1.已知兩條不同的直線m,n和一個(gè)平面α,下列命題中的真命題是( )
A.若m∥α,n∥α,則m∥n
B.若m∥α,n?α,則m∥n
C.若m∥α,n⊥α,則m∥n
D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n
2.已知平面α,直線m,n滿足m?α,n?α,則“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
3.(多選)如圖所示,P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),O為矩形對角線的交點(diǎn),M為PB的中點(diǎn),給出以下結(jié)論,其中正確的是( )
A.OM∥PDB.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDAD.OM∥平面PBA
4.設(shè)α,β,γ為三個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“α∩β=m,n?γ,且 ,則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題.
①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.
可以填入的條件有( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
5.(多選)下面四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形是( )
6.已知平面α∥β,P?α,且P?β,過點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于A,C,過點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD的長為 .
7.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn),則BE與平面PAD的位置關(guān)系為 .
8.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),則點(diǎn)Q滿足條件 時(shí),有平面D1BQ∥平面PAO.
9.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為217,點(diǎn)G,E,F,H分別是棱PB,AB,DC,PC上共面的四點(diǎn),BC∥平面GEFH.
(1)證明:GH∥EF;
(2)若EB=2,平面PDA∥平面GEFH,求四邊形GEFH的面積.
10.如圖,四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn),求證:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
11.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中點(diǎn),△A1MC1是等腰三角形,D為CC1的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn).
(1)若BE=3EC,求證:DE∥平面A1MC1;
(2)若AA1=1,求三棱錐A-MA1C1的體積.
二、綜合應(yīng)用
12.(多選)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn).在此幾何體中,給出下列結(jié)論,其中正確的結(jié)論是( )
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.直線PA∥平面BDG
C.直線EF∥平面PBC
D.直線EF∥平面BDG
13.如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=a3,過點(diǎn)P,M,N的平面交上底面于PQ,點(diǎn)Q在CD上,則PQ= .
14.在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于點(diǎn)D,E,F,H.D,E分別是AB,BC的中點(diǎn).如果直線SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為 .
15.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)E在線段B1C1上,B1E=3EC1,試探究:在線段AC上是否存在點(diǎn)F,滿足EF∥平面A1ABB1?若存在,請指出點(diǎn)F的位置,并給出證明;若不存在,請說明理由.
三、探究創(chuàng)新
16.如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求證:平面AB1C∥平面DA1C1;
(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.
考點(diǎn)規(guī)范練36 空間直線、平面的平行
1.D 對于A,直線m,n可能平行、異面或相交,故A錯(cuò)誤;對于B,直線m與n可能平行,也可能異面,故B錯(cuò)誤;對于C,m與n垂直而非平行,故C錯(cuò)誤;對于D,垂直于同一平面的兩直線平行,故D正確.
2.A 當(dāng)m?α,n?α?xí)r,由線面平行的判定定理可知,m∥n?m∥α;反之m∥α不一定有m∥n,m與n還可能異面.故選A.
3.ABC 由題意知,OM是△BPD的中位線,所以O(shè)M∥PD,故A正確;
因?yàn)镻D?平面PCD,OM?平面PCD,所以O(shè)M∥平面PCD,故B正確;
同理,可得OM∥平面PDA,故C正確;
OM與平面PBA相交,故D不正確.
4.C 由面面平行的性質(zhì)定理可知,①正確;當(dāng)n∥β,m?γ時(shí),n和m在同一平面內(nèi),且沒有公共點(diǎn),所以平行,③正確.故選C.
5.AD A中,如圖①,連接BC,由已知得AC∥NP,BC∥MN,從而得AC∥平面MNP,BC∥平面MNP,于是有平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP.
B中,如圖②,連接BC,交MP于點(diǎn)O,連接ON,易知在底面正方形中O不是BC中點(diǎn)(實(shí)際上是靠近C的四等分點(diǎn)),而N是AC中點(diǎn),因此AB與ON不平行,在平面ABC內(nèi),AB與ON必相交,此交點(diǎn)也是直線AB與平面MNP的公共點(diǎn),直線AB與平面MNP相交而不平行.
C中,如圖③,連接BN,正方體中有PN∥BM,因此點(diǎn)B在平面MNP內(nèi),直線AB與平面MNP相交而不平行.
D中,如圖④,連接CD,可得AB∥CD,CD∥NP,即AB∥NP,從而直線AB與平面MNP平行.
6.245或24 如圖(1),∵AC∩BD=P,
圖(1)
∴經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD.
∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,
∴AB∥CD.∴PAAC=PBBD,
即69=8-BDBD.
解得BD=245.
如圖(2),同理可證AB∥CD.
圖(2)
∴PAPC=PBPD,即63=BD-88.
解得BD=24.
綜上所述,BD=245或24.
7.平行 取PD的中點(diǎn)F,連接EF,AF,在△PCD中,EF12CD.
∵AB∥CD,且CD=2AB,
∴EFAB,
∴四邊形ABEF是平行四邊形,
∴BE∥AF.
又BE?平面PAD,AF?平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
8.Q為CC1的中點(diǎn) 如圖,設(shè)Q為CC1的中點(diǎn),因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn),
所以QB∥PA.
連接DB,因?yàn)镻,O分別是DD1,DB的中點(diǎn),所以D1B∥PO.
又D1B?平面PAO,QB?平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
故當(dāng)Q滿足條件Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),有平面D1BQ∥平面PAO.
9.(1)證明 ∵BC∥平面GEFH,
又BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,
∴BC∥GH.
又BC∥平面GEFH,BC?平面ABCD,
且平面ABCD∩平面GEFH=EF,
∴BC∥EF,∴EF∥GH.
(2)解 ∵平面PDA∥平面GEFH,平面PAB∩平面PAD=PA,平面PAB∩平面GEFH=GE,
∴GE∥PA.
∵BE=14AB,∴GE=14PA=172,
同理HF=14PD=172,
又由(1)知,BC∥GH,∴GH=34BC=6.
在四邊形GEFH中,GE=HF=172,GH=6,EF=8,且EF∥GH,
四邊形GEFH為等腰梯形,
如圖,過點(diǎn)G作GM垂直于EF于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作HN垂直于EF于點(diǎn)N,
在Rt△GEM中,GM=GE2-EM2=132,
∴S梯形GEFH=12(GH+EF)·GM=7132.
10.證明 (1)如圖,連接AE,設(shè)DF與GN的交點(diǎn)為O,
則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O.
連接MO,則MO為△ABE的中位線,所以BE∥MO.
又BE?平面DMF,MO?平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn),所以DE∥GN.
又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG.
又M為AB的中點(diǎn),所以MN為△ABD的中位線,
所以BD∥MN.又BD?平面MNG,MN?平面MNG,所以BD∥平面MNG.
又DE?平面BDE,BD?平面BDE,DE∩BD=D,
所以平面BDE∥平面MNG.
11.(1)證明 如圖①,取BC的中點(diǎn)N,連接MN,C1N,
①
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴MN∥AC∥A1C1,
∴M,N,C1,A1共面.
∵BE=3EC,∴E是NC的中點(diǎn).
又D是CC1的中點(diǎn),∴DE∥NC1.
∵DE?平面MNC1A1,NC1?平面MNC1A1,
∴DE∥平面A1MC1.
(2)解 如圖②,當(dāng)AA1=1時(shí),有AM=1,A1M=2,A1C1=2.
∴三棱錐A-MA1C1的體積VA-MA1C1=VC1-A1AM=13×12AM·AA1·A1C1=26.
②
12.ABC 作出立體圖形,如圖所示.連接E,F,G,H四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH.
對于A,因?yàn)镋,F分別是PA,PD的中點(diǎn),所以EF∥AD.
又EF?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理,EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF?平面EFGH,EH?平面EFGH,
所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正確;對于B,連接AC,BD,DG,BG,設(shè)AC的中點(diǎn)為M,則M也是BD的中點(diǎn),所以MG∥PA,又MG?平面BDG,PA?平面BDG,所以PA∥平面BDG,故B正確;對于C,由A中的分析知EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,因?yàn)镋F?平面PBC,BC?平面PBC,所以直線EF∥平面PBC,故C正確;對于D,根據(jù)C中的分析可知EF∥BC,再結(jié)合圖形可得BC∩BD=B,則直線EF與平面BDG不平行,故D錯(cuò)誤.
13.22a3 如圖所示,連接AC.
∵平面PQNM交正方體的上、下底面分別于PQ,MN,
∴MN∥PQ.又MN∥AC,
∴PQ∥AC.
∵AP=a3,∴PDAD=DQCD=PQAC=23,∴PQ=23AC=22a3.
14.452 取AC的中點(diǎn)G,連接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因?yàn)镾B∥平面DEFH,SB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以H,F分別為AS,SC的中點(diǎn),從而得HF12ACDE,所以四邊形DEFH為平行四邊形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四邊形DEFH為矩形,其面積S=HF·HD=12AC·12SB=452.
15.解法一 當(dāng)AF=3FC時(shí),FE∥平面A1ABB1.
證明如下:如圖,在平面A1B1C1內(nèi)過點(diǎn)E作EG∥A1C1交A1B1于點(diǎn)G,連接AG.
因?yàn)锽1E=3EC1,所以EG=34A1C1.
又因?yàn)锳F∥A1C1,且AF=34A1C1,
所以AFEG,所以四邊形AFEG為平行四邊形,所以EF∥AG.又因?yàn)镋F?平面A1ABB1,AG?平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.
解法二 當(dāng)AF=3FC時(shí),EF∥平面A1ABB1.
證明如下:如圖,在平面BCC1B1內(nèi)過點(diǎn)E作EG∥BB1交BC于點(diǎn)G,
因?yàn)镋G∥BB1,EG?平面A1ABB1,BB1?平面A1ABB1,
所以EG∥平面A1ABB1.
因?yàn)锽1E=3EC1,所以BG=3GC,
所以FG∥AB.
又因?yàn)锳B?平面A1ABB1,FG?平面A1ABB1,所以FG∥平面A1ABB1.
又因?yàn)镋G?平面EFG,FG?平面EFG,EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面A1ABB1.
因?yàn)镋F?平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.
16.(1)證明 由棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,可得AB1∥DC1,A1D∥B1C.
∵AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,
∴平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)解 存在滿足題意的點(diǎn)P.
如圖,在C1C的延長線上取點(diǎn)P,使C1C=CP,連接BP,
∵B1BCC1,∴BB1CP,∴四邊形BB1CP為平行四邊形,∴BP∥B1C.
∵A1D∥B1C,
∴BP∥A1D.
又A1D?平面DA1C1,BP?平面DA1C1,
∴BP∥平面DA1C1.

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