一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，則S20＝(　　)A．420　　　　　　　　　　 B．340C．－420   D．－340解析：選D.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340，故選D.2．已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為(　　)A．3   B．5C．9   D．25解析：選D.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D.3．(一題多解)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝(　　)A．72   B．88C．92   D．98解析：選C.法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92.4．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan 的值是　(　　)A．－   B．－1C．－   D.解析：選A.依題意得，a＝(－)3，3b6＝7π，所以a6＝－，b6＝，所以＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，故選A.5．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為(　　)A．6   B．7C．8   D．9解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－<0，a9＝>0，所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值，故選C.6．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an＋1－an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　)A．2   B．2nC．2n＋1－2   D．2n－1－2解析：選C.因?yàn)?/span>an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2.二、填空題7．(一題多解)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．解析：法一：因?yàn)?/span>Sn＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；當(dāng)n＝5時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；當(dāng)n＝6時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因?yàn)?/span>Sn＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.答案：－638．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．解析：an＋1－2an＝2n兩邊同除以2n＋1，可得－＝，又＝，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝n·2n－1.答案：n·2n－1 9．設(shè)某數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”．若一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d＝________．解析：由＝k(k為常數(shù))，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，上式恒成立，所以得所以數(shù)列{an}的公差為2.答案：2三、解答題10．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由題意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，因?yàn)?/span>{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝.11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由條件可得an＋1＝an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.12．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a2＝5，a4＝13，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，且Tn＋bn＝3.(1)求數(shù)列{an}及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝an·bn，求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，得解得所以an＝4n－3.又Tn＋bn＝3，所以Tn＋1＋bn＋1＝3，兩式相減得，2bn＋1－bn＝0，所以bn＋1＝bn.當(dāng)n＝1時(shí)，b1＋b1＝3，所以b1＝.所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)是，公比是，所以bn＝×＝.(2)因?yàn)?/span>cn＝an·bn＝，所以cn＋1＝，所以cn＋1－cn＝－＝.所以當(dāng)n＝1時(shí)，c2－c1>0；當(dāng)n≥2時(shí)，cn＋1－cn<0，所以c1<c2>c3>c4>…，所以(cn)max＝c2＝.  

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