一次抽白球、第二次抽紅球或第一次抽紅球、第二次抽白球．     2分求得顧客所獲得的減免金額為40元的概率為．         5分（2）某顧客所獲得的減免金額X可能為30,40,50,60．            6分，           7分，       8分，           9分．              10分所以X的分布列為X30405060P           11分．所以某顧客所獲得的減免金額的數(shù)學(xué)期望為．         12分20．解：（1）由題意得，，所以．             3分所以橢圓C的方程為．                4分（2）證明：設(shè)，則，．所以，整理得．①          7分由得，       8分則．             9分代入①整理得，               11分所以直線l的方程為，即直線l恒過定點．            12分21．解：（1）由題意可求得，因為在內(nèi)有兩個極值點，所以在內(nèi)有兩個不相等的變號根，即在上有兩個不相等的變號根．           1分設(shè)，則，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，不符合條件．          2分②當(dāng)時，令得，當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減，不符合條件；          3分當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增，不符合條件；         4分當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，若要在上有兩個不相等的變號根，則，解得．      5分綜上所述，．           6分（2）設(shè)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（ⅰ）當(dāng)時，，則，所以．因為，所以，因此在上單調(diào)遞增．      7分（ⅱ）當(dāng)時，，則，所以．因為，所以，因此在上單調(diào)遞減．       8分綜合（ⅰ）（ⅱ）可知，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，沒有零點，故關(guān)于x的方程根的個數(shù)為0，       9分當(dāng)，即時，只有一個零點，故關(guān)于x的方程根的個數(shù)為1，     10分當(dāng)，即時，①當(dāng)時，，要使，可令，即；②當(dāng)時，，要使，可令，即，所以當(dāng)時，有兩個零點，故關(guān)于x的方程根的個數(shù)為2．           11分綜上所述：當(dāng)時，關(guān)于x的方程根的個數(shù)為0，當(dāng)時，關(guān)于x的方程根的個數(shù)為1，當(dāng)b時，關(guān)于x的方程根的個數(shù)為2．             12分22．解：（1）由題意可知在曲線C中，，則，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；      2分因為，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為．          4分（2）已知點P的直角坐標(biāo)為，設(shè)直線l的參數(shù)方程為代入曲線C的普通方程得，          6分設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)為，則Q對應(yīng)的參數(shù)為，             8分故．              10分23．解：（1）當(dāng)時，不等式即為，            1分法一：當(dāng)時，可得，解得，則；       2分當(dāng)時，可得，即，所以；         3分當(dāng)時，可得，解得，則．         4分綜上可得，原不等式的解集為．               5分法二：根據(jù)絕對值的幾何意義可得不等式的解集為．             5分（2）當(dāng)時，若不等式對任意的恒成立，即為，又             6分當(dāng)時，；              7分當(dāng)時，；              8分當(dāng)時，．           9分故，則，即a的取值范圍是．                10分