本考點(diǎn)是高考必考知識(shí)點(diǎn)，?？碱}型為選擇題、填空題、解答題，分值為5分或12分，中、高等難度
考綱研讀
1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)
2．了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用
3．理解數(shù)形結(jié)合的思想
一、基礎(chǔ)小題
1．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
答案 C
解析 依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)?a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此其方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故選C．
2．到點(diǎn)A(－4，0)與點(diǎn)B(4，0)的距離之和為10的點(diǎn)的軌跡方程為( )
A．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 由橢圓的定義可知該點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，而c＝4，a＝5，故b2＝a2－c2＝9．故選C．
3．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq \f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是( )
A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12
答案 C
解析 依題意，記橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則△ABC的周長(zhǎng)等于|AB|＋|AC|＋|BC|＝|AB|＋|AC|＋|BF|＋|CF|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4eq \r(3)，故選C．
4．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m等于( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．4 D．eq \f(1,4)
答案 D
解析 由x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1及題意知，2eq \r(\f(1,m))＝2×2×1，m＝eq \f(1,4)，故選D．
5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)滿足eq \r(?x＋2?2＋y2)＋eq \r(?x－2?2＋y2)＝4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是( )
A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段
答案 D
解析 設(shè)點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2．故選D．
6．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則eq \f(|PF2|,|PF1|)的值為( )
A．eq \f(5,14) B．eq \f(5,13) C．eq \f(4,9) D．eq \f(5,9)
答案 B
解析 由題意知a＝3，b＝eq \r(5)．由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝6．在△PF1F2中，因?yàn)镻F1的中點(diǎn)在y軸上，O為F1F2的中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)可推得PF2⊥x軸，所以由x＝c時(shí)可得|PF2|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(5,3)，所以|PF1|＝6－|PF2|＝eq \f(13,3)，所以eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(5,13)，故選B．
7．已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
答案 B
解析 點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|，又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由橢圓定義知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓．故選B．
8．若橢圓的方程為eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝________．
答案 4或8
解析 對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論．由橢圓的焦距為4得c＝2，當(dāng)20)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
答案 A
解析 由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為a．
又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3)．故選A．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝eq \f(b,2)與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．
答案 eq \f(\r(6),3)
解析 由已知條件易得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(xiàn)(c，0)，
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝c＋eq \f(\r(3),2)a，－eq \f(b,2)，eq \(CF,\s\up6(→))＝c－eq \f(\r(3),2)a，－eq \f(b,2)，由∠BFC＝90°，可得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，則e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)．
三、模擬小題
14．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
答案 B
解析 橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，即2a＝6，得a＝3，∵兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，∴2c＝eq \f(1,3)·2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1．故選B．
15．已知點(diǎn)A(－1，0)和B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(10),5) C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(2\r(10),5)
答案 A
解析 A(－1，0)關(guān)于直線l：y＝x＋3的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－3，2)，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則此時(shí)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短，為|A′B|＝2eq \r(5)，所以橢圓C的離心率的最大值為eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)．故選A．
16．設(shè)P為橢圓C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且△PF1F2的重心為G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P為橢圓C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一點(diǎn)，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，
S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心為點(diǎn)G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面積為8，故選C．
17．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M，上頂點(diǎn)為N，右焦點(diǎn)為F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率為( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2)－1,2) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \f(\r(5)－1,2)
答案 D
解析 由題意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(xiàn)(c，0)，∴eq \(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up6(→))＝(c，－b)．
∵eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac．又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac．
∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)．∴橢圓的離心率為eq \f(\r(5)－1,2)，故選D．
18．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形，且60°

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